《协方差分析》ppt课件

1、Analysis of Covariance 方差分析中，所接触到的各种处置多数都方差分析中，所接触到的各种处置多数都是人为控制的。有时一些变量很难或者不能够是人为控制的。有时一些变量很难或者不能够人为控制，对于这种情况那么不能用第三章所人为控制，对于这种情况那么不能用第三章所述的方差分析方法，推断处置之间的差别而运述的方差分析方法，推断处置之间的差别而运用协方差分析的方法做推断。用协方差分析的方法做推断。 例如，在研讨不同豢养条件下，动物的增例如，在研讨不同豢养条件下，动物的增重情况时，由于动物的原体重不同，假设只思重情况时，由于动物的原体重不同，假设只思索饲料对增重的作用而不思索原体重时增

2、重的索饲料对增重的作用而不思索原体重时增重的影响，显然是不全面的。动物的增重不仅与饲影响，显然是不全面的。动物的增重不仅与饲料有关，而且还与原体重有关。普通来讲，原料有关，而且还与原体重有关。普通来讲，原体重高的增童较多，原体重低的增重较少，增体重高的增童较多，原体重低的增重较少，增重与原体重之间有回归关系，为了得到正确的重与原体重之间有回归关系，为了得到正确的结论，就要在排除原体重对增重的影响之后，结论，就要在排除原体重对增重的影响之后，推断处置的效应。这就是本章所要讨论的协方推断处置的效应。这就是本章所要讨论的协方差分析。差分析。 在协方差分析中，通常将动物增重称为反响变在协方差分析中，通

3、常将动物增重称为反响变量量(response variable) Y，而与，而与Y 有线性回归关系的有线性回归关系的另一变量另一变量(原始体重原始体重)称为伴随变量称为伴随变量(concomitant variable)或协变量或协变量(covariate) X 。协方差分析就是。协方差分析就是经过反响变量与协变量之间的线性关系，调整察看经过反响变量与协变量之间的线性关系，调整察看的反响变量。假假设不做这种调整，由于协变量的的反响变量。假假设不做这种调整，由于协变量的存在会使误差平方和加大，其结果有能够检验不出存在会使误差平方和加大，其结果有能够检验不出反响变量在不同处置之间所存在的真正差别。

4、因此，反响变量在不同处置之间所存在的真正差别。因此，协方差分析是一种调整无法控制又影响效应的变量协方差分析是一种调整无法控制又影响效应的变量的方差分析方法，是方差分析与回归分析的结合。的方差分析方法，是方差分析与回归分析的结合。在上述动物重实验中，很难将全部实验动物都选为在上述动物重实验中，很难将全部实验动物都选为具有一样体重的个体，动物的原体重是无法控制的具有一样体重的个体，动物的原体重是无法控制的变量，而原体重对增重又有明显的影响，运用协方变量，而原体重对增重又有明显的影响，运用协方差分析，便可排除原体重差分析，便可排除原体重X对增重对增重Y 的影响，使结的影响，使结果更为可靠果更为可靠

5、。 第一节第一节 具一个协变量的一种方式分组的具一个协变量的一种方式分组的协方差分析协方差分析one-way classification with a single covariate 本节讨论协方差分析中最简单的一种本节讨论协方差分析中最简单的一种情况，即以只需一个协变量的单要素实情况，即以只需一个协变量的单要素实验设计的协方差分析为例，阐明协方差验设计的协方差分析为例，阐明协方差分析的根本原理和计算方法。单要素协分析的根本原理和计算方法。单要素协方差分析的统计模型是：方差分析的统计模型是：) 14(, 2 , 1, 2 , 1)(njaixxyijijiij 其中其中yij是第是第 i

6、次处置所得到的反响变量的第次处置所得到的反响变量的第 j 次察看值。次察看值。cij是相当于是相当于yij的协变量值。的协变量值。c是是cij的平均数，的平均数，m是总平均数，是总平均数，ai是第是第i次处置效应，次处置效应，b是是yij在在cij上的线性回归系数，上的线性回归系数，eij是随机误差是随机误差成份。做协方差分析，需求满足以下几个条件：成份。做协方差分析，需求满足以下几个条件：eij是服从正态分布的独立随机变量；是服从正态分布的独立随机变量；b0，即，即yij与与cij之间存在线性关系；各处置的回归系数之间存在线性关系；各处置的回归系数都一样；处置效应之和等于零都一样；处置效应之

