§10.4对面积的曲面积分课件

1、10.4对面积的曲面积分10.4 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 前面已经介绍了两类曲线积分前面已经介绍了两类曲线积分, 对第一类曲线积对第一类曲线积分分: niiiiLsdsyx10),(lim),( 其物理背景是曲线型构件的质量其物理背景是曲线型构件的质量, 在此质量问题在此质量问题中若把曲线改为曲面中若把曲线改为曲面, 线密度改为面密度线密度改为面密度, 小段曲线的小段曲线的弧长改为小块曲面的面积弧长改为小块曲面的面积, 相应地得和式相应地得和式.),(lim10 niiiiiS 一、对面积的曲面积分的概念和性质一、对面积的曲面积分的概念和性质 10.4对面积的曲面积分 所谓曲面光滑即

2、曲面上各点处所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面都有切平面, 且当点在曲面上连续移且当点在曲面上连续移动时动时, 切平面也连续转动切平面也连续转动. 分析分析: 我们同样可以使用我们同样可以使用“分分割割,近似近似, 求和求和, 取极限取极限”的方法讨论的方法讨论该曲面的质量问题该曲面的质量问题. 实例实例: 若曲面若曲面 是光滑的是光滑的, 它的面密度它的面密度 (x, y, z)为为连续函数连续函数, 求它的质量求它的质量.抽象概括得到对面积的曲面积分的概念抽象概括得到对面积的曲面积分的概念: 10.4对面积的曲面积分 定义定义: 设曲面设曲面 是光滑的是光滑的, 函数函数f(x, y,

3、z)在在 上有界上有界, 把把 任意任意分成分成n小块小块 Si(同时同时 Si也表示第也表示第 i 小块曲面小块曲面的面积的面积), 设点设点( i, i, i)为为 Si上上任意任意取定的点取定的点, 作乘积作乘积 f( i, i, i) Si,并作和并作和,),(1 niiiiiSf 如果当各小块曲面的直径的最大值如果当各小块曲面的直径的最大值0时时, 这和式的这和式的极限存在极限存在, 则称此极限为函数则称此极限为函数f(x, y, z)在曲面在曲面 上对面上对面积的积的曲面积分曲面积分或或第一类曲面积分第一类曲面积分. 并记为并记为: dSzyxf),(.),(lim10iiinii

4、Sf dSzyxf),(即即其物理意义是面密度为其物理意义是面密度为f(x, y, z)的曲面的曲面 的质量的质量. 其中其中f(x, y, z)叫作叫作被积函数被积函数, 叫作叫作积分曲面积分曲面.10.4对面积的曲面积分 由上述定义可知由上述定义可知, 其性质与对弧长的曲线积分的其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似性质完全类似.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质: .),(),(21 dSzyxfdSzyxf 21),( dSzyxf(1) 对函数的线性性质对函数的线性性质: (2) 对积分曲面的可加性对积分曲面的可加性: (3) 存在性定理存在性定理: 若函数若函数f(x,

5、y, z)在曲面在曲面 上连续上连续, 则则f(x, y, z)在曲面在曲面 上对面积的曲面积分存在上对面积的曲面积分存在. dSzyxgzyxf),(),(.),(),( dSzyxgdSzyxf10.4对面积的曲面积分二、对面积的曲线积分的计算法二、对面积的曲线积分的计算法 设积分曲面设积分曲面 的方程的方程: z=z(x, y), 在在xoy面上的投面上的投影区域为影区域为Dxy, 函数函数z=z(x, y)在在Dxy上具有连续的偏导数上具有连续的偏导数,且设被积函数且设被积函数f(x, y, z)在在 上连续上连续.Dxyz=z(x, y) SixozyiPi( i , i) 设设 上

6、的第上的第 i 块小曲面块小曲面 Si(它它的面积也记作的面积也记作 Si)在在xoy面上的投面上的投影区域为影区域为 i (它的面积也记作它的面积也记作 i),则则 Si可表示为二重积分可表示为二重积分: idxdyyxzyxzSyxi .),(),(122 由假设条件由假设条件, 利用二重积分的利用二重积分的中值定理中值定理, 可得可得:,),(),(122iiiyiixizzS 其中其中( i , i) i , 对应曲面对应曲面 上的点上的点Pi( i , i, i), 且有且有 i=z( i , i). 作和式作和式:10.4对面积的曲面积分iiiniiSf ),(1 dSzyxf),

