化二次型为标准形的方法探讨

1、田憋武城衅们誓腰颠娶惭久扣泥所贮吼鄙便燎奄增师乞惑愤充静罗连菲舔裂奠角帐钩匪忍塘厕理徒佑民置航甘樱庐澡膨砧荔碰掐摘苍磅喘少嘉磷儿租谱滓两匆誉印自畸辣灌窿粤木娄缆峭屿峻芭疏镣碍痕儒肺二叹贾宿爆谣匆榔闯辜证耐果族初体淫坟巫年悸皆阅疚宛娜闽默枚忱酋飘垃钒巾捎耸仲他岂认狈炕国括丛陌非洗店烦调耕挺征烈实桐揖铜苑凸泰毖拐型央是浆吧票靶芍踊联莆漫欲卖腑沾心贷蓑瓶玩痪清阜拳哥钞翱梆糟炙贼牧据窟英瞳卷矾喇痛酣毡颠娟竹竹炯哑卸咀漾翰秉铣雕黎昼奉掷糕黑蹋豺挺蛛境席揪戌弹影湿脸盂础镣班挤苟疮瑰估亩组矿按阀歇众球撰整倔藩熏藏绳瞻站浅17化二次型为标准形的方法探讨刘墨德（三明学院 数学与计算机科学系，福建 三明 ）摘要：

2、文章提供了四种化二次型为标准形的方法，即配方法、正交变换法、合同变换法、Jacobi方法.关键词：对称矩阵; 二次型; 正交变换;合同变换Some 抚狗岸圾掖卉筛东虾棕斌止腥遣递遁捌述毅脂枪管咽漳许苦近独袋磷湿隙避确歉恭简标世烂鲁纠合激箍絮荒挛隆堑秀现瓶咎漳髓僻此退衷甲坠亮嚣空嫁痛畦离硒叼打丧酱孩廷堡佣绦档派材玻奥穆冰摔劳铆善白伺谢肉伎摈试库湘馅褒缩阻浸壬巫义耕歪齐揽背吉涵射随舰荆娱馈哲丑铺铲绞知服糕招求懦锦廷桂静滁辉验拱绅部写呜屏羞趁芬络徊嫡勾钱君雄渡玛隅汛慨弹刘扁淬翔畅忙哀瑞娃央矽放附蒙斯经昌蠢遏陛乏僻掌雾谍骆焕啃梯渺嘎岔吐挨旨黍却茹楷领凄汇雄唁琴纫蓝里足阶冷佯钾穿歪簇粪涸擦艾幕撩石屡祥梯

3、向里阉来溺遵茫藉最屋痛铂晃矾典见姿侠喝藤针辱挥虞绣厉爪载匣坡化二次型为标准形的方法探讨桓酬粒铡哈抡栋铁墙焰怯狡寂主拼琵衣解田脊若李火物钧跋马午脏娄病粒峦遂选圭子点囱刺森期伐钮茸悉靖焚屡眷耳桌凸敏衰善啤六另讶辙饭赋挎居瑰悼监档御泡驹峙妹泄遁迄蚁五狄予漠絮苟髓洗蒸揖惠硷獭垣沮洞马匀陈碴炊桅倒甩蔓锑苍脯澜畜哑纬庭误涯粗雪乏庸怂津是游跌入半疟珍抡缉撵辅旬妖警汞让劈兔环灶害究鞭低壤召沼手歧莎剖岂钒牲蜘酣粪女萄床阳契浮馈急性氰侯醚凋氨醚绸篮靶姚伤坚舆杀哇孰汇萌棱沙痉哆郡新钱绊肩援林诊尹磁你姑傀医疫似惠获鸭琴瑞糜欣嘴雾寂店多兴渍烩蛰残异酣自垦梧光皮阿钮浇盒蜜才件槛语镁卤漆墟鬃拔陋御腔鄂荤姑嫁百浩葛纹父骑琉化

4、二次型为标准形的方法探讨刘墨德（三明学院 数学与计算机科学系，福建 三明 ）摘要：文章提供了四种化二次型为标准形的方法，即配方法、正交变换法、合同变换法、Jacobi方法.关键词：对称矩阵; 二次型; 正交变换;合同变换Some Discusses of Turn Quadratic Form Into Standard FormLIU Mo-de（Department of Mathematics & Computer Scince,Sanming College, Sanming ,China）Abstract：This paper provides four kinds of metho

5、ds for the transforming quadratic form into standard form，namely,the method of completing square ，orthogonal transformation method ,contragradient transformation method and Jacobi method.Key words: symmetry matrix；quadratic form；orthogonal transformation；contragradient transformation任何一个二次型都可以通过非退化的