7、和等于零ai0以及以及协变量不受处置效应的影响等。协变量不受处置效应的影响等。 从从41式中可以看出：协方差分析的模式中可以看出：协方差分析的模型是方差分析和回归分析线性模型的结合。型是方差分析和回归分析线性模型的结合。ai是是单要素方差分析中的处置效应，单要素方差分析中的处置效应，b是回归分析中是回归分析中的回归系数。在的回归系数。在41式中的协变量是以式中的协变量是以cijc的方式而不是以的方式而不是以 cij 的方式表示的，因此的方式表示的，因此参量参量m是总的平均值。统计模型的另一种方式是总的平均值。统计模型的另一种方式是：是： )24(, 2 , 1, 2 , 1njaixyijij

8、iij其中其中m 并不等于总平均值。在这个模型中，总并不等于总平均值。在这个模型中，总平均值为平均值为 mb c 。经常运用的模型是。经常运用的模型是41式。式。 协方差分析需求计算以下一些量：协方差分析需求计算以下一些量： )34(1122112ainjijainjijYYanyyyyS)74()64()54()()44(11122212211211111122112ainjaiiiXXaiiainjiYYainjainjijijijijXYainjijainjijXXanxnxxxTanynyyyTanyxyxyyxxSanxxxxS)114()104()94()84(1111211211

9、1ainjXYXYiijiijXYXXXXainjiijXXYYYYainjiijYYainjaiiiiiXYTSyyxxETSxxETSyyEanyxnyxyyxxT以上各式的符号：以上各式的符号：S 、T 和和 E 分别表示总的、处置的分别表示总的、处置的误差的平方和及交叉乘积和。它们之间的关系可用通误差的平方和及交叉乘积和。它们之间的关系可用通式式STE表示。仔细阅读并分析以上各式，弄清楚表示。仔细阅读并分析以上各式，弄清楚各式的意义，对下面的学习是有益的。各式的意义，对下面的学习是有益的。 协方差分析的中心，就是经过协变量调整反协方差分析的中心，就是经过协变量调整反响变量。下面讨论如何

10、做这种调整。在统计模型响变量。下面讨论如何做这种调整。在统计模型41中，中，m的估计值为的估计值为c，b的估计值为的估计值为b *，处置效应处置效应ai 的估计值为的估计值为cicb*cic。其中，其中， )124(*XXXYEEb在这个模型中，误差平方和在这个模型中，误差平方和SSe为：为： )134(2*XXXYYYXYYYeEEEEbESS具具a(n1)1自在度。自在度。 实验误差均方由下式估计，实验误差均方由下式估计， 1) 1(naSSMSee假设实验不存在处置效应，模型假设实验不存在处置效应，模型41将变为：将变为： )154(2XXXYYYeSSSSS具具an2自在度，其中自在度

11、，其中S2XYSXX是由于是由于Y和和X的回归所产生的平方和。的回归所产生的平方和。 假照实验本身存在处置效应，但却按不存假照实验本身存在处置效应，但却按不存在处置效应对待，这时所计算出来的误差平方在处置效应对待，这时所计算出来的误差平方和和SSe要大于按存在处置效应计算所得到的误要大于按存在处置效应计算所得到的误差平方和差平方和SSe。两者的差。两者的差SSeSSe是由于是由于处置效应处置效应ai 所产生的平方回归系数，具所产生的平方回归系数，具a1自自在度。可用在度。可用F 检验不存在处置效应的假设。检验不存在处置效应的假设。)164(1) 1(1naSSaSSSSFeee 假设假设FFa

12、1,a(n1),a，那么接受，那么接受H0：ai0；假设假设FF a1,a(n1),a，那么回绝，那么回绝H0：ai0。 将以上结果列在表将以上结果列在表41中。中。 表表 41 协方差分析调整的方差分析协方差分析调整的方差分析 变差来源变差来源 平方平方 和和自自 由由 度度均均 方方F 回归回归 处置处置 误差误差 S2XYSXXSSeSSe(SYYS2XYSXX) (EYYE2XYEXX)SSeEYYE2XYEXX 1a a(n1)1 (SSeSSe)(a1) MSeSSea(n1)1 (SSeSSe)(a-1)MSe 总和总和 SYYan1 表表41与方差分析表根本上是一致的。所与方差

