D求导法则同济PPT学习教案

1、会计学1D求导法则同济求导法则同济定理定理1.的和、差、积、商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .可导都在点及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv第1页/共26页此法则可推广到任意有限项的情形.则vuvu )() 1 (故结论成立.例如, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hx

2、uhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxuwvuwvu)(第2页/共26页vuvuvu )(证证: 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( C为常数 )第3页/共26页解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(x

3、x)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx第4页/共26页)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu2vvuvuvu证证: 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvCvC( C为常数 )第5页/共26页 )

4、(csc xxsin1x2sin)(sinxx2sin,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx第6页/共26页 )( xf定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xy

5、xfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11第7页/共26页1解解: 1) 设,arcsin xy 则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 则第8页/共26页, )1,0(aaayx则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cot

6、arc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当ea时,小结小结:推论3)第9页/共26页在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导,故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy第10页/共26页例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.

7、第11页/共26页. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)(e)(lnxxxlne)ln(xxx1x)(e)(lnxxxxxx lne)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2ee)(shxxx2 xexexch说明说明: 类似可得;sh)(chxxaxxalne)(thx)(xaxxxchshth2eeshxxx;ch12x.lnaax第12页/共26页, )cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)cos(e1x)sin(e(xxe)tan(eexx思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(e(lnxf的导数?xfdd)(f ) )cos(e(ln

8、x)cos(eln)(xuuf这两个记号含义不同)cos(elnx第13页/共26页, )1(ln2xxy.y求解解:112xxy11212xx2112x记, )1(lnarsh2xxx则 )(arsh x112x(反双曲正弦)其他反双曲函数的导数看参考书自推. 2eeshxxx的反函数双曲正弦第14页/共26页1. 常数和基本初等函数的导数 (P95) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cos xxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(sec xxxtansec )(csc xxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xaaxl

9、n1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccos x211x )(arctan x211x )cot(arcx211x第15页/共26页 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定义证 ,说明说明: 最基本的公式uyddxudd其他公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数第16页/共26页求解解:,1111xxxxy.y21222xxy

10、12xx1 y1212x)2( x112xx例例8.设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln先化简后求导第17页/共26页求解解:,1arctane2sin2xyx.y1arctan)(2xy ) (e2sin x2sinex2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sinex2cos x2sinex112xx关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导第18页/共26页求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x

11、21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx第19页/共26页求导公式及求导法则 (见P95 P96)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .41143x1.xx1431x思考与练习思考与练习对吗?2114341xx第20页/共26页, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,由于 f (a) = 0，故第21页/共26页解解: (1

12、)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x(1);(2).bxaayyxbxbabalnxabbaln或xabyababxln第22页/共26页),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f第23页/共26页P 97 2(2) , (8) , (10) ; 3 (2) , (3) ; 4 ; 6 (6) ,(8) ; 7 (3) , (7) , (10) ;8 (4) , (5) , (8