第5讲 指数与指数函数

1、 指数与指数函数第5讲 根式的性质1 nn. )aa(1)(nn. aa当为奇数时n(2) ?0a ?a?n?n n为偶数时a当?1) m、na正分数指数幂：aN(a0，nm11*，且n1)、nN 0负分数指数幂：a (a，mnmnaman0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的性质 ssrr )；、saQ(a0，aarrsrs ；Q)、(a0，(ar)asrrr Q)b0，ab)rab(a0，( 指数函数的图像与性质3x ay1 01 图像 定义域 R(1) )值域 (2)(0， (0,1)(3)过定点 性质0；000yx；11 y时，1 011和a2 指数函数

2、的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0a 进行分类讨论 比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值3 160 的值为_(课本改编题)化简(2)1)1 27 答案 1163067. 2(21)1解析 (2)(1)22x2 _的取值范围是在(，)上为减函数，则实数 2若函数y(a1)a2) ，2(，1)(1答案 x2222a在(，)上为减函数，得0a11，1a即2，( 解析由ya1)11. 或20，且a(3 若函数fx)3 答案2 ，0a1，时， 解析当a1x0,2y23. 2，即aa因定义域和值域一致，故12 a当00a1)( 的图像可能是 a 2 D 答案 11x

3、B. A，解析 当a1时，ya为增函数，且在1y轴上的截距为01，排除aa11xD. ，故选轴上的截距为1ya0为减函数，且在y当0a0，且a1)，f(2)(5 设函数fx)2) A f(2)f(1) (1)f Bf( (2) f(Cf (1) f (2) 2) DfA 答案 x| 4，f(2)( 解析af(x)a0，且a1)，12 a，a，421?xx|A. 1)，故选(2)(fxf)(2，f?2 题型一 指数幂的运算21131 162(8；)例1 (1)计算：(124223)273624222xx11 ，求的值x(2)已知x332323xx22 (1)本题是求指数幂的值，按指数幂的运算律运

4、算即可；思维启迪：113322 x之间的关系xx与x(2)注意xx、222221311 (8)2716222解 (1)(1243)342623111) (28(113)233243426213 223211333211. 83811311112 ，9)(xx3(2)xx，222211 x，7x2x9，x2221 xx，47(xx)49，13311) (x)x1x(又xxx2222 3(71)，183 222x2x473. 333183xx22对 根式运算或根式与指数式混合运算时，探究提高将根式化为指数式计算较为方便，于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结 果

5、但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数 计算下列各式的值： 2712?01(1)3) ；510(2)(2(0.002)?82310 945；(2)3(1)253223abba ， (3)(a0b0)11114b?ab?a33241271021?1 (1)解 原式?50082325812?1 10(50052)?27231674. 520110105992 5(2)原式2?1521. 2)5(52)1(12123?abb?a233113111. 1bab2a原式(3)133361122baab33 指数函数的图像、性质的应用 题型二 bx的图像如图所示，其中函数a，)xf(a

6、b为常数，则下列 (1)2例 结论正确的是) ( 1aA，b0 ，1aBb0 1aC0b，0 D01a，b2 x(求函数(2)f4x5x3)的定义域、值域及其单调区间可以通过探求已知函数和指数函性质有关的问题，思维启迪：对于和指数函数的图像、 数的关系入手4 D (1)答案bbxx1.的图像可以观察出函数f(x)a0a所以 解析由f(x)a在定义域上单调递减，xxb1，由复合函数的单调性，可知)上是增函数 探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像 (2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨

7、论 xxee 的图像大致为y ( ) (1)函数xxee 答案 A xxee2x21的增大而增大，故y10，且随着e1解析 y，当x0时，xxxx21eee2又函且单调递减)上恒大于1，的增大而减小，即函数y在(0且随着1xx21e数y是奇函数，故只有A正确 2 (e是自然对数的底数)的最大值是m，且f()(e)(若函数(2)fxxx)是偶函数，则m_. 5 1 答案 ，f(x)x)是偶函数，所以f(x解析 由于f(2222 0x)，)即e(x，e(x)，(x)(x22 0e是R上的增函数，而x，f(x)ex.又y01. m，mef(x)的最大值为1 指数函数的综合应用题型三x |3无解？有一

