2023-2024学年常州溧阳市九年级上学期期中考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年常州溧阳市九年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列关于x的一元二次方程的是

(

)A.x2+1=0 B.x22.一元二次方程2x2−xx−A.x2−4x+5=0 3.方程4x2−4x+A.有一个实数根 B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根 D.无实数根4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC=135∘.则∠A.35∘ B.45∘ C.55∘5.如图，在⊙O中，∠BAC=55∘，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠A.55∘ B.110∘ C.70∘6.已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切7.如图，已知平面直角坐标系内三点A(3,0)、B(5,0)、C(0,4)，⊙P经过点A、BA.(6,8) B.(4,8.如图，在平面直角坐标系中，A4,0、B0,3，以点B为圆心，2为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接A.1.5 B.2 C.25 D.3二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9.方程x2=0的解是

10.一元二次方程x2−ax+6=0，配方后为11.关于x的

一元二次方程x−x2=kx2+112.如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，CD⊥AB，∠A13.在▵OAB中，OA=OB=2,⊙O的半径为14.已知圆锥的母线长为5，底面圆的直径为8，则它的侧面积为

(结果保留π).15.某商品经过两次降价，售价从原来每件50元降至现在的每件32元，则平均每次降价的百分率是

．16.如图，O是△ABC的内心，∠BOC=10017.如图，⊙O中，四边形ABDC内接于圆，BC是直径，AB=AC，若S四18.如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=8，点E、F三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题8.0分)解方程((((420.(本小题8.0分)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0应用：(1①②(2)已知关于x的一元二次方程x2+m−21.(本小题8.0分)如图，在⊙O

的内接四边形ABCD中，∠B(1)求证：(2)若BD

22.(本小题8.0分)如图所示，AB是⊙O的直径，AB=10，CD、EF是⊙O的两条弦，(1)求MN(2)若点P为AB上的动点，请确定点P的位置，使得23.(本小题8.0分)如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，E(1)请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P((2)若CE=24.(本小题8.0分)某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价2元，每天的销售量会减少8件．(1)若每件按11元出售，则单件利润为______元，每天的销售量为(2)当售价定为多少元时，每天的利润为14025.(本小题8.0分)如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，(1)判断直线CE与(2)若BC=2AB，BC26.(本小题8.0分)如图1，平面直角坐标系中，点P的标是0,4，⊙P的半径为5，OP与x轴分别交于A、B两点，与y轴分别交于

(1)直接写出点A、B、C、(2)如图2，E点坐标为0,8，点M是⊙P上任意一点，作直线EM，过点B作BQ⊥(3)如图3，过点4,0作直线l⊥x轴，在直线l上有一个动点N，连接NA、N答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．【详解】解：A．x2+B.x2+y=C.1x2D.x2−x故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2.【答案】C

【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式是ax【详解】解：2x整理得：x2故选C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax3.【答案】C

【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵4∴Δ∴一元二次方程有两个相等的实数根．故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．4.【答案】B

【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙∴∠故选B．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质．掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．5.【答案】C

【解析】【分析】连接OB、OC，首先根据圆周角定理求得∠B【详解】解：如下图，连接OB∵∠∴∠∵BP、∴∠∵在四边形OBPC∴∠故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、多边形内角和等知识，利用圆周角定理确定∠B6.【答案】D

【解析】【分析】根据圆于直线关系直接判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，∵P∴当PO是点O到直线的距离时相切，当PO不是点O到直线的距离时距离小于故选：D．【点睛】本题考查圆与直线的关系，圆心到直线的距离等于半径相切，圆心到直线距离小于半径时小角，大于半径相离．7.【答案】C

【解析】【分析】先由题意可知，点P在线段AB的垂直平分线上，可确定P的横坐标为4；设点P的坐标为(4,y)，如图作PE⊥OB【

详解】解：∵⊙P经过点A、B、∴点P在线段AB∴点P的横坐标为4，设点P的坐标为(4作PE⊥OB于E，由题意得：4解得，y=故选：C．【点睛】本题考查的是确定圆的条件，解题的关键是理解经过不在同一直线上的三点作圆，圆心是过任意两点的线段的垂直平分线的交点．8.【答案】A

【解析】【分析】取点D−4,0，连接PD，连接BD交⊙B于E【详解】解：如图，取点D−4,0，连接PD，连接B

∵C是AP的中点，O是∴OC是∴O在Rt▵B∴B当点P与点E重合时，PD最小为5∴OC的最小值为：故选：A．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键．9.【答案】x1【解析】【分析】直接开平方，求出方程的解即可．【详解】∵x开方得，x1故答案为：x1【点睛】此题考查了解一元二次方程−直接开平方法，比较简单．10.【答案】6

【解析】【分析】可把(x−3【详解】根据题意，(x−3)2=3【点睛】此题考查解一元二次方程−配方法，解题关键在于把(x11.【答案】−3【解析】【分析】根据一元二次方程的

解的定义，将x=【详解】解：x−x2∴解得：k=故答案为：−3【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将x=12.【答案】15∘【解析】【分析】根据圆周角定理，得到∠ABC【详解】∵∠∴∠∵C∴∠故答案为：15∘【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的特征，熟练掌握定理是解题的关键．13.【答案】60

