2021-2021版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义学案苏教版选修1-2

1、3.3复数的几何意义【学习目标】1. 了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数 2 了解复数的加减运算的 几何意义3掌握用向量的模来表示复数的模的方法.问题导学新知探究点点落实知识点一复数的几何意义思考1复数z = a + bi( a, b R)与有序数对(a, b)有怎样的对应关系？思考2有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系?思考3复数集与平面直角坐标系中的点集之间能对应吗?思考4 复数z = a + bi、复平面内的点 Z(a, b)、向量0Z三者有何关系?1复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做, x轴叫做, y轴叫做2复数的几何意义复数z= a+ bi( a, b R

2、) 一一对应 复平面内的点 Z(a, b)一一对应向量Oz知识点二复数的模及意义1 .定义：向量6Z勺模叫做复数z = a+ bi的模，记为|z|.2.公式：|z| =a2+ b2.3 几何意义：复数 z对应点Z到原点0的距离.知识点三复数加减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量 对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？思考2怎样作出与复数zi Z2对应的向量?思考3 类比绝对值| x Xo|的几何意义，说明| z zo|( z, Zo C)的几何意义.1. 如下图，设向量 OZ, OZ分别与复数zi= a+ bi , Z2= c+ di对应，且OZ和OZ不共线，以oz

3、, Oz为邻边画平行四边形ozzz.贝u向量OZ与复数相对应；向量 NZi与复数相对应.门2. |zi Z2I =a c 2+ b d 2,即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对 应的两点间的距离.例1在复平面内，假设复数 z = ( mi m 2) + (mi 3m 2)i对应的点 在虚轴上；(2)在第 二象限；(3)在直线y = x上，分别求实数 m的取值范围.反思与感悟按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的对应关系， 每一个复数都对 应着一个有序实数对， 只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点， 就可根据点的位置 判断复数实部、虚部的取值.1 2i跟踪训练1设复数z=；-(m

4、E R)在复平面内对应的点为n i(1) 假设点Z在虚轴上，求 n的值；(2) 假设点Z位于第一象限，求 n的取值范围.类型二复数的模及其几何意义例2 复数乙=3 i ,Z2 = 2+#i(1) 求| Zi|及| Z2|的值并比拟大小；设z E C,满足I Z2| | z| | Z1|的点Z的集合是什么图形?反思与感悟 (1)复数z = a+ bi( a, b R)的模即向量OZ的模，复数的模可以比拟大小.(2) 复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可类 比以原点为起点的向量的模来加深理解.跟踪训练2(1)0a2，复数z的实部为a,虚部是1，求|z|的取值范

5、围；假设 |z|的取值范围是 中所求，那么复数z对应的点Z的集合是什么图形.类型三 复数加减法的几何意义例3 在复平面内，A, B, C分别对应复数 Zi= 1 + i , z2 = 5 + i , Z3 = 3 + 3i，以AB AC为邻 边作一个平行四边形 ABDC求点D对应的复数Z4及AD的长.反思与感悟(1)根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法那么.(2)复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可靠.跟踪训练 3 | zi| =|Z2| = |zi Z2| = 1,求 |zi + Z2|.达标检测当堂检测矶固

6、反应规律与方法1复数的几何意义复数乙一Z2|这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决.几何意义的应用，关键是抓住复数与点的一一对应.2 复数的模(1)复数 z= a+ bi( a, b R)的模 |z| = a2+ b2；从几何意义上理解，表示点 Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|表示点乙和点乙之间的距离.合案精析问题导学知识点一思考1对应.思考2对应.思考3 能对应.思考4 复数z = a + bi可以用复平面内的点 Z(a, b)来表示，也可以用向量O葆表示，三者 的关系是一一对应的.1.复平面实轴虚轴知识点三思考1如图，设OZ, OZ分别与复

7、数a+ bi , c + di对应，那么有OZ= (a, b) , OZ= (c, d)，由向量 加法的几何意义 OZ+ OZ= (a+ c, b+d)，所以OZ+ OZ与复数(a+ c) + (b + d)i对应，复数 的加法可以按照向量的加法来进行.思考2Zi Z2可以看作Z1+ ( Z2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行，所以可以按照平 行四边形法那么或三角形法那么作出与Z1 Z2对应的向量(如图).图中OZ对应复数Z1, OZ对应复数Z2，那么Z2Z1对应复数Z1 Z2.思考3 | z Zo|( z , Z0 C)的几何意义是复平面内点Z到点Zo的距离.1 .乙 + Z2 乙一Z

8、2题型探究例1 解 复数z = (mi m-2) + (ni 3耐2)i的实部为ml m 2，虚部为mi 3nu2.(1)由题意得斥一m 2= 0.解得m= 2或m= 1.m m- 20,12或n1, 1n0且1-2m0, 解得2| Z2|.设 z = x+ yi( x, y R)，贝U 1| z| 2.2 2 1 w x + y 4.因为x2 + y2表示圆x2 + y2= 1及其外部所有点组成的集合，x2+ y2w4表示圆x2 + y2= 4及 其内部所有点组成的集合.满足条件的点 Z(x, y)的集合是以0为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如下图.跟踪训练2解(1)由题意得z= a+

9、 i，根据复数的模的定义可得|z| = a2+ 1.2因为 0a2,所以 1a + 15.故 1| z| = . a2 + 1 5.由(1)知1| z| 5,易得满足条件 1|z| .5的点Z的集合是以原点为圆心、分别以 1 和. 5为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图：例3解由复数加减法几何意义:AC寸应复数Z3乙，AB对应复数Z2 zi, AD寸应复数 乙一乙，根据向量的平行四边形法那么, 得 AD= XB+ Ac Z4 Z1= ( Z2 Zi) + (Z3 Zi),Z4= Z2+ Z3 Zi = (5 + i) + (3 + 3i) (1 + i) = 7+ 3i , AD

10、的长为 | Ad = |Z4 Zi| = |(7 + 3i) (1 + i)|=|6 + 2i| = 2 10.跟踪训练3 解 方法一 设乙=a+ bi , Z2= c + di( a, b, c, d R),I Zi| = | Z2| = | Zi Z2| = 1 , a2 + b2= c2 + d2= 1，(a c)2+ (bd)2= 1.由得2ac+ 2bd= 1,I Zi+ Z2| = j； a+ c 2+b+ d 2=,a2 + c2 + b2 + d2+ 2ac+ 2bd= -3.方法二设O为坐标原点，zi、Z2、zi + Z2在复平面内对应的点分别为A、B、C/| Zi| = |

11、 Z2| = | Zi Z2| = 1 , OAB是边长为1的正三角形，OC四边形OAC是一个内角为60,边长为1的菱形，且|zi+ Z2|是菱形的较长的对角线 的长，I zi+ Z2| = | OC =j|OA2+ I AC2 2|OA ACcos 120 = .3.达标检测 5解析 z= (2 i) 2= 3 4i，所以 |z| = |3 4i| = ,32 + 4 2 = 5.解析 复数z对应的点为(一1,1)在第二象限.3. 6 8i解析 因为复数4+ 3i与2 5i分别表示向量OA与洗 所以Oa (4,3) , Sb= ( 2, 5),又AB= OB- A= ( 2, 5) (4,3) = ( 6, 8)，所以向量罷表示的复数是一6 8i.4. 9解析 T z= (m 3) + 2 mi表示的点在直线 y = x上， m 3 = 2 m