13、分析表根本上是一致的。所不同的是没一项平方和都是经过调整的。因此，不同的是没一项平方和都是经过调整的。因此，协方差分析又称为调整的方差分析。在变差来协方差分析又称为调整的方差分析。在变差来源一列中，总的变差是由具源一列中，总的变差是由具an1自在度的自在度的SYY度量的；回归的变差由具度量的；回归的变差由具1自在度的平方和自在度的平方和S2XYSXX度量。假假设不存在协变量，那么度量。假假设不存在协变量，那么SXYSXXEXYEXX0。误差平方和将。误差平方和将简化为简化为EYY，处置平方和为，处置平方和为SYYEYYTYY，成为一种方式分组的方差分析。然而由于存在成为一种方式分组的方差分析。

14、然而由于存在协变量，我们必需经过协变量，我们必需经过Y在在X上的回归，调整上的回归，调整SYY和和EYY见表见表41。由于在调整平方和。由于在调整平方和时，用了另一个参量时，用了另一个参量b，所以调整的误差平方和，所以调整的误差平方和具具a(n1)1自在度，而不是自在度，而不是a(n1)自在度。自在度。 通常将协方差分析结果纳成协方差分析表。通常将协方差分析结果纳成协方差分析表。 表表42 具一个协变量的一种方式分组实验的协方差分析表具一个协变量的一种方式分组实验的协方差分析表 变差变差来源来源自在度自在度平方和与平方和与交叉乘积和交叉乘积和因因 回回 归归 所所 做做 的的 调调 整整XXY

15、YY自在度自在度均均 方方处置处置误差误差总和总和a1a(n1)an1TXXEXXSXXTXYEXYSXYTYYEYYSYYSSeEYYE2XYEXXSSeSYYS2XYSXX a(n1)1an2 MSeSSea(n1)1 调整调整的处的处置响置响SSe SSe a1 (SSe SSe)(a1) 在协方差分析表中，除列入检验假设所需在协方差分析表中，除列入检验假设所需求的处置效应平方和之外，还列入了全部平方求的处置效应平方和之外，还列入了全部平方和及交叉乘积和。协方差分析的结果，不论零和及交叉乘积和。协方差分析的结果，不论零假设能否可以接受，都需对处置平方数假设能否可以接受，都需对处置平方数c

16、i 给予给予解释。由于解释。由于ci 包括处置效应和在协变量上的回包括处置效应和在协变量上的回归效应，因此对平方数也要做相应的调整。调归效应，因此对平方数也要做相应的调整。调整的方法如下：整的方法如下： )174(, 2 , 1),(*aixxbyyiii调整的根据模型根据模型42，协方差分析需满足以下要求：，协方差分析需满足以下要求：)184(1:, 2 , 1,)24(*2XXieyiXXXYExxnMSSaiEEbi调整的准误差为调整处理平均水平的标值的最小二乘估计中型调整的处理平均数是模其中即：各处置的方差应具备齐性，它们都是从具有即：各处置的方差应具备齐性，它们都是从具有同一方差的正

17、态总体中的来的；个处置的回归系同一方差的正态总体中的来的；个处置的回归系数数bi均等于均等于b以及反响变量与协变量之间的回归以及反响变量与协变量之间的回归系数系数b0。因此，在对一组数据做协方差分析时，。因此，在对一组数据做协方差分析时，首先要对以上各个条件做检验。只需以上条件得首先要对以上各个条件做检验。只需以上条件得到满足时，才干做协方差分析。到满足时，才干做协方差分析。 第二节第二节 协方差分析的计算方法协方差分析的计算方法 例例41 比较三种猪饲料比较三种猪饲料A1，A2，A3对猪增重的影响，测得每头猪的增重对猪增重的影响，测得每头猪的增重Y和出生重和出生重X，数据列在表，数据列在表4

18、3中。问三种饲料对猪增重能否有显著不中。问三种饲料对猪增重能否有显著不同的效果？同的效果？ 表表43 不同饲料对猪增重的影响不同饲料对猪增重的影响 A1XY16851383 11 651276 12 80 16 91 14 84 17 90X113.750Y181.750A2XY17971690181001895211032210619 9918 94X218.625Y298.000A3XY2289249120 83239525100271023010532110X325.375Y396.875 在这个问题中，假设不思索出生重，那么在这个问题中，假设不思索出生重，那么是一个单要素方差分析的问题

