高等数学第3节课件

1、高等数学第3节数列极限数列极限收敛数列极限收敛数列极限函数极限函数极限 高等数学第3节“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入S=S= 高等数学第3节高等数学第3节R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS.262,1r,sinr23A)1n(2)1n(n 高等数学第3节2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不

2、竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第nnX211 1高等数学第3节定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n二、数列的定义二、数列的定义;,)1(

3、, 1 , 1, 11 n)1(1 n高等数学第3节0数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列. .可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx0数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33,3 f(n)f(n)具有函数的一些性质：如单调性具有函数的一些性质：如单调性x xn+1n+1 x xn n 、有界性有界性 x xn nM M，等。，等。注注:高等数学第3节.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限高等数学第3节n=1

4、9n=32n=42n=50高等数学第3节问题问题:1) 当当 n 无限增大时无限增大时, x n 是否无限接近于是否无限接近于某一确定的数值某一确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?2) “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学如何用数学语言刻划它语言刻划它. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 通过演示实验的观察通过演示实验的观察:高等数学第3节 1nxnnn11)1(1 随着随着n的增加，的增加，1/ /n会越来越小。例如会越来越小。例如 我们可用两个数之间的我们可用两个数之间的距离距离来刻化两个数来刻化两个数的的接近程度接近程度. 1)

5、1(11nn,1001 给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,1000时时只要只要 n,100011 nx有有,10001 给定给定,1000011 nx有有,10000时时只只要要 n,100001 给定给定高等数学第3节, 0 给给定定,)1(时时只要只要 Nn.1成成立立有有 nx只要只要n无限增大，无限增大，xn 就会与就会与1无限靠近。无限靠近。Nn 确保 1nx)1(的的接接近近程程度度与与刻刻画画nx 1充充分分接接近近nx n引入符号引入符号 和和N来刻化无限靠近和无限增大。来刻化无限靠近和无限增大。高等数学第3节定定义义 如如果果对对于于

6、任任意意给给定定的的正正数数 ( (不不论论它它多多么么小小) ), ,总总存存在在正正数数N, ,使使得得对对于于Nn 时时的的一一切切nx, ,不不等等式式 axn都都成成立立, ,那那末末就就称称常常数数a是是数数列列nx的的极极限限, ,或或者者称称数数列列nx收收敛敛于于a, ,记记为为 ,limaxnn 或或).( naxn如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.;的的无无限限接接近近与与刻刻划划了了不不等等式式axaxnn .有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 N注注:高等数学第3节x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.

7、)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使高等数学第3节 数列极限的定义未给出求极限的方法，我们数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在。可以用定义来证明极限的存在。例例1 1. 1)1(lim1 nnnn证证明明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只只要要所以所以, ,1 N取取,时时则则当当Nn

8、1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即,1 nx就就有有高等数学第3节例例2 2.lim),(CxCCxnnn 证证明明为为常常数数设设证证Cxn CC ,成立成立 ,0 任任给给所以所以, ,0 ,n对对于于一一切切自自然然数数.limCxnn 说明说明: :常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数. .注注: : 用定义证明数列极限存在时用定义证明数列极限存在时, ,关键是关键是从从主要不等式出发主要不等式出发, ,由由0,0,找到使找到使主要主要不等式成立的不等式成立的N(N(并不在乎并不在乎N N是否最小是否最小).).高等数学第3节例例3 3. 1, 0l

9、im qqnn其其中中证证明明证证, 0 任给任给,0 nnqx要要,lnln qn只要只要,lnlnqN 取取,时时则则当当Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnln:qn 即即高等数学第3节例例4 4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求证求证且且设设证证, 0 任任给给.limaxnn 故故,limaxnn , aaxNnNn时时恒恒有有使使得得当当axaxaxnnn 从从而而有有aaxn aa 高等数学第3节Z 思考思考指指出出下下列列证证明明1lim nnn中中的的错错误误。证明证明要使要使,1

10、nn只要使只要使)1ln(ln1 nn从而由从而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N当当 时，必有时，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn高等数学第3节思考题解答思考题解答 1nn)1ln(ln1 nn（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn实际上就是不等式实际上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值nnln高等数学第3节从而从而 时，时，2ln)1ln( Nn仅有仅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分条件的充分条件)1l