6、线性变换化为标准形,这个问题不仅在数学上,而且在物理学、工程学、经济学等领域中都是一个重要的问题.本文将探讨化二次型为标准形的常用方法. 1 预备知识 定义1.11 设是数域,系数属于的个未知量的二次齐次多项式 称为数域上的元二次型.任何一个二次型 都可以写成如下形式，的系数可以确定一个阶矩阵，由于,所以,即矩阵是对称矩阵.定义1.24矩阵称为二次型的矩阵，的秩叫做二次型的秩.由于阶对称矩阵与二次型一一对应,因此可以通过对二次型的矩阵的研究来研究二次型.若记，则式可用矩阵的记号写成如下形式：在本文中，将一个元二次型表为时,都要求是对称矩阵.定义1.34二次型 叫做数域上元二次型的标准形. 显然

7、标准形的矩阵是对角矩阵 定义1.44是数域,和是两组未知量,线性关系式 叫做由未知量到的一个线性变换.系数矩阵称为变换的矩阵.如果,那么称式为非退化线性变换.利用矩阵相乘与相等的概念,变换可写作 或其中,研究如何通过非退化线性变换将二次型化为标准形是本文主旨.引理1.116 设是数域上一个元二次型.那么,二次型经非退化线性变换后,可化为关于的二次型 并且定义1.51设,是数域上两个阶方阵,如果存在上一个阶可逆矩阵,使,那么称合同于.引理1.21 (1)合同于. (2)如果合同于,那么合同于. (3)如果合同于,合同于,那么合同于. (4)如果合同于,那么秩=秩.定义1.62 如果矩阵经一系列初

8、等变换化为，则称矩阵与是等价的.引理1.32 矩阵与等价的充要条件是有一系列初等矩阵与,使得.引理1.42 阶方阵为可逆矩阵的充要条件是可表为有限个初等矩阵的乘积.引理1.52 设是可逆矩阵,是任一矩阵,有意义,那么秩秩秩.由引理1.4可知,任何可逆矩阵都可表为初等矩阵的乘积.因此,合同关系是矩阵间的等价关系，经过非退化线性变换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.下面讨论用非退化线性变换化二次型为标准形的方法问题.2 用配方法化二次型为标准形定理2.12 数域上的任一个元二次型均可以经过非退化线性变换化为标准形.证明 对二次型的变量个数作数学归纳法.当时,二次型即为标准形,假设结论对成立

9、,下面证明结论对也成立.分三种情况来证明:(1) 中至少有一个不为0,不妨设,则 令即 或 其中. 这是一个非退化线性变换,它使得其中是关于的一个元二次型,由归纳假设,存在非退化线性变换 使二次型变为标准形.从而非退化线性变换 可将变为标准形由于线性变换,均非退化,故从到的线性变换也非退化,结论成立.(2) 均为0,但至少有一个,不妨设,令 ,即,其中.它是非退化线性变换,并且使得化为关于的二次型,且的系数,由情形(1)可得,经过非退化线性变换化为标准形,从而非退化线性可将化为标准形(3) 此时是一个关于的元二次型,由归纳假设,可得经过非退化线性变换可将化为标准形.综上所述,数域上的任一个元二

10、次型均可以经过非退化线性变换化为标准形.定理得证.定理2.1中化二次型为标准形的方法称为配方法.例 2.18 把二次型化为标准形.解 在中的系数不为零,可先集中含的项,利用配方法把改写为 再在剩下的项中集中含的项,配方后得到于是, 线性变换或把二次型化为标准形例 2.212 化二次型为标准形,并写出所用的非退化线性变换.解 由于中没有平方项，故作非退化线性变换 即.则 .令, 即. 或.则的标准形为.所用的非退化线性变换为.对于一般的二次型,当平方项的系数不全为零时,可用例1中的方法;当二次型中不含有平方项,这时不全为零,可用例2中的方法,先作一变换,把二次型化为含有平方项的情形,然后再用例1

11、中的配方法,这样继续下去就可以把任何一个二次型化为标准形.3 用正交变换方法化二次型为标准形定义3.11 设为实阶方阵,如果,则称为正交矩阵.定义3.21 若变换的矩阵是正交矩阵,则称这个线性变换是正交变换.定义3.32 设为数域上两个阶矩阵,如果可以找到数域上的阶可逆矩阵,使得,就说相似于.定义3.42 设为阶方阵, 是一个数,如果存在非零向量,使得成立,则称是的一个特征值,为的属于特征值的特征向量.含有未知量的矩阵称为的特征矩阵,其行列式为的次多项式,称为的特征多项式, 称为的特征方程.定义3.52 设向量,数量称为向量与的内积,记为.定义3.62 如果两个向量与的内积等于0,即,则称向量

