高等数学下册D87方向导数与梯度课件

1、高等数学下册D87方向导数与梯度 第八章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度高等数学下册D87方向导数与梯度l),(zyxP一、方向导数一、方向导数定义定义: 若函数),(zyxff0lim则称lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.),(),(lim0zyxfzzyyxxf在点 ),(zyxP处沿方向 l (方向角为, ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P记作记作 高等数学下册D87方向导

2、数与梯度,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证明证明: 由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在点 P 可微 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 P故coscoscoszfyfxf高等数学下册D87方向导数与梯度机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数, ),(yxf为, ) 的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(co

3、s),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特别特别: : 当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflfl向角高等数学下册D87方向导数与梯度例例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向导数 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 向量 l 的方向余弦为高等数学下册D87方向导数与梯度例例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向

4、的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为2)2, 1 (xxPlz它在点 P 的切向量为,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos1机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学下册D87方向导数与梯度例例3. 设是曲面n在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处

5、沿求函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 nn高等数学下册D87方向导数与梯度二、梯度二、梯度 方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：机动 目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmax高等数学下册D87方向导数与梯度1. 定义定义, fadrg即fadrg同样可定义二元函数),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度zfyfxf,kzfjyf

6、ixf记作(gradient),在点处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 G说明说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2. 梯度的几何意义梯度的几何意义高等数学下册D87方向导数与梯度函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 面上的投在曲线xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影称为函数 f 的等值线等值线 . ,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc设P同样, 对应函数, ),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf当各偏导数不同时

7、为零时, 其上 点P处的法向量为.gradPf, ),(yxfz 对函数指向函数增大的方向.高等数学下册D87方向导数与梯度3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学下册D87方向导数与梯度例例4.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(

8、rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(试证rxrf)( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 .)()(radg0rrfrf处矢径 r 的模 ,r高等数学下册D87方向导数与梯度三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场 (数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数)(Pf梯度场梯度场)(gradPf( 势 )如: 温度场, 电位场等如: 力场,速度场等(向量场) 注意注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学下册D87方向导数与梯度例例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点),

9、(4222zyxrrqu),(zyxP试证证证: 利用例4的结果 这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动 目录 上页 下页 返回 结束 Eugrad)4(02rrqE 场强04gradrrqu024rrqE0)()(gradrrfrf高等数学下册D87方向导数与梯度内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin机动 目录 上页 下页 返回

10、 结束 高等数学下册D87方向导数与梯度2. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.高等数学下册D87方向导数与梯度思考与练习思考与练习1. 设函数zyxzyxf2),(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)

11、中切线方向切线方向 的夹角 .2. P73 题 16机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学下册D87方向导数与梯度,),(2zyxzyxf曲线 12 32tztytx1. (1)在点)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266解答提示解答提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量高等数学下册D87方向导数与梯度)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgrad机动 目录 上页 下页 返回 结束 l cosMfgradl4

12、2042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax2. P73 题 16高等数学下册D87方向导数与梯度P51 2，3，6，7，8，9，10 作业作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学下册D87方向导数与梯度备用题备用题 1. 函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学下册D87方向导数与梯度指向 B(