弹塑性力学试题

1、厚壁圆筒承受内压 p作用，试求该问题的应力和位移分量的y考试科目： 弹塑性力学试题班号研班姓名成绩一、概念题(1)最小势能原理等价于 弹性力学平衡微分 方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅 要求位移函数满足已知位移边界条件。(2)最小余能原理等价于 应变协调 方程和位移边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力 分量应预先满足平衡微分方程和静力边界条件。(3 )弹性力学问题有 位移法和应力法两种基本解法，前者以 位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。:、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为： 利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，

2、 解。解：边界条件为：r = a 时：二 r - - p ； r J - 0r = b 时：ur=0 ； u.j-0。将上述边界条件代入公式得：解上述方程组得：则该问题的应力和位移分量的解分别为：这些力到所设原点的距离分别为yi ,试求应力匚x y , xy的一般表达式。解：由题设条件知，第i个力Pi在点（x, y）处产生的应力将为:故由叠加原理，n个集中力构成的力系在点（x, y）处产生的应力为:四、一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为I，抗弯刚度EI为常数，弹簧系数为 k,承受分布荷载q(x)作用。试用最小势能原理导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。解：第一步：全梁总应变

3、能为：U = wdv = f El冶占12dxl1外力做功为：T qwdxkw2|x=t总势能为：一二曰护dx 一 ；qwdx如2良第二步：由最小势能原理可知：、二=0等价于平衡微分方程和静力边界条件。Jei 兽.0dx2idx _ q、wdx kw w |x 土 (*)dx 二 OEI其中0曰:w将其代入（* ）式并整理可得:即斗空Jdxdx _dx idx 丿_-q(x)=O ( 0 w x I)所以平衡微分方程为:静力边界条件为:=0x士由于当 x=0时，dw=o, d2w=0 ；dx五、已知空间球对称问题的一般解为:i Bu r 二 A R 2R2E “ 2EA _-3 B1-2(1)

4、RB1-2(V J)R3-R-T其中R是坐标变量，Ur是径向位移,qa,qb时的解答，然后在此基础上导出无限大体中有球形孔洞，半径为a，内壁受有均匀压力q时的解答。解：（1）相应空心球受均匀内外压qa,qb时的边界条件为：R = a : - r = _qaR =b :二 r - -qb将上述边界条件代入得：可解得：故空心球受均匀内外压qa, qb时的解为： :，则可得：六、已知推导以位移分量表示的平衡微分方程。1解：由剤=_（Ui,j +u j,i ）得2J .心将上述两式代入Cjj = e-ij 2；ij，得到代入crij,j +斤=0得而Uk,kj；ij = uk,ki = U j,ji，

5、 Uj,ji = u j,ij故平衡方程可写成_ 2 ： 2 .2e2由因为 Uj,ji =（Uj,j）i =（e）,i =； Ui,jj =（Ui）,jj =（2 - 2 - 2）Ui =Uicxiexcycz所以以位移分量表示的平衡微分方程的最终形式为：从2ui e J） ；e Fi =0。iH-licxi- x_ X ： I七、证明弹性力学功的互等定理（用张量标记）。证明：（1）先证可能功原理考虑同一物体的两种状态，这两种状态与物体所受的实际荷载和边界约束没有必然的联系。第一状态全用力学量（、R（s）、 ij（s来描述，它在域内满足平衡方程并在全部边界条件上满足力的边界条件：第二状态全用

6、几何量（舸H）,UjW来描述。它在域内满足几何方程且要求全部边界位移等于域内所选位移场在边界处的值。从而利用力的边界条件和高斯积分定理，可得利用平衡方程，式（* ）右端第一项可化为第二项利用张量的对称性和几何方程可改写成即式（*）成为Fi 1 和 R 1， 相应的应力、应变状态为式（* ）即为可能功原理。（2）考虑同一物体的两种不同真实状态，设第一状态的体力和面力为j 1 ,；j 1 , Ui 1 ;第二状态则为Fi 2、P 2和二j 2 ,；j 2 , Ui 2。由于都是真实状态，所以两个状态都同时是静力可能状态和变形可能状态，且都满足广义虎克定律 根据可能功原理（令 s=1、k=2）有对于线弹性体，有弹性张量的对称性得即积分后（a） （ b）两式的右端相等，相应地左端也应相等，故得到八、证明受均匀内压的厚壁球壳，当处于塑性状态时， 用Mises屈服条件或Tresca屈服条件计算将得到相同的结果。证明:1、厚壁球壳的弹性应力分布（采用球坐标系）平衡方程:旦.2“dr几何方程:dudr物理方程：d （1 + 卩）（1_2卩）du2dt特征方程为:解得:E1 -2J旦飞 rB3r引入边界条件：；r|rza二5，r |r= 0 可得:最大周向拉应力为： （；.J max2a3 +b32 b3-a3 P2、塑性分析Mises 屈服准则： 何 _r2 f +何2 _cr3 f +（j3