19、；假设不同饲料是一个单要素方差分析的问题；假设不同饲料的增重效果没有显著差别，那么成为增重对出的增重效果没有显著差别，那么成为增重对出生重的一元回归问题。实践上，在研讨动物增生重的一元回归问题。实践上，在研讨动物增重问题时，不同饲料和出生重对增重的影响都重问题时，不同饲料和出生重对增重的影响都要思索。因此，在推断不同饲料的增重效应时，要思索。因此，在推断不同饲料的增重效应时，为了排除出生重的影响，应运用方差分析与回为了排除出生重的影响，应运用方差分析与回归分析相结合的方法，即以协方差分析的方法归分析相结合的方法，即以协方差分析的方法做推断。做推断。 首先检验首先检验eij：NID(0,s2)，

20、bib及及b0能否能否可以得到满足。检验的方法如下：可以得到满足。检验的方法如下： 分别计算三种饲料豢养猪的出生重与增分别计算三种饲料豢养猪的出生重与增重间的回归系数重间的回归系数bi，并列出回归方程，并列出回归方程 332211118. 2141.143232. 2570.54508. 333516XYXYXY 将三组数据合并只需将三组数据的平方和将三组数据合并只需将三组数据的平方和与交叉乘积合并即可，计算公共的回归系数与交叉乘积合并即可，计算公共的回归系数b*。 400. 2* b用公共的回归系数替代用公共的回归系数替代bi，可以得到三条平行的，可以得到三条平行的回归线：回归线： 3322

21、11400. 2975.35400. 2300.53400. 2750.48XYXYXY 用每一处置的各自回归系数用每一处置的各自回归系数bi，计算剩余平方和：，计算剩余平方和：471713324202998661321321GGGSSSSSS剩余平方和处理剩余平方和处理剩余平方和处理将三组剩余平方和相加，得到组内剩余平方和。将三组剩余平方和相加，得到组内剩余平方和。 179457471713242099866GeSS相应的自在度为相应的自在度为a(n2)18。用公共回归系数用公共回归系数b*计算三条平行回归线的剩余平方计算三条平行回归线的剩余平方和，它们的和就是误差平方和和，它们的和就是误差

22、平方和见公式见公式(49)(413)，相应的自在度为，相应的自在度为a(n1)120。615.2272XXXYYYeEEESS 检验方差齐性：中已计算出各处置的剩余平检验方差齐性：中已计算出各处置的剩余平方和，各具方和，各具8116自在度。各处置的均方自在度。各处置的均方分别为：分别为： 862. 76171.47403. 56420.32644.166866.99321GeGeGeMSMSMS检验方差齐性的一个简便方法是用两个差别最大检验方差齐性的一个简便方法是用两个差别最大的均方做的均方做F 检验。检验。 08. 3403. 5644.1621GeGeMSMSFF6,6,0.054.82，

23、FF0.05，可以以为各组方差，可以以为各组方差具备齐性。具备齐性。 检验回归线能否平行检验回归线能否平行(bib)：在中曾经计算：在中曾经计算出组内剩余平方和出组内剩余平方和SSeG和用公共回归系数和用公共回归系数b*计计算得到的误差平方和算得到的误差平方和SSe。SSeG完全是由随机完全是由随机要素呵斥的：三条回归线用同一要素呵斥的：三条回归线用同一b*计算出的误计算出的误差平方和差平方和SSe，包括由于随机误差及回归系数两，包括由于随机误差及回归系数两种变差所产生的平方和，因此回归系数平方和，种变差所产生的平方和，因此回归系数平方和，)194( GeeSSSSSS回归系数回归系数自在度为

24、误差自在度与组内误差自在度回归系数自在度为误差自在度与组内误差自在度之差，之差， 回归系数回归系数回归系数回归系数dfSSMSdfdfdfGee)204( 然后用然后用MSeG对对MS回归系数最检验。假设回归系数最检验。假设两者差别不显著，阐明由回归系数所产生的方两者差别不显著，阐明由回归系数所产生的方差与由于随机要素所引起的方差差别不大，即差与由于随机要素所引起的方差差别不大，即可证明原来的三条回归线是平行的。用可证明原来的三条回归线是平行的。用 F 检验，检验，)214( GeMSMSF回归系数代入数值，代入数值， 53. 2469. 9079.24079.242158.482182015

