数学人教版八年级上册13.1.2线段的垂直平分线的性质

1、13.1.2 线段的垂直平分线的性质陕西省延安市实验中学 朱华【教材依据】本节课程选自九年义务教育人教版数学八年级上册第十三章轴对称第一节第二课时 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 。 主要内容是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理、经过已知直线外一点作这条直线的垂线。一、设计思路1. 指导思想线段的垂直平分线的性质是在学习了 “轴对称的性质” ， 明确了线段垂直平分线的概念之后， 通过学生自己动手测量、 猜想， 然后利用轴对称图形的对折得到了这个性质， 并应用三角形全等的方法作了证明。 对于线段的垂直平分线的性质定理的逆定理，则让学生自己给出证明，这就经历了观察、探究、猜想、证明的完整过程

2、， 感受了证明的必要性。 这部分内容是后续学习的基础, 它是在认识了轴对称性的础上进行的， 是今后证明线段相等和直线互相垂直的依据， 因此本节课具有承上启下的重要作用。从心理特征来说， 初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展， 观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散， 爱发表见解， 希望得到老师的表扬， 所以在教学中应抓住这些特点， 一方面运用直观生动的形象， 引发学生的兴趣， 使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。 认知状况来说， 学生在此之前已经学习了轴对称图形， 对线段的垂直

3、平分线已经有了初步的认识， 这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础， 但对于其性质的理解， 学生可能会产生一定的困难， 所以教学中应具体生动， 深入浅出的为学生讲解清楚。2. 教学目标（ 1）知识与技能目标：了解线段的垂直平分线的性质，会利用线段的垂直平分线的性质进行简单的推理、判断、计算。能利用尺规，过直线外一点作已知直线的垂线。(2)过程与方法目标：自己动手探究发现线段的垂直平分线的性质，培养 学生的观察力、实验推理能力。(3)情感态度与价值观目标：要求学生在操作过程中，体验几何发现的乐 趣，在实际操作动手中感受几何应用美，并加深师生交流，培养学生的探究能力， 增强他们的合作意识，提高他们

4、的学习兴趣。3. 教学重点与难点线段垂直平分线性质在以后的学习中经常要用到.让学生通过探索活动来发 现结论，经历知识的再发现过程，可增强学生对性质的认识和理解， 培养学生多 方面的能力.因此我确定本节课的重点是线段的垂直平分线性质定理和判定定 理；进一步体会证明的必要性，发展学生的演绎推理能力。难点是通过动手操作、 猜测得出证明的思路和方法，并能写出严格的推理证明过程。二、教学准备圆规、直尺、三角板、ppt课件、几何画板软件三、教学过程1 .创设情景，引入新课引课：上节课大家欣赏和学习了轴对称图形， 知道了我们的现实生活中存在 着大量美丽的轴对称图形。(再次欣赏 ppt课件中的轴对称图形)问题

5、1:你能不能举例说明我们数学中常见的轴对称图形？学生1:圆、等腰三角形、正方形学生2:矩形、线段问题2:线段是轴对称图形吗啊？它的对称轴有几条？分别在哪里?学生3:线段是轴对称图形，它有一条对称轴，是它的垂直平分线。学生4:不对，线段有两条对称轴，还有一条是它所在的直线。问题3:谁来说说线段垂直平分线的定义？学生5:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条直线的垂直平分线。问题4:你会用符号语言来表示这句话吗？师生共同表示：= mnj ab, ac=bc直线mn线段ab的垂直平分线【设计意图】 通过对生活中的轴对称图形的再次欣赏，引出数学中的常见 的轴对称图形，线段作为最简单的轴对称图

6、形，它的对称轴却有两条，这里要注 意孩子们对这个问题的理解，由线段的对称轴自然的引出线段垂直平分线的定 义，并鼓励孩子们去研究它。2 .合作交流，探索新知探究一：(1)画一画：请同学们在纸上任意画一条线段 ab,作出这条线段的垂直平 分线mn垂足为c。【设计意图】动手操作，激发探究欲望孩子们在画线段的额垂直平分线时， 没有正规的作图方法，但老师可以鼓励 孩子用自己的办法借助工具来完成，这里主要有两种方法，1、用刻度尺量出线段中点，再借助三角板中的直角，或用量角器画出垂直；2、直接利用轴对称图形的性质，通过折叠，找到线段的对称轴，即为线段的垂直平分线。(通过动手操作，激发学生学习及探究的兴趣，变

