常数项级数的收敛性及其判别法PPT学习教案

1、会计学1常数项级数的收敛性及其判别法常数项级数的收敛性及其判别法1.定义:，中各项均有中各项均有如果级数如果级数01 nnnuu这种级数称为正项级数. nsss212.正项级数收敛的充要条件:基本定理（正项级数收敛判别法则）.ns正正项项级级数数收收敛敛部部分分和和所所成成的的数数列列有有（上上）界界部分和数列 为单调增加数列.ns推广：同号级数第1页/共38页 例 1. 判定 的敛散性. 1121nn解121 n1211211212 nnSn2121212 n211 由基本定理知,故级数的部分和,21n 1 该正项级数收敛.由于第2页/共38页且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1n

2、nv收敛收敛, ,则则 1nnu收敛；收敛；反之，若反之，若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散. .证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu , 即部分和数列有界.1收敛收敛 nnu均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu3.比较判别法nvvv 21第3页/共38页nns 则则)()2( nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列.1发散发散 nnv推论推论: : 若若 1nnu收敛收敛( (发散发散) )且且)(nnnnvkuNnkuv , ,则则 1nnv收敛收敛( (发散发散).).定理证毕.比较判别法的不便:须有参考级数. 第4页/共38页解, 1

3、 p设设,11nnp .级数发散级数发散则则 P, 1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211第5页/共38页 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.p 则则级级数数收收敛敛 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数: 几何(等比)级数, p-级数, 调和级数.第6页/共38页证明,11)1(1 nnn,111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发散发散级数级数第7页/共38页4.比较判别法的极限形式:设1nnu与1nnv都是正项级数, 如果则(

4、1) 当时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当时，若收敛, 则收敛; (3) 当时, 若1nnv发散, 则1nnu发散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu第8页/共38页证明lvunnn lim)1(由由, 02 l 对于对于,N ,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论, 得证.第9页/共38页设设 1nnu为正项级数为正项级数, ,如果如果0lim lnunn ( (或或 nnnulim),),则级数则级数 1nnu发散发散; ;如果有如果有1 p, , 使得使得npnun lim存在存在, ,则级数则级数 1nn

5、u收敛收敛. .5.5.极限极限判别判别法：法： 1/pnvn取第10页/共38页解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收敛收敛 nn故原级数收敛.第11页/共38页6.6. 达朗贝尔达朗贝尔 （D DAlembertAlembert） 判别判别法法( (比值比值判别法判别法) )： 则则1 时时级级数数收收敛敛; ;1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .证明,为有限数时为有限数时当当 , 0 对对,N ,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即第12页/共38

6、页,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收敛收敛 NnummNuu收敛, 1 取取, 1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu发散第13页/共38页达朗贝尔判别法的优点:不必找参考级数. ,11发散发散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1( 2. 若用达朗贝尔判别法判定级数发散级数的通项un不趋于零.后面将用到这一点.1. 适用范围：中中nunn 或关于或关于含有含有 !的若干连乘积(或商)的形式.,)1(时时 注第14页/共

7、38页,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna1limlim.nnnnnuau而不存在因为：第15页/共38页解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn第16页/共38页),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值判别法失效, 改用比较判别法,12)12(12nnn ,11

8、2收敛收敛级数级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn第17页/共38页例. 利用级数收敛性,证明. 0) !(lim2 nnnn证 考查级数,) !(12 nnnn由于nnnuu1lim nnnnnnn221) !()!1()1(lim nnnn1111lim0 故级数 收敛. 12) !(nnnn由级数收敛的必要条件知,. 0) !(lim2 nnnn1 第18页/共38页7.7. 柯西柯西判别法判别法 ( (根值根值判别法判别法) )： 设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果 nnnulim)( 为为数数或或 , ,则则1 时级数收敛时级数收敛; ;,1 ,1 n

9、nn设级数设级数例如例如nnnnnu1 n1 )(0 n级数收敛.1 时级数发散时级数发散; ; 1 时失效时失效. .第19页/共38页定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. nnnnnnuu 111)1()1(或或莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, , 则级数收敛则级数收敛, ,且其和且其和1us , ,其余项其余项nr的绝对值的绝对值 1 nnur. . )0( nu其中其中第20页/共38页证明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21

10、243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是有界的是有界的数列数列ns第21页/共38页)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且级数收敛于和级数收敛于和),(21 nnnuur余项余项,21 nnnuur满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕.第22页/共38页第23页/共38页解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1单调递减单调递减故函数故函数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原级数收敛.一个基本例子：11( 1)

11、!nnn 交交错错级级数数收收敛敛第24页/共38页定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定理定理 若若 1nnu收敛收敛, ,则则 1nnu收敛收敛. .证明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv显然显然,nnuv 且且,1收敛收敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收敛收敛.第25页/共38页上定理的作用：任意项级数正项级数定定义义: :若若 1nnu收收敛敛, , 则则称称 0nnu为为绝绝对对收收敛敛; ;若若 1nnu发散发散, ,而而 1nnu收敛收敛, , 则称则称 1nnu为条件收敛为条件收敛. .第26页/共38页例例 6 6 判

12、判别别级级数数 12sinnnn的的收收敛敛性性. .解,1sin22nnn ,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛.第27页/共38页 判别级数 是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?)1sin(12 nn 早期研究生考试题解因为 nnn1sin2 nnn 1sin)1(2 )1sin(2 n )1(sin2nnn )1sin(12 nn nnnn 1sin)1(21 为交错级数.正nnn 1sincos2 nnn 1cossin2 第28页/共38页nnu lim 121sin)1(nnnn 12)1sin(nn 121sinnnn 根据比较判

13、别法的极限形式: 12)1sin(nn 知发散.即原级数不是绝对收敛.nnnn11sinlim2 ,2 n1(1)第29页/共38页)1sin(lim2 nn 因为)1sin(12 nn nnnn 1sin)1(21 为交错级数.由于0 (2)nnun 1sin2 所以级数 收敛,)1sin(12 nn 且为条件收敛.故级数满足莱布尼茨定理的两条件,nnnn 1sin)1(lim2 12)1(1)1(sin nunn 第30页/共38页通常先考查它若使用比值法或根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项不趋于零),对交错级数,利用无穷级数的性质1、2 将级数如不是绝对收敛的,再看它是否条件收敛.

14、便可断言级数发散.可用莱布尼茨定理.然后讨论敛散性也是常用手段.拆开为两个级数,(用正项级数的审敛法),讨论任意项级数的收敛性时,是否绝对收敛第31页/共38页正 项 级 数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun第32页/共38页 正项级数审敛法的思维程序1.0lim nnu2.若 0lim nnu比值、根值法;若失效3.比较审敛法的极限形式4.5.充要条件6.按基本性质7.ssn?比较审敛法发散;第33页/共38页任意项级数审敛法的思维程序3. 交错级数(莱布尼茨定理)1.0lim nnussn?发散