4-1 特征值与特征向量习题评讲

1、.特征值与特征向量习题评讲、设方阵有特征值，（1，-2，2）T和（-2，-1，2）T分别是对应的特征向量，试将向量（3，4，-6）T表示成和的线性组合，并求。解：令，解对应的线性方程组，所以，。故。（）（）（）（，）（，）（，）（，）（，）。、求下列方阵的特征值及对应的线性无关的特征向量：（）；（）；（）；（）（）解：（）（）（）（）（）（）（）（）。另解：第二行减第三行有个单特征值：，。对，解方程组（），由，通解为：（任意），一个基础解系为：（，），即属于的线性无关的特征向量只有一个。对，解方程组（），由，通解为：（任意），一个基础解系为：（，），即属于的线性无关的特征向量只有一个。对，解方

2、程组（），由，通解为：（任意），一个基础解系为：（，），即属于的线性无关的特征向量只有一个。（）解：（）（）（）（）。的特征值为：，。对，解方程组（），由，通解为：（任意），令，得一个基础解系：（，）。即属于的线性无关的特征向量只有一个。对，解方程组（），由，通解为：（任意），一个基础解系为：（，），即属于的线性无关的特征向量只有一个。（）解：（）（）（）（）（）。的特征值为：，。对，解方程组（），由，通解为：，（，任意）。一个基础解系为：（，），（，）。即属于的线性无关的特征向量恰好有个：，。对，解方程组（），由，通解为：（任意），一个基础解系为：（，）。即属于的线性无关的特征向量只有一个。

3、（）解：（）（）。的特征值为：，。对，解方程组（），通解为：（，任意），一个基础解系为：（，），（，）。即属于的线性无关的特征向量恰好有个：，。对，解线性方程组（），通解为：（为任意数），一个基础解系为：（，）。即属于的线性无关的特征向量只有一个。总自测题、（）（）矩阵的全部特征值为。解：。的全部特征值为：，。题型举例证明题、证明：矩阵只有两个线性无关的特征向量。证明：；的全部特征值为：。解齐次线性方程组（），由，秩（），这个元齐次线性方程组的基础解系含解个数秩（），所以矩阵只有两个线性无关的特征向量。证明：；的全部特征值为：解齐次线性方程组（），由，通解为：（，任意），一个基础解系为：（，）

4、，（，），所以矩阵只有两个线性无关的特征向量。、证明方阵与有相同的特征多项式（从而有相同的特征值）。证明：，可见方阵与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。、设方阵满足，证明：的特征值只能是或。证明：设是方阵的特征值，是对应的特征向量：（）。（）（）（）（）。因为，所以，即（），而，所以，故或。、设与是方阵的两个不同特征值，和分别是对应于和的特征向量，证明：不是的特征向量。证明：假设是的属于特征值的特征向量，则（）（），即。由题设：，于是有，即有（）（），属于不同特征值，的特征向量，线性无关，故有，；即有，这与题设条件矛盾，所以不是的特征向量。第五章自测题、（）若是阶方阵的一个特征值，则。解

5、：是阶方阵的一个特征值，则，即，即（），所以。、（）若是可逆方阵的一个特征值，则方阵必有一个特征值为。解：是可逆方阵的一个特征值；是可逆方阵的一个特征值；是可逆方阵的一个特征值；是方阵的一个特征值。解：因为（），所以是可逆方阵的一个特征值；是可逆方阵的一个特征值；（）是可逆方阵（）的一个特征值；（）是可逆方阵（）的一个特征值。、（）若与相似，则，。解：，则，即，所以。与的特征值都为：，所以（），。解：，则与的特征值都为：，。由，且，所以。因为所有特征值之和主对角线上元素之和：（），所以。、（）设方阵有一个特征值为。证明：方阵有一个特征值为。证明：设为方阵的属于特征值的特征向量：（）。（）（）（），即且，所以矩阵有一个特征值为。总自测题、（）若可逆矩阵有一个特征值为，则方阵（）必有一个特征值为（）。（）；（）；（）；