7、“要我学”为“我要学”，充分调动了学 生的积极性)(2)猜一猜：请同学们在直线 mn上任意取一点p,连结pa pb,你知道 pa与pb有何数量关系吗？你是怎么猜到的？学生6:我感觉pa与pb相等。我用刻度尺进行度量，然后发现它们相等。学生7:我把这条线段沿着直线 mnffi行了折叠，发现pa与pb重合，所以 pa=pb试完，所以可以借助老师：直线mn的点p有无数种可能。我们不能 电子动画进行更加完善的说明。(动画演示)雏应垂直平分线的性旃如图，点户是城段.4月的更平分慢j上的一点.检动 点上杼用现曝4t据.伟能菊叶比配魄j线段垂直平分城的牲质如图，点尸jl裁1段.46的喜五用分(v上的一点.也

8、动 兼f.件如说黎教梃，蟀能有计玄发更？【设计意图】让学生大胆猜测观察的结果是什么，培养了学生直观猜测能 力。然后借助电子工sw电画，更加完善的来证明猜测，同时增加了课堂的趣味(3)理一理：通过自己的操作，你得到了什么结果？能用文字语言描述它学生8:线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。【设计意图】通过测量，得到结论，组织归纳为数学语言进行描述(4)证一证:已知：如图，直线 mn是线段ab的垂直平分线，垂足为 c,点p是直线mn求证：pa=pb证明：直线mna线段ab的垂直平分线，垂足为c, .ac=bc / pcaw pcb,pc=pc . .pa登 pbc(sas)pa=pb【设

9、计意图】 我们仅仅凭观察或是几组数据就能说明这个结论的正确性 吗？给学生留有时间和空间，交流讨论，如何证明结论的正确性。猜测是正确结论的导火索，不大胆猜测也就永远没有发现。让学生自主合作 去尝试证明，找出问题解决的办法，让学生感受发现的快乐，感受尝试后收获的(5)用一用：如图，adlbc,bd=dc点c在ae的垂直平分线上，ab, agce的长度有什么关系？ ab+bdf de有什么关系?【设计意图】通过课本例题，检验和巩固学生对知识的理解和掌握。选取代 表，把他们证明过程写在黑板上，教师巡视学生书写过程，有针对性地引导讲解, 规范学生证明过程。(黑板上的板书过程是学生展示自我的机会，教师充分

10、利用这一机会对学生板 书进行点评，鼓励学生积极上进)探究二：(6)说一说：你能把线段的垂直平分线的性质定理用“如果,那么,，” 的形式叙述吗，其条件是什么，结论是什么？学生9:如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这一点到这条线段的两个 端点的距离相等。(7)改一改：线段垂直平分线的性质定理的逆命题是什么？能判断它是真命 题吗？学生10:逆命题是与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上。它应该是个真命题.(8)证一证：你会证明这句逆命题吗？教师要适时强调类比原命题，画出图形，写出已知、求证，再证明。(9)断一断：直线mn1一点p到线段ab两个端点的距离相等，则 mn线段ab的垂

11、直平分线。(10)练一练：如图，ab=ac,eb=ec直线ae是线段bc的垂直平分线吗？【设计意图】本环节教师通过层层设问题引入，将线段垂直平分线的性质定理改写成“如果,，那么,，”的形式，并会写出它的逆命题，从而引出线段垂直平分线的判定，并让学生类比原命题，画出图形，写出已知、求证，再证明，在此培养学生的演绎推理能力，激发学生的探究欲望。通过“断一断”环节让学生更加深入的理解判定定理的使用范围，并在最后以练习题 为载体，在此巩固线段垂直平分线的判定定理。3 .应用新知，尝试练习例1.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知：直线ab和ab外一点c求作：ab的垂线，使它经过点c,作法