8、解？有两解？1|例k3 (1)k为何值时，方程1x. (x)2(2)已知定义在R上的函数fx|23若f(x)，求x的值； 2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围 若2思维启迪：方程的解的问题可转为函数图像的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决 xx的图像向下平移3y1|的图像是由函数解 (1)函数y|3 一个单位后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图像如图所示 x1|的图像无交点，即方程与函数y|3当k0时，直线ykx1|的图像有唯一的交点，所以方程与函数y|3或k1时，直线yk 无解；当k0有一解； x1|的图像有两个不同的交点，

9、所以方程有两解|3 1k时，直线yk与函数y当0(2)当x0，x21. 11?ttt2222时，t1,2，0 m当?tt222tttt24221)，(21)，2 m10，即m(21)(2t21)(217，5， t1,2，故m的取值范围是5，) 探究提高 对指数函数的图像进行变换是利用图像的前提，方程f(x)g(x)解的个数即为函数yf(x)和yg(x)图像交点的个数；复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构 6 a xx 1)且(x)(aaa) (a0 已知f21a )的奇偶性；f(x判断(1) )的单调性；f(x(2)讨论 b的取值范围b恒成立，求(3)当x1,1时，

10、f(x) ，所以关于原点对称(1)因为函数的定义域为R解 axx ，()(axa)f又因为f(x21a 为奇函数(x)所以fxxxx2为增函数，为减函数，从而yaaa(2)当a1时，a10，ya为增函数，y 为增函数，所以f(x)2 当0a1时，a，10，且a1时， )在R上是增函数，(3)由(2)知f(x 1,1上为增函数，所以在区间 f(1)，所以f(1)f(x)a1) (aa)f(1)所以f(xmin21a2a1a ，1a21a ，1上恒成立，则只需b(x)b在1,1所以要使f ，1故b的取值范围是( 利用方程思想和转化思想求参数范围 xb2 )是奇函数x)已知定义域为R的函数f(14典

11、例：分x1a2 的值；a，b(1)求22 k的取值范围k)0)2tf(2t恒成立，求，不等式若对任意的(2)tRf(t上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构Rx)是定义在f审题视角 (1)( 1)f(1)(，f建方程：(0)0f22的一元二次不等式也可直接代入解析式化简，转化成关于tt,22tkt(2)可考虑将 的一元二次不等式的单调性，由单调性直接转化为关于xf考虑先判断()t7 规范解答 解 (1)因为f(x)是R上的奇函数， 1b所以f(0)0，即0，解得b1， a2x12从而有f(x).4分 x1a211 221又由f(1)f(1)知， a14a解得a2.经检验，a2，b1

12、符合题意，a2，b1.7分 x21(2)方法一 由(1)知f(x)， x12222k22t12t12t又由题设条件得0， 222k222t1t2t212222k1)0.12分t2k1，因底数21，故3t整理得23t 上式对一切tR均成立，从而判别式412k0， 1解得k.14分 3x1211方法二 由(1)知f(x)， xx21222122k)0f(2tt2t)ff(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式(由上式易知222k)因为f(x)是R上的减函数，(2t)kf(2t 等价于f(t)22ttk0， 即对一切tR有31从而412k0，解得k.14分 3温馨提醒 (1)根据f(

13、x)的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x都成立所以还要注意检验 222t恒成立等价转化为k)f(2t)t22tk恒成立这个转化易出错其次，不等式tt22t2222t3t的最小比01122t的最小值为，所以kt值小即可，而3. 338 方法与技巧 得到底数的值再进行比较x11判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x1. 012指数函数ya与 (a0，a1) 3对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成 失误与防范 1恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开

