2-3无穷小-运算法则PPT优秀课件

1、1一、一、 无穷小无穷小定义定义1 .1 . 若0 xx 时 , 函数,0)(xf则称函数)(xf0 xx 例如 :,0)1(lim1 xx函数 1x当时为无穷小;,011lim xx函数 x 11当) x(或为时的无穷小无穷小 .时为无穷小.) x(或1x x无穷小与无穷大2, 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx, 01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意（1 1）无穷小是变量）无穷小是变量, ,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; ;（2 2）

2、零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数. .(3) (3) 必须指出自变量的趋势必须指出自变量的趋势32 2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系: :证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 4意义意义（1 1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题 ).(,)()(20 xAxfxxf

3、误误差差为为式式附附近近的的近近似似表表达达在在）给给出出了了函函数数（ ( (无穷小无穷小););5特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1 1）无穷大是变量无穷大是变量, ,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆; ;（3 3）无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量, ,但是但是 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大. .)(lim20认为极限存在认为极限存在）切勿将）切勿将（ xfxx二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. .”也也是是错错误误的的极极

4、限限不不存存在在“.)(lim0 xfxx6例如例如, , 函数函数),(,cos)( xxxxf)2(nf)(n当当n2但但0)(2nf所以所以x时时 , ,)(xf不是无穷大不是无穷大 ! !（3 3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量, ,但是但是 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大. .,0,1,0(1sin1)(这这个个函函数数不不是是无无穷穷大大时时但但当当上上无无界界在在区区间间证证明明函函数数 xxxxf7三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若若为无穷大为无穷大, ,)(1xf为无穷小为无穷小 ; ;若若)(xf为无穷小为无穷小, , 且且

5、,0)( xf则则)(1xf为无穷大为无穷大. .则则据此定理据此定理 , , 关于无穷大的问题都可转化为关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论无穷小来讨论. .定理定理2. 2. 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中, ,说明说明: :)(xf8几点注意几点注意: :无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的. .（1 1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量, ,不能与很小不能与很小 （大）的数混淆，零是唯一的无穷小数；（大）的数混淆，零是唯一的无穷小数；（2 2） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大. .小结小结9极限运算法则极限运算法则一、

6、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1.1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 . .机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1, .11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn10例如例如).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn11定理定理2 2 有界函

7、数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例例如如都是无穷小都是无穷小推论推论1 1 在同一过程中在同一过程中, ,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小乘积是无穷小. .推论推论2 2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论3 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小. .12二、极限运算法则二、极限运算法则定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgA

8、xf其中其中则则设设13)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00时时当当 xx,2B BBBB21 B21 ,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立14推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面. .)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而

9、存存在在如如果果推论推论2 2推论推论3:3: 若若,)(lim,)(limBxgAxf 且且),()(xgxf .BA )()()(xgxfx 利用保号性定理证明利用保号性定理证明 . .提示提示: : 令令则则15定理定理. . 若若,lim,limByAxnnnn 则有则有)(lim)1(nnnyx nnnyx lim)2(,00)3(时时且且当当 BynBAyxnnn limBA BA 因为数列是一种特殊的函数因为数列是一种特殊的函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 16解解)32(lim21 xxx, 0 )14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030

10、 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系, ,得得例例1 1.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx三、求极限方法举例三、求极限方法举例17解解例例2 2.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型( (消去非零因子法消去非零因子法) )18例例3 3.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷

11、大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 ( (无穷小因子分出法无穷小因子分出法) )无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子, ,分母分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限然后再求极限. .1972147532lim2323 xxxxx 147532lim2324xxxxx 147532lim2423xxxxx 0小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 ,

12、 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当20例例4 4).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限. .21例例5 5.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是是有有界界函函数数而而x. 0sinlim xxxxxysin 22例例6 6).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy

13、解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等, ,. 1)(lim0 xfx故故23例例7 7.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)().(lim原原式式3233232)(limaaxxaxax 0 24三、小结1 1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论; ;2 2、极限求法、极限求法; ;a.a.代入法求极限代入法求极限; ;b.b.消去非零因子法求极限消去非零因子法求极限; ;c.c.无穷小

14、因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限; ;d.d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限; ;e.e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限. .25思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 26思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误27._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空题一、填空题:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、练练 习习 题题28._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各极限二、求下列各极限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(li