12、：(1)任意取一点k,使唆k和点c在ab的两旁；(2)以点c为圆心，ck长为半径彳弧，交ab于点d和e;(3)分别以d和e为圆心，大于1/2ed的长为半径做弧，两弧 相交于点f;(4)作直线cf直线cf就是所求作的直线过直城外一点祚已知直线的垂娃尺螭仰图：捶过投外一,段作这条底现的套戏 efer；宣乩4及.4sj1 一点ft如图).乱件：.4月的叁然，使它检i点仁过直螂外一点性噌直臊的垂线 尺整作周二性过苴魏升一点渊*鱼懈的小理. e：外一点4 4帼 1，.求作：皤利堂观.拄它拄/陶端竹心以(?由8!7, uk长为事理作3_4占于占由 和e;连直跳扑一点作已知直线的垂维。愣了就戈所里甘的叁城.

13、好法：()偎:t联一点a ,使点“粕点.4仃的两声;过直我抑一点作已如直线的重建反现件图：睡过血我外一总件述布五桃的，就已知；直也内儿i拒扑一点ff北周j .事件：th的看段.，世它隆过点曲31会剧和*1117. 于；的控为率撞 柞效.两事相丈千态f：【设计意图】教师利用几何画板演示，让学生初步感知如何作图，然后规范 板演作图过程。之后请同学们在练习本上尺规作图，并请两位同学上黑板板书。 教师适时强调写出规范的己知、求作、作法。完后各小组同学互相检查，教师再 针对存在问题强调改正，加深学生理解和掌握。4 .小结反思，体验收获这节课大家都有什么收获？又有何感受，还有什么疑问？请同学们谈一谈?点p

14、在线段ab的 垂直平分线上pa=pb线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【设计意图】让学生谈收获，回授到的不仅有知识与技能的达成情况，还有 过程的体验、方法的获得以及数学思想方法和情感价值观的形成情况。将“教学反应”型评价和“让学生谈收获的教学反馈”评价相结合，促进学生的自主评价， 努力推行成功教育、愉快教育的理念，把握评价的时机与尺度，实现评价主体和 形式的多样化，从而激发学生的学习兴趣，激活课堂气氛，使课堂教学达到最佳 状态。教师根据情况再进行小结。5 .分层作业，课外延伸必做题：课本p65,第6、9题选做题：如图，p是

15、/aob勺平分线omk任意一点，pn oa于 e, pf，ob于f,连结ef.求证：of直平分ef.【设计意图】作业分必做题和选做题，体现分层思想。通过作业，内化知识, 检验学生掌握知识的情况，发现和弥补教与学中的遗漏与不足。 同时，选做题具 有前瞻性，可引导学生自学探究，为后一节课的教学做好准备。四、教学反思按以上教学设想实际上课后，我觉得本节课值得肯定的有以下几点：1 .课前准备充分。整个教学过程思路清晰，步骤顺畅，语言尽可能的做到 简练。2 .教学结构清晰。课堂上通过“画一画、猜一猜、理一理、证一证、用一 用、说一说、改一改、证一证、断一断、练一练”等十个环节，使学生自己动手 测量、猜想

16、，然后利用轴对称图形的对折得到了这个性质， 并应用三角形全等的 方法作了证明。对于线段的垂直平分线的性质定理的逆定理， 则让学生自己给出 证明，这就经历了观察、探究、猜想、证明的完整过程，感受了证明的必要性。3 .数学思想突出.本课充分体现了 “类比”这一重要的数学思想，类比角的平分线的性质和判定来学习线段的垂直平分线的性质和判定，培养了学生的知识迁移能力，也为学生掌握本课知识点提供了便利.本节课达到了既定教学目标，但也有一些问题，以下几点在今后的教学中需 加以改进：1 .学生参与的积极性虽然很高，但教师关注的面还不够广，教学效果可能 会不尽如人意，吸收知识的个体差异会比较大。2 .由于本节课容量