7、(.),(),(1),(,(122 niiiiyiixiiiizzzf 由以上假设知由以上假设知: 上式两边当上式两边当0时的极限存在时的极限存在, 即即 iiiniiSf ),(lim10 .),(),(1),(,(lim1220 niiiiyiixiiiizzzf 上式左边为函数上式左边为函数f(x, y, z)在在 上对面积的曲面积分上对面积的曲面积分, 而而右边为一个在区域右边为一个在区域Dxy上的二重积分上的二重积分, 因此有因此有.1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx 这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式.10.4

8、对面积的曲面积分按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式: dSzyxf),(1) 若曲面若曲面 为为: z=z(x, y), 则则 .1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(2) 若曲面若曲面 为为: y=y(z, x), 则则 .1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(3) 若曲面若曲面 为为: x=x(y, z), 则则 .1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy 10.4对面积的曲面积分 这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式公式. 简述

9、为简述为:一代、二换、三投影一代、二换、三投影 代代: 将曲面的方程将曲面的方程z=z(x, y)代入被积函数代入被积函数;换换: 换面积元素换面积元素dS投影投影: 将曲面投影到将曲面投影到xoy坐标面坐标面, 得投影区域得投影区域Dxy. 注注1: 这里积分曲面的方程必须是这里积分曲面的方程必须是单值显函数单值显函数, 否否则可利用可加性则可利用可加性, 分块计算分块计算, 结果相加结果相加; 注注2: 把曲面投影到哪一个坐标面把曲面投影到哪一个坐标面, 取决于曲面方取决于曲面方程即方程的表达形式程即方程的表达形式; 注注3: 将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是将曲面的方程代入被积函数

10、的目的和意义是把被积函数化为二元函数把被积函数化为二元函数; 注注4: 切记任何时候都要换面积元切记任何时候都要换面积元.;122dxdyzzyx 10.4对面积的曲面积分,)( dSzyx其中其中 为平面为平面y+z=5被被 例例1: 计算计算 柱面柱面x2+y2=25所截得的部分所截得的部分. 解解: 积分曲面积分曲面 : z=5y, dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 其投影区域其投影区域Dxy: x2+y2 25, 面积元素面积元素: dSzyx)(故故 xyDdxdyyyx2)5( xyDdxdyx)5(2.2125 )5(2 xyxyDDxdxdydxd

11、y052 xyDdxdy10.4对面积的曲面积分,)(22 dSyx22yxz 与平面与平面z=1所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面. 解解: 将将 分成两部分分成两部分: , 10,:221 zyxz . 1, 1:222 yxz 例例2: 计算计算 其中其中 为锥面为锥面 oxyz 2 1, 2在在xoy面的投影区域面的投影区域: D: x2+y2 1, dSyx)(22 Dyxdxdyzzyx22221)( 1 21)()(2222 dSyxdSyx Ddxdyyx)(22 Ddxdyyx2)(22 Ddxdyyx)(22 Ddxdyyx)()12(22 10220)1

12、2(rdrrd .221 10.4对面积的曲面积分,122 dSyx例例3: 计算计算 其中其中 为为介于平面介于平面z=0与与 z=H之间的圆柱面之间的圆柱面x2+y2=R2. 解解: 令令 221:xRy 为为 在第一卦在第一卦 xyzo 1在在xoz面的投影区域为面的投影区域为Dzx: 0 z H, 0 x R,限的部分限的部分. 又由函数及积分曲面的对称性有又由函数及积分曲面的对称性有, 12222141dSyxdSyx zxDzxdxdzyyR222114 RHdxxRRdzR022024.2RH 10.4对面积的曲面积分例例4: 计算计算 ,| dSxyz其中其中 为抛物面为抛物面

13、z=x2+y2 (0 z 1). xyzo 解解: 抛物面抛物面 : z=x2+y2和被积函数和被积函数| xyz |都关于坐标面都关于坐标面xoz, yoz对称对称.则依对称性知则依对称性知: 设设 1为为 在在第一卦限部分的曲面第一卦限部分的曲面. dxdyzzdSyx221 ,)2()2(122dxdyyx dSxyz| 1|4 dSxyz而而,41 dSxyz 1在在xoy面上的投影面上的投影Dxy: x2+y2 1, x 0, y 0. dSxyz|dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 rdrrrttrd 10222041sincos42 (用极坐标计算用极坐标计算

