复合函数的零根探究

1、.复合函数的零根探究例1.已知函数f(x)=,求函数y=f(f(x)+1的零根个数。例2.已知函数y=（k0）,若函数y=f(f(x)+1的零点个数是4，则k的取值范围为 例3.已知定义在（0，+）上的单调函数f(x),若对任意x（0，+）都有f(f(x)+)=3,则方程f(x)=2+的解集为 例4. 已知函数f(x)=x+-2，如果关于x的方程f(|)+t()=0有三个相异的实数根，求t的范围。例5已知定义在R上的函数y=f(x)存在零点，且对任意m，nR都满足f(mf(m)+f(n)=+n，若关于x的方程|f(f(x)-3|=1-(a0，a1)恰有三个不同的根，求a的取值范围。例6。已知函

2、数y=f(x)是定义域R的偶函数，当x0时，f(x)=，若关于x的方程式f(x)2+af(x)+=0，a,bR有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是 例7.(2015年南通二模第19题第三问）设，函数当时，求函数零点的个数 8。设定义在R上的函数若关于x的方程c0有3个不同的实数解，则 复合函数的零根探究对于函数y=f(x)与y=g(x)称函数y=f(g(x)为函数y=f(x)对y=g(x)的复合函数,可以看作由函数y=f(u)与u=g(x)复合而成，对于函数y=f(x),我们把方程f(x)=0的实数根x叫做函数y=f(x)的零点。复合函数和零点都是高中函数的重要内容，这部分内容一直是学

3、生难以理解和难以掌握的内容，下面就复合函数的零点问题作一探究。例1. 已知函数f(x)=,求函数y=f(f(x)+1的零根个数。分析一：函数y=f(x)为分段函数，用分段方法求出y=f(f(x)的表达式，进而求解。解法一：(1)当x0时f(x)=x+1,y=f(f(x)+1=f(x+1)+1,当x+10即x1时y=f(x+1)+1=x+1+1=x+2=0,所以2；当x+10即-10时f(x)=,y=f(f(x)+1=f()+1,当0即0x1时y=f()+1=+2=0,所以；当0即x1时y=f()+1=+1=0,所以。综上所述函数y=f(f(x)+1的零根有4个。分析二：可以作出y=f(x)图象

4、，用数形结合的方法解决此问题。解法二：作出函数y=f(x)的图象，如图（1）所示由y=f(f(x)+1=0得f(f(x)=-1， 由图象知：f(x)=-1时x=-2或x=,由f(x)=-2或f(x)=结合图象知各有两个解，综上所述函数y=f(f(x)+1的零根有4个。1k0x图（2）-1y例2. 已知函数y=（k0）,若函数y=f(f(x)+1的零点个数是4，则k的取值范围为 分析：由于本题为填空题，可采用图象法解决。解：（1）先画出k0时y=f(x)的图象，如图（2）所示，由y=f(f(x)+1=0得f(f(x)=-1,由图象知：f(x)=-1时x=或x=,k0,0, 由图象知：f(x)=

5、必有两个解；f(x)= 两解时才能保证函数y=f(f(x)+1的零点个数是4个，要保证函数f(x)= 两解必有：k。图（3）1k0x-1y（2）再画出k-1时直线 f(x)=-1与y=f(x)的图象只有一个交点，无法满足题意要求，只有当k-1时直线 f(x)=-1与y=f(x)的图象有两个交点，其交点横坐标为x=或x=,由图象知：f(x)= 要有两个解，必须满足k，化简得：恒成立；f(x)= 恒有两解；当k-1时函数y=f(f(x)+1的零点个数是4个。综上所述：k的范围为k-1 或k例3.已知定义在（0，+）上的单调函数f(x),若对任意x（0，+）都有f(f(x)+)=3,则方程f(x)=

6、2+的解集为 解：令f(x)+c，则f(c)=3,在上式中令x=c，则f(c)+=c，c-3，解得c=2，故f(x)=2，22+，在同一坐标系中作出函数y=和y=的图象，可知这两个图象有2个交点，即（4，2）和（16，4），则方程f(x)=2+的解集为4，16例4. 已知函数f(x)=x+-2，如果关于x的方程f(|)+t()=0有三个相异的实数根，求t的范围。分析：此方程可看作是函数y=f(g(x)与g(x)= |复合而成，方程的根也可看作是函数的零点，此类问题的解决仍然采用数形结合方法。解：令|m，则f(m)+t(=0，m+-2+t(=0，去分母得：，此方程最多有两个根，由函数m=|图象（

7、如图（4）可知，方程的两根必须有一根m 1，另一根0m0，a1)恰有三个不同的根，求a的取值范围。解：令函数y=f(x)的零点为m，即f(m)=0，对任意m，nR都满足f(mf(m)+f(n)=+n，则f(f(n)=n恒成立，即f(f(x)=x，若关于x的方程|f(f(x)-3|=1-(a0，a1)恰有三个不同的根，即|x-3|=1-(a0，a1)恰有三个不同的实根。（1）当0a1时，函数y=|x-3|-1与y=-图象如图（5）所示，两图象只有两个交点，所以不满足条件。0124xy图（6）y0124x图（5）（2）当1a3时，函数y=|x-3|-1与y=-图象如图（6）所示，两图象有三个交点，

8、（4）当a=3时，函数y=|x-3|-1与y=-图象只有二个交点，不满足条件。综上所述，函数有三个零点时a的范围为a3-1yx0-22。图（8）0124xy图（7）例6.解：画函数y=f(x)的图象，如图（8）所示，要使方程有八个不同的解，必须使y=f(x)在x（-1，）上有两个不同的解，转化为根的分布问题来求解，结果为例7. 解：设， 令0xT=f(x)aT=t1T=t2T=t30Y=f(x)t-a则，第一步，令，所以，当时，判别式，解得，；当时，由得，即，解得； 第二步，易得，且，若，其中， 当时，记，因为对称轴， ，且，所以方程有2个不同的实根； 当时，记，因为对称轴， ，且，所以方程有1个实根， 从而方程有3个不同的实根； 若，其中，由知，方程有3个不同的实根； 若， 当时，记，因为对称轴， ，且，所以方程有1个实根； 当时，记，因为对称轴， ，且， 14分记，则故为上增函数，且， 所以有唯一解，不妨记为，且，若，即，方程有0个实根； 若，即，方程有1个实根；若，即，方程有2个实根， 所以，当时，方程有1个实根 当时，方程有2个实根；