25、8. 4459.179615.227FMSdfSSSSSSGee回归系数回归系数回归系数F2,18,0.053.55，FF0.05，因此三条回归线是平，因此三条回归线是平行的。行的。 也可以将三条回归线做图。从图上察看它也可以将三条回归线做图。从图上察看它们能否近于平行。假设接近平行的话，也可以们能否近于平行。假设接近平行的话，也可以不做以上的检验。不做以上的检验。 检验回归能否显著：利用方差分析做检验。方检验回归能否显著：利用方差分析做检验。方差分析表如下：差分析表如下： 表表44 检验回归显著性的方差分析表检验回归显著性的方差分析表 变差变差 来源来源 平平 方方 和和 自自 由由 度度均

26、均 方方F 回归回归 剩余剩余SSR=E2XY/EXX=1010.76SSe=EYYE2XY/EXX=227.615 1a ( n 1 ) 1=20 MSR=SSR=1010.76MSe=SSe/a(n-1)-1=11.38 F=MSR/MSe=88.8 总和总和EYY=1238.375a(n-1)=21F1,20,0.01=8.1，FF0.01，回归是极显著的。这一步，回归是极显著的。这一步检验的许多计算，是在协方差分析过程中得出来的。所检验的许多计算，是在协方差分析过程中得出来的。所以这一步检验也可放在协方差分析的最后进展。以这一步检验也可放在协方差分析的最后进展。 在大多数生物学问题中，

27、以上几点要求根在大多数生物学问题中，以上几点要求根本上都可以满足。在实践运用时，只需根据本上都可以满足。在实践运用时，只需根据bi所做出的回归线能否平行。假设近于平行，那所做出的回归线能否平行。假设近于平行，那么可不用做繁琐的检验，直接进展以下的分析。么可不用做繁琐的检验，直接进展以下的分析。 将表将表43中的数据编码，每一个中的数据编码，每一个Y 都减去都减去90，每一个，每一个X 都减去都减去20，列成表，列成表45 。表表45 协方差分析计算表协方差分析计算表 X1X2X3Y1Y2Y3X1Y1X2Y2X3Y3 -5 -7 -9 -8 -8 -4 -6 -3 -3 -4 -2 -2 1 2

28、 -1 -2 2 4 0 3 5 7 10 12 -5 -7-25-14-10 1 -6 0 7 0 10 5 13 16 9 4 -1 1 -7 5 10 12 15 20 25 49 225 112 80 -4 36 0 -210 -20 -10 13 32 -9 -8 -240 15 50 84 150 240 和和和和和和和和和的平方和的平方Xij平方的和平方的和 -502500 344 -111 21 43 431 84 9 3 47 -184470 734 和和和的平方和的平方Yij平方的和平方的和 -664 3561 032 644 09 6 6 96 553 02 5 9 45

29、 5311477 2673 计算以下各值：计算以下各值： 375.1238583.1317958.2555875.659)8)(3()53)(18(8)55)(43()64)(11()66)(50(250.545)8)(3()18(818491212500583.1317)8)(3(538302540964356750.1080)8)(3()53)(18(1041)(500.720)8)(3()18(734958.2555)8)(3(532673312231222312318122318122231812YYYYYYiiiXYiiXXiiYYijijijXYijijXXijijYYTSEany

30、xnyxTanxnxTanynyTanyxyxSanxxSanyyS875.420875.659750.1080250.175250.545500.720XYXYXYXXXXXXTSETSE由公式由公式415求出：求出： 833.934500.720750.1080958.255522XXXYYYeSSSSS具具an2(3)(8)222自在度。并由自在度。并由(413)式计式计算出算出615.227250.175875.420375.12382XXXYYYeEEESS具具a(n1)13(81)120自在度。自在度。 将上述结果列成协方差分析表将上述结果列成协方差分析表(表表46)。表。表的最后一行，是为了检验假设的最后一行，是为了检验假设H0：ai0所计算所计算的平方和，的平方和， 218.707615.227833.934eeSSSS具具a1312自在度。自在度。表表46 协协 方方 差差 分分 析析 表表变差来源变差来源