【解析】【分析】连接线AB与⊙O的切点得OC，由OA=【详解】解：线AB与⊙

连接线AB与⊙O的切点得∵O∴∠AO∵O∴cos∴∠∴∠故答案为：60．【点睛】本题主要考查圆的切线性质、特殊三角函数、等腰三角形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．14.【答案】20π【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式：S=【详解】解：依题意知母线长为5，底面半径r=则由圆锥的侧面积公式得S=故答案为：20π【点睛】本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．15.【答案】20%【解析】【分析】设平均每次降价的百分率是x，根据两次降价列方程求解即可得到答案；【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，由题意可得，50(解得：x=20%或x故答案为：20%【点睛】本题考查一元二次方程解决平均变化问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式．16.【答案】20

【解析】【分析】根据点O是▵ABC的内心，即角平分线的交点，在▵BOC中，可求出【详解】在▵B∵∠∴∠∵点O是▵A∴∠在▵A∵∠∴∠故答案为：20．【点睛】本题主要考查三角形内角和及角平分线的定义，知道内心是角平分线的交点是解题的关键．17.【答案】2【解析】【分析】过A点作AE⊥AD，交DB的延长线与点E，证明▵ABE≌【详解】解：如图，过A点作AE⊥AD，交

∴∠∵BC为∴∠∴∠∴∠∵A∴∠∴∠∵∠∴∠∴∠∴A在▵ABEA∴▵∴S∴S∴1∴A故答案为：2【点睛】本题主要考查了圆周角定理和全等三角形的判定与性质，关键在于运用转化思想，将四边形ABDC18.【答案】48−【解析】【分析】设EF中点为O，半圆与BC相切于点G，与CD相切于点N，连接GO、NO并延长，交AD、AB于点H、M，连接OA，设半圆的半径为r，即OE=OF=ON=OG=r，由切线的性质可得OG【详解】解：如下图，设EF中点为O，半圆与BC相切于点G，与CD相切于点N，连接GO、NO

即点O为半圆圆心，设半圆的半径为r，即OE∵四边形AB∴∠D=∠C∵半圆与BC相切于点G，与CD相切于点∴OG⊥∴OH⊥∴四边形AM∴OH=AM∵AB=∴AH=在Rt▵AEF∴O在Rt▵A即(8整理可得r2解得r1=5，r∴OA=OF∴HF=∴AF=∴==48故答案为：48−【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、切线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．19.【答案】【小问1详解】解：移项得：(开方得：x−解得：x1【小问2详解】因式分解得：2x∴2x+解得：x【小问3详解】因式分解得：2x∴2x+解得：x【小问4详解】因式分解得：x+∴x+2解得：x1

【解析】【分析】(1(2(3(4【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握直接开方法和因式分解法是解题的关键．20.【答案】【小问1详解】解：①xx解得：x1=3∵3∴一元二次方程x2②x∵a=1，b∴x∴x1=∵∴一元二次方程x2【小问2详解】x2x−∴x1=∵关于x的一元二次方程x2+m∴5−−∴m=−

【解析】【分析】(1)①解一元二次方程x2−x−6=(2)利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程x2+m【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程以及新定义，解题的

关键是：(1)求出两方程的根，作差来判断两方程是否是“邻根方程”；(221.【答案】(1)∵AC平分∴∠∵∠AC∴∠∴△AB(2)作直径D∵△AB∴∴∵D∴∠∴∠∴D设EB=x∴∵x∴x∴即DE

【解析】【详解】【试题分析】(1)因为AC平分∠BCD，∠BCD=120°，根据角平分线的定义得：∠AC(2)作直径DE，连结BE，由于△ABD是等边三角形，则∠则∠EDB=30设EB=x，则E解得：x=2【方法点睛】本题目是一道圆的简单证明题目，以圆的内接四边形为背景，圆的内接四边形的对角互补，在圆中往往通过连接直径构造直角三角形.在通过三角函数或勾股定理来求解线段的长度．22.【答案】【小问1详解】连接OC∵CD⊥AB，EF⊥∴C∵A∴O∴O∴M【小问2详解】连接DE交AB于点P，连接CP，作EG⊥∴M∴D∵CD⊥AB∴P∴P∴DE=D

【解析】【分析】(1)连接OC,OE，分别求出(2)连接DE交AB于点P，连接CP，作EG⊥【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．23.【答案】【小问1详解】解：如图，连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点∵∠PE∴∠则点P′和P【小问2详解】解：∵矩形ABCD∴∠∵∠∴∠∵∠∴▵∴B设BP′=x，∴P∴5x(解得x1=1∴BP的长为1或

【解析】【分析】(1)连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′即可得∠PEC=∠(2)根据矩形性质和∠PEC=∠【点睛】本题考查了作图−复杂作图，圆内接四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．24.【答案】【小问1详解】解：依题意，单件利润为11−5=每天的销售量为32−11故答案为：6，24．【小问2详解】解：设售价定为x元时，每天的利润为140元，根据题意，得：x−解得：x1答：售价定为12元或10元时，每天的利润为140元．

【解析】【分析】(1)根据利润等于售价减进价，每件提价2元，每天的销售量会减少(2)设售价定为x元时，每天的利润为【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程解题的关键．25.【答案】解：(1)直线CE连接OE，则O∴∠∵四边形AB∴BC/∴∠∵∠∴∠∴∠∵∠∴∠∴∠DE∵O∴直线CE与⊙(2)∵∴A∵四边形AB∴∠B=∠D连接EF∵AF是∴∠∵∠B=∴tan∴ABB