11、n(ln nn反而缩小为反而缩小为n2ln高等数学第3节定理定理1 1（唯一性唯一性）每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使使得得., 021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时时恒恒有有当当 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.1.3.2 收敛数列的性质收敛数列的性质高等数学第3节有界性有界性定定义义: 对对数数列列nx, 若若存存在在正正数数M, 使使得

12、得一一切切自自然然数数n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 则则称称数数列列nx有有界界,否否则则, 称称为为无无界界.例如例如, ,1nnxn 数数列列nn2y 数列数列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界；有界；无界。无界。高等数学第3节定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆皆有有则则对对一一切切自自然然数数 .有界有界故故nx有界性是数列收敛

13、的必要条件有界性是数列收敛的必要条件. .推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .注注:高等数学第3节例例5.)1(1是是发发散散的的证证明明数数列列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axNnNn),21,21(, aaxNnn时时即即当当区间长度为区间长度为1.,1, 1两两个个数数无无休休止止地地反反复复取取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx高等数学第3节定理定理3（保号性）（保号性） 定理定理4 四项基本运算四项基本运算)

14、0(0,)0(0 raraNnNrrarann或或时，总有时，总有使得使得存在正整数存在正整数的的或或式式则对任意一个满足不等则对任意一个满足不等),0(0lim 或或aann定理定理5（保不等性）若（保不等性）若 ,0Nbann存存在在正正整整数数是是收收敛敛数数列列和和使得使得nnnnnnbabaNn limlim,0则则时时有有高等数学第3节定理定理6.夹逼准则夹逼准则准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及nz满满足足下下列列条条件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在, , 且且axnn l

15、im. .证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 高等数学第3节,1 ayNnn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时时恒恒有有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限高等数学第3节例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹挤定理

16、得由夹挤定理得. 1)12111(lim222 nnnnn高等数学第3节x1x2x3x1 nxnx定理定理7.单调有界准则单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:AM高等数学第3节例例2 2.)(333的的极极限限存存在在式式重重根根证证明明数数列列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim

17、21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx高等数学第3节.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx1.3.3 函数极限函数极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限高等数学第3节高等数学第3节函数函数)(xfy 在在 x的的过程中过程中, 对应函数值对应函数值)(xf无限无限趋近于趋近于确定值确定值 A.;)()(的的接接近近程程度度与与表表示示用用AxfAxf .的的过过程程表表示示 xXx. 0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 特例：通过上面演示实验可观察到特

18、例：通过上面演示实验可观察到: :问题问题:如何用数学语言刻划当如何用数学语言刻划当 x 无限增大，函数无限增大，函数 f (x) “无限接近无限接近” ” 确定值确定值A. .高等数学第3节定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim1 1、定义、定义高等数学第3节:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim2.另两种情形另两种情形 Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且高等数学第3节

19、xxysin 3.几何解释几何解释 X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxA高等数学第3节xxysin 例例1 1. 0sinlim xxx证明证明证证xxxxsin0sin x1 X1 , , 0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfycycxfx 高等数学第3节问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数

20、值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(的接近程度的接近程度与与表示表示AxfAxf .000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 2.自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限高等数学第3节112)(,1无无限限接接近近时时例例 xxfx 1 . 012 . 01122 . 0 xx只只须须要要使使取取., 相相应应地地可可找找到到一一个个给给定定一一个个 001. 01002. 0112002. 0 xx只只须须要要使使 01. 0102. 011202. 0 xx只只须须

21、要要使使高等数学第3节定定义义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当高等数学第3节几何解释几何解释)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx;)(0是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf.,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 注：注：0 0 .有关与任意给定的正数高等数学第3节例例2 2).(,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 证证Axf )(CC ,成立成立 , 0 任任给给0 .