14、来 复合函数的问题，一定要注意函数的定义域2xxxx22形式的方程或不等式，常借助换元法0)a0c或a0 (ba3对可化为acb “新元”的范围解决，但应注意换元后 A组 专项基础训练) 分分钟，满分：57时间：(35) 分分，共20一、选择题(每小题511ba) ( 2，则m等于 1 设25 m，且ba10 B 10 A. 100 DC20 A 答案 ba m，logmblog， 解析25m，a521111 malogblogm522. 1052logloglogmmm10. m1?2) ( y 2函数x2x的值域是 ?2) B(0 RA ，1?， (2C ，) D. ?2D 答案 22 ，

15、1)x2 解析xx(119 11?2D. ，故选x2x?22xxa) (3 函数y(0a0a，x?xxa?时，函数是一个0x.当|解析 函数定义域为xxR，x0，且y?|x|x0xa，?时，函数图像与指数x0)上是减函数；当a指数函数，因为01，所以函数在(0，x 0)上是增函数，函数ya(x0,0a0，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是 (x4 若函数f()9) 2， A(，B2 ， 2 D (C2，) B 答案 11112 解析 )，舍去 (a由f(1)，得a，a39391?x4|2. x)(即f?3 上递增，2，2上递减，在，)在由于y|2x4|(B. )上递减故选上递增，

16、在2，2(所以fx)在，) 分，共每小题515分二、填空题(15x 的大小关系为_、)(n，则mn)a5 已知满足，f函数(x)a若实数，m、nf(mf2 n答案 m15x. n，m)a上是减函数又在R(n0解析 a)0，a1)1,2中的最大值比最小值大，则af6 函数)(xa (231 或答案221a2 a0(舍去)a时，当解析 0a1当a时，a，a或舍去22 01 31. 综上所述，a或22 xb (a0且a已知函数1)f的图像如图所示，(则x)aab7. 的值是 _ 答案 2 220aab? ，解析 ?043bab?ab2. 三、解答题(共22分) xx1|1|，求使f(xx)2)22的

17、x的取值范围 8 (10分)设函数f(x是增函数，f(x)222等价于 解 y3|x1|x1|. 2(1)当x1时，|x1|x1|2，式恒成立 (2)当1x1时，|x1|x1|2x， 33式化为2x，即x0且a1，函数ya的值 9 (12x (a0且a令ta1)， 解 22 (t0)ty(1) 则原函数化为1?x，ata1,1， 当0a0，所以a. 31?x，a，a xa1时，1,1，t当?a1?，a上是增函数在 t此时f()?a2214，aa()(1) ftf所以()max解得a3(a5舍去) 11 13. 或综上得a3 组 专项能力提升B) 分钟，满分：43分(时间：25) 分，共20分一

18、、选择题(每小题5 1?，0? ?xx?( ) F(x)的值域为 f(x)x，xR1 设函数f，则(x)x若F()?x，?xe0 ?) B2，A(，1 C(，1(2，) 2，) D(，1)答案 C 1解析 当x0时，F(x)x2； xxx，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，0时，F(x)e当xF(x)F(0)1，所以F(x)的值域为(，12，) x1|2a (a0，a1)有两个不等实根，则若关于2 x的方程|aa的取值范围是( ) A(0,1)(1，) B(0,1) 1?，0D. C(1，) ?2D 答案 xx有两个2aya (1|2aa0且a1)有两个实数根转化为函数|ay1|与|解析 方程 交点1. 当0a1时，如图(1)，02a1，即0a1，而a当1时，如图(2)y (2) 图 图(1) 1. 01，. ?22yf(x)的值域是0，1 二、填空题(每小题5分，共15分) 22x3m (a1)恒过点(1,10) 函数f(x)ax，则m_. 4答案 9 222x30时过定点(1，1m)或(3,1m)解析 f(xax，2x3