高等数学同济版第一节微分中值定理课件

1、高等数学同济版第一节微分中值定理第三章中值定理中值定理研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三节)推广推广微分中值定理 与导数的应用 高等数学同济版第一节微分中值定理一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理第一节二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 高等数学同济版第一节微分中值定理费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔( Rolle：1652-1719 )定理定理,)(0有定义在x且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xfxyo

2、0 x)(xfy 定义：导数为0的点称为驻点（或稳定点、临界点）费马费马(1601 1665)高等数学同济版第一节微分中值定理罗尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理)(xfy 满足:(1) 在区间 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyoab)(xfy 在( a , b ) 内至少存在一点高等数学同济版第一节微分中值定理注意注意:1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 使2) 定理条件只是充分的.本定理可推广为)(xfy 在 ( a , b ) 内可导, 且)(limxfax)(limxfbx在( a ,

3、b ) 内至少存在一点,. 0)(f高等数学同济版第一节微分中值定理例例1. 证明方程0155 xx有且仅有一个小于1 的正实根 .证证: 1) 存在性（介值定理）2) 唯一性（反证法 + 罗尔定理）高等数学同济版第一节微分中值定理二、拉格朗日（二、拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理(1) 在区间 a , b 上连续)(xfy 满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 拉格朗日中值定理的有限增量公式:) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令则拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)高等数学同

4、济版第一节微分中值定理推论推论:IxCxfIxxf,)(,0)(例例2. 证明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx),(x,2cotarcarctanxx例例3. 证明不等式. )0()1ln(1xxxxx高等数学同济版第一节微分中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理)(xf及(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3) 在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点, ),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足 :)(xF0)( xF柯西柯西(1789 1857)高等数学同济版第一节微分中值定理柯西定

5、理的几何意义柯西定理的几何意义:)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:xyo弦的斜率切线斜率高等数学同济版第一节微分中值定理例例4. 设).0() 1 (2)(fff,) 1 ,0(, 1 ,0)(内可导在上连续在xf至少存在一点),1,0(使证明例例5. 试证至少存在一点), 1(e使.lncos1sin证1：辅助函数 + Cauchy 证2：辅助函数 + Rolle高等数学同济版第一节微分中值定理内容小结内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afb

6、fxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维设辅助函数费马引理高等数学同济版第一节微分中值定理思考与练习思考与练习1. 填空题填空题函数4)(xxf在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理条件, 则中值._34152. 设,0)(Cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(使.cot)()(ff3. 若)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 高等数学同济版第一节微分中值定理作业作业P134 7 , 8 , 10 , 14 , 15备用题备用题求证存在, ) 1 ,0(