D62定积分在几何学上的应用PPT学习教案

1、会计学1D62定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直)(,babxax及 x 轴所则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 围曲边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 xxfxfAbad)()(21线yobxa)(2xfy )(1xfy xxxd第1页/共50页22,xyxy在第一象限所围所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A机动 目

2、录 上页 下页 返回 结束 第2页/共50页xxy22oy4 xyxy22与直线围图形的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有yyyd42A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共50页abxoyx12222byax解解: 利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a =

3、 b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxd第4页/共50页)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoa2第5页/共50页,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边

4、扇形的面积为d)(212A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共50页对应解解:)0(aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 从 0 变到 2 所围图形面积 . 第7页/共50页ttadcos82042所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223a心形线 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共50页oxya2222yxaxayx即)

5、cos1 ( ar 尖点:)0,0( 面积:223a 弧长:a8参数的几何意义心形线 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共50页2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共50页a2sin2a所围图形面积 . 解解: 利用对称性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为42a思考思考: 用定

6、积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462a机动 目录 上页 下页 返回 结束 yox44答案答案:第11页/共50页定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称第12页/共50页sdyxabo)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所

7、求弧长xysbad12xxfbad)(12(P168)22)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共50页)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共50页)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共50页)ch(cxccxccsh1)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 .

8、解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(ch x2shxxeex )(sh xxshxch机动 目录 上页 下页 返回 结束 cxbboy下垂悬链线方程为第16页/共50页ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共50页)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintd

9、ttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoa2第18页/共50页d222aa相应于 02一段的弧长 . 解解:)0(aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(P349 公式39)212a21ln2102)412ln(24122aa小结 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共50页设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 xabxxxd

10、)(xA上连续,第20页/共50页xyoabxyoab)(xfy 2)(xf绕 x 轴旋转一周围成的立体体积时,有)()(bxaxfyxdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共50页ayxb12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 x第22页/共5

11、0页tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343a机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共50页xyoa2)cos1 ()sin(tayttax)0(a的一拱与y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称利用对称性性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay机动 目录 上

12、页 下页 返回 结束 )2(tu 令第24页/共50页xyoa2a)cos1 ()sin(tayttax)0(aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a注注注 目录 上页 下页 返回 结束 )(1yxx 第25页/共50页分部积分对称关于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)(tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsi

13、n4uu24uudsin820222184226第26页/共50页a2柱壳体积xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(tayttax机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02第27页/共50页偶函数yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函数336a机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共50页轴所围图及表示xtxxfytV)0

14、(, )()()(xfy 在 x0 时为连续的非负函数, 且 ,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:. )(2)(tftV 证证:x)(xfxoytxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故第29页/共50页并与底面交成 角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2

15、123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体的体积 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 oRxyx第30页/共50页oRxy此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共50页abzxyco垂直 x 轴的截面是椭圆1)1 ()1 (22222222axaxczby1222222czbyax所围立体(椭球椭球体)解解:它的面积为)1 ()(22axbcxA因此椭球体体积为xbcaxd)1 (22bc20abca34特别

16、当 a = b = c 时就是球体体积 .)(axaaV02x233axx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的体积.第32页/共50页ox1 2yBC3A132xy与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解解: 利用对称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxd)4(322122第33页/共50页xyoab设平面光滑曲线, ,)(1baCxfy上的圆台的侧面积位于d,xxxsy

17、Sd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoab)(xfy abx第34页/共50页xyo)(xfy abxsySd2d侧面积元素xyd2sdxdxyd2因为的线性主部 .若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 )(2ttttd)()(22S机动 目录 上页 下页 返回 结束 侧面积为第35页/共50页xRyo上绕在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得的球台的

18、侧面积 S .解解: 对曲线弧,2122xxxxRy应用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式24RS机动 目录 上页 下页 返回 结束 1x2xozyx第36页/共50页轴旋转一周所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用对称性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32绕 x星形线 目录 上页 下页 返回 结束 taytax33sin,cos第37页/共50页taytax33sin,cosa星形线是内摆线的一种

19、.t点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停大圆半径 Ra小圆半径4ar 参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)星形线 目录 上页 下页 返回 结束 第38页/共50页1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页/共50页baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴 :4. 旋转体的

20、侧面积sySd2d侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)yxxA2)(绕 y 轴 :(柱壳法)(xyy ,)(轴旋转绕xxyy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第40页/共50页1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长长 s .提示提示: 交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s机动 目录 上页 下页 返回 结束 以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 第41页/共50页)()(222b

21、RRbyxoxyRbR上上半圆为22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求体积 :提示提示:方法方法1 利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕 x 轴旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .第42页/共50页RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222说明说明: 上式可变形为2RVb2d2bR 20机动 目录 上页 下页 返回 结束 上上半圆为,22xRby下下 y22xRx此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). dd2bRV第43页/共50页oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xR

22、bxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用对称性RS2b2S机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式也可写成d2bR20上上半圆为,22xRby下下 y22xRx它也反映了环面微元的另一种取法. 第44页/共50页P284 2 (1) , (3) ; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 10; 27 ; 30 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 面积及弧长部分面积及弧长部分： 体积及表面积部分：体积及表面积部分：P284 13; 14 ; 15 (1), (4); 17; 18补充题补充题: 设有曲线 ,1xy过原点作其切线 , 求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.第45页/共50页解：解