高等数学之空间解析几何与向量代数课件

1、高等数学之空间解析几何与向量代数第七节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线方程 第七七章 高等数学之空间解析几何与向量代数一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数),(0000zyxM2. 点向式方程点向式方程故有说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(z

2、yxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为s已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如, 当,0, 0时pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数3. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x =

3、 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数2L1L二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足21, LL设直线 两直线的夹

4、角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数特别有特别有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数例例2. . 求以下两直线的夹角解解: 直线直线二直线夹角 的余弦为(参考P332 例2 )13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4

5、的方向向量为1L的方向向量为2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空

6、间解析几何与向量代数特别有特别有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: : 取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn例例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数1. 空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数, 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夹角公式：0CpBnAmsin000,xxyyzzmnp3. 面与线间的关系面与线间的关系直线 L :),(CBAn ),(p