22、lim0CCxx , 0 任任取取,00时时当当 xx例例3 3.lim00 xxxx 证证明明证证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 高等数学第3节例例4 4. 211lim21 xxx证证明明证证211)(2 xxAxf, 0 任给任给, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x x =1=1处没有定义处没有定义. .1 x,)( Axf要要使使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx高等数学第3节例例5 5.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 任给任给,min00 x

23、x取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx .00且且不不取取负负值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明高等数学第3节3.单侧极限单侧极限例如例如, ,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证证明明设设两两种种情情况况分分别别讨讨论论和和分分00 xx,0 xx从从左左侧侧无无限限趋趋近近; 00 xx记作记作,0 xx从从右右侧侧无无限限趋趋近近; 00 xx记记作作yox1xy 112 xy高等数学第3节左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限.

24、)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作高等数学第3节.)0()0()(lim:8000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不不存存在在验验证证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等, ,.)(lim0不不存存在在xfx例例6 6证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x高等数学第3节例例7 7).(lim,0, 10,1)(02x

25、fxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故高等数学第3节 定理定理10.局部局部 有界性有界性定定理理 若若在在某某个个过过程程下下, ,)(xf有有极极限限, ,则则存存在在过过程程的的一一个个时时刻刻, ,在在此此时时刻刻以以后后)(xf有有界界. .定理定理9. 唯一性唯一性 .,:aaxn收收敛敛，且且极极限限也也是是那那么么它它的的任任一一子子数

26、数列列也也收收敛敛于于如如果果数数列列关关系系收收敛敛数数列列与与其其子子列列间间的的推推论论高等数学第3节 ).0)(0)(),(,),0(),0(0,)(lim000000 rxfrxfxUxxUxArrAAAxfxx或或使使对对一一切切的的某某去去心心领领域域则则对对任任何何正正数数或或且且若若 定理定理1111局部保号性局部保号性).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若 推论推论高等数学第3节定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxf

27、BAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设定理定理12、极限运算法则、极限运算法则高等数学第3节推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果推论推论2 2高等数学第3节定理定理15. 复合函数极限性质复合函数极限性质定理定理 设函数设函数u= (x)在在x0的某个的某个 去心领域去心领域U(x0, )内内 (x) a,但是但是则复合函数则复合函数f (x)当当xx0时的极限也存

28、在时的极限也存在, 且且Aufaxauxx )(lim,)(lim0Aufxfauxx )(lim)(lim0 高等数学第3节,)(00)(,)(,0)min(,)(),(02,120 auaxaxaxxxaxxUx即即有有取取设设 AufauAufau)(,0, 0, 0)(lim恒恒有有已已知知证证axxx )(lim0 又又, 0, 01 对对上上面面的的 axxx)(,010恒有恒有!,)(lim)()(0证毕证毕由极限定义得由极限定义得有有AxfAufAxfxx 高等数学第3节例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 x

29、xxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 高等数学第3节小结小结: :则则有有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若

30、xQ高等数学第3节解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系得由无穷小与无穷大的关系得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx高等数学第3节解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后后再再求求极极限限因因子子先先约约去去不不为为零零的的无无穷穷小小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去

31、零因子法)高等数学第3节.2237lim;,1)1(lim:20 xxNnxxxnx类类似似的的问问题题还还有有2237lim2 xxx32372222lim3722)22)(22()37)(37(lim22 xxxxxxxxxxxx)1113(lim31 xxx11) 2(lim) 1() 1)(1(lim) 1() 1(3lim2131321 xxxxxxxxxxxx高等数学第3节例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x3323

32、23147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)高等数学第3节020)2(lim)(lim2lim925lim22229519512 xxxxxxxxxxxx例例 592lim0925lim2lim592lim22519222xxxxxxxxxxxxx由上例知，由上例知，又例又例高等数学第3节小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次

33、幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.高等数学第3节例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无穷穷小小之之和和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.高等数学第3节例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是有界函数是有界函数而而x. 0sinlim xxxxxysin . 0log1lim, 11sin, 0log1sinlim00 xxxxxx又又高等数学第3节1.极限的四则运算法则及

34、其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.三、小结三、小结高等数学第3节函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从

35、此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)四、小结四、小结高等数学第3节过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(高等数学第3节思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 高等数学第3节思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，

36、有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误高等数学第3节思考思考试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？高等数学第3节思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.高等数学第3节AC(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 三、两个重要极限三、两个重要极限高等数学第3节,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当