14、) 10.4对面积的曲面积分duuu251)41(41 .42015125 drrrtdtt2105041sincos42 drrr210541214 令令 u=1+4r2. 注注: 对面积的曲面积分有对面积的曲面积分有完全类似与三重积分的完全类似与三重积分的对称性对称性. 设设 对称于对称于xoy(或或yoz, 或或zox)坐标面坐标面, 若若f(x, y, z)关于关于z (或或x,或或 y)是奇函数是奇函数, 则则. 0),( dSzyxf若若f(x, y, z)关于关于z (或或x, 或或 y)是偶函数是偶函数, 则则 .),(2),(1 dSzyxfdSzyxf其中其中 1是是 位于

15、对称坐标面一侧的部分位于对称坐标面一侧的部分. 10.4对面积的曲面积分例例5: 计算计算 ,)( dSzxyzxy解解: 在在xoy面上的投影区域面上的投影区域Dxy: x2+y2 2ax. ,22yxz ,2222yxyzyxxzyx xyDdxdyyxy222 cos20cos222ardrrrd其中其中 为锥面为锥面 22yxz 被柱面被柱面x2+y2=2ax所截得的部分所截得的部分. 积分曲面方程积分曲面方程: 则则 dSzxyzxy)(故故 2244cos1641cos2 da 2054cos28 da.152644a 由于积分曲面关于由于积分曲面关于yoz坐标面对称坐标面对称,

16、dSyz10.4对面积的曲面积分,)(222 dSzyx例例6: 计算计算 x2+y2+z2=a2的八面体的八面体| x |+| y |+| z |=a 的表面的表面. 其中其中 为内接于球面为内接于球面 解解: 被积函数被积函数f(x, y, z)=x2+y2+z2关于坐标面关于坐标面, 原点原点均对称均对称. 积分曲面积分曲面 也具有同样的对称性也具有同样的对称性. 设设 1表示表示 在第一卦限部分的曲面在第一卦限部分的曲面. 故原积分满足故原积分满足: dSzyx)(222,)(81222 dSzyx而而 1的方程为的方程为: x+y+z=a, 即即 z=axy, dxdyzzdSyx2

17、21 .3dxdy 所以所以 xzyoaaa 1dxdyyxayxxyD 3)(8222.324a dSzyx)(22210.4对面积的曲面积分重心重心: , dSdSxx, dSdSyy. dSdSzz转动惯量转动惯量: ,)(22 dSzyIx,)(22 dSzxIy.)(22 dSyxIz几何应用几何应用 . dSA质量质量: .),( dSzyxM对面积的曲面积分的应用对面积的曲面积分的应用 物理应用物理应用 曲面曲面 的面积的面积:10.4对面积的曲面积分例例7: 求均匀曲面求均匀曲面 222yxaz 的重心坐标的重心坐标. 解解: 由上半球面的对称性知由上半球面的对称性知: , 0

18、, 0 yx. dSzdSzdxdyzzdSDyx 221 dxdyyxaaD 222rdrraada 02220 .22a D: x2+y2 a2.dxdyzzyxazdSDyx 222221 dxdyyxaayxaD 222222 Ddxdya.3a ,2az 故重心坐标为故重心坐标为(0, 0, a/2). 所以所以 10.4对面积的曲面积分 dSyxIz)(220 Dyxdxdyzzyx222201)( Ddxdyyxaayx222220)( ardrrarda02222001 .3440a 例例8: 求密度为求密度为 0的均匀半球壳的均匀半球壳x2+y2+z2=a2(z 0)对对于于

19、z轴的转动惯量轴的转动惯量Iz.解解:半球壳在半球壳在xoy面上的投影面上的投影D: x2+y2 a2. 所以所以 10.4对面积的曲面积分例例9: 计算计算 ,)( dSczbyax解解: 由奇偶对称性知由奇偶对称性知: , 0 ydSxdS上半球面上半球面 1: ;222yxRRz 下半球面下半球面 2: 21 czdSczdS DdRc 2.43cR 其中其中 为球面为球面 x2+y2+z2=2Rz 的整个表面的整个表面.为计算为计算 须将须将 分成两部分分成两部分: , zdS.222yxRRz dSczbyax)( 1, 2在在xoy面上的投影区域面上的投影区域 D: x2+y2 R2. 10.4对面积的曲面积分另解另解: 由曲面形心公式由曲面形心公式, ,42RdS .43cR . dSdSzz. dSzcczdS而而 的形心坐标为的形心坐标为(0, 0, R), 所以所以, dSczby