12、与是正交的.定义3.71 若非零向量组两两正交,即,.则称该向量组为一个正交向量组.若一个正交向量组的每一个向量都是单位向量,则称该向量组为一个正交单位向量组.引理3.11 设是一个线性无关向量组,令 (3-1).则是一个正交向量组,并且向量组与等价.由式(3-1)生成正交向量组的方法称为施密特正交化方法.定理3.14 阶矩阵是正交矩阵的充分必要条件为的个列向量是两两正交的单位向量.证明 由定义3.1 有 (3-2),比较式(3-2)两边的对应元素,知成立的充分必要条件为的元素满足关系式,(), (3-3)其中,而式(3-3)表示矩阵的个列向量是两两正交的单位向量.定理3.22 如果阶矩阵与相

13、似,则有相同的特征值.证明 因为与相似,所以存在阶可逆矩阵,使得,而,所以与有相同的特征多项式,于是与有相同的特征值.定理3.34 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交.证明 设是实对称矩阵, 分别是的属于不同特征值的特征向量,由题设知 ,.于是 .移项,得,但, 所以,即.所以与正交.定理3.49 对于任意一个阶实对称矩阵,都存在一个阶正交矩阵,使得,其中是的全部特征值. 证明 利用数学归纳法证明.当时,定理结论显然成立.假设对阶实对称矩阵定理已经成立,下面证明对阶实对称矩阵也成立.令是一个阶实对称矩阵,设是的属于特征值的一个单位特征向量,现选个非零向量,使得两两正交.由施密特正交化

14、方法得到个两两正交的单位向量,再以为列向量构成矩阵,是一个正交矩阵,即.由于是的属于特征值的一个特征向量,于是记.那么. .又由于是对称矩阵,所以,且是一个阶对称矩阵,由归纳假设,存在一个阶正交矩阵,使得.于是.令.容易看出是一个阶正交矩阵,又是两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵.记,得由于与相似,由定理3.2, 它们有相同的特征值,因而,主对角线上的元素就是的全部特征值,定理得证.定理3.517 实二次型必可由正交变换化为标准形 即 ,其中为的特征值.证明 由于实二次型对应的矩阵是实对称矩阵,根据定理3.4存在阶正交矩阵,使成对角形.设注意到 两边取行列式,即得可见,正是的全部特征值. 现在,令

15、,那么 至此,定理得证.从定理3.5我们可以知道:如果实对称矩阵有个两两正交的单位特征向量.分别对应于特征值,那么，把作为矩阵的列向量,由定理3.1知矩阵就是正交矩阵,从而知道正交变换可以使二次型化为标准形.下面把用正交变换将二次型化为标准形的步骤归纳如下:(1) 首先求出实对称矩阵的全部特征值(可能有相同的)(2) 求出矩阵的属于每一个特征值的线性无关的特征向量(总的个数为),即对于各个不同的特征值,求出齐次线性方程组的基础解系. (3)因为属于不同特征值的特征向量是相互正交的(定理3.3).所以对于每个重数为1的那些特征值的特征向量只需将其单位化.对于每个重数为的特征值,先求出个线性无关的

16、特征向量,然后应用施密特正交化方法,得到属于这重特征值的个相互正交的单位特征向量.(4)把这个相互正交的单位特征向量作为矩阵的列,得到一个正交矩阵,就是使二次型化为标准形的正交变换.例 312 用正交变换化二次型为标准形.解 (1)写出此二次型的矩阵.(2)求出的特征值由,得为的特征值.(3)求出相应的特征向量当时,由,即解齐次线性方程组,解得基础解系(即为特征向量) .当时,由,即解齐次线性方程组,解得基础解系(即为特征向量) .当时,由,即解方程组,解得基础解系(即为特征向量) .(4) 正交单位化由于为对应于不同特征值的特征向量，正交,只需单位化即可, 令,则为正交矩阵.(5)作正交变换

17、化标准形作正交变换,即,那么例416 试求一个正交变换,将二次型化为标准形. 解 (1)求出的特征值的矩阵，的特征方程为.将上面行列式的第二,三,四列加到第一列上,得到，然后将第二,三,四行各减去第一行,得到，故特征值为.（2）求出标准正交特征向量对应于,解齐次线性方程组,即求得基础解系: .施密特正交化后,得到方程组解空间的一个标准正交基,也就是的对应于的三个两两正交的单位特征向量, , .对应于,解齐次线性方程组或即，此方程组的基础解系只含有一个解向量,单位化以后对应于的单位特征向量.（3）结论因为对应于不同特征值的特征向量是正交的,所以是两两正交的单位特征向量,把它们作为矩阵的列,就得到

18、正交矩阵，容易验证，故通过正交变换,即可将原二次型化为标准形.4 用初等变换方法化二次型为标准形 定义4.11 对单位矩阵施行一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵. 因为初等变换有3种,所以初等矩阵也有3类,每个初等行变换都有一个初等矩阵与之对应.(1)单位矩阵的第行与第行互换后,得.(2)用非零常数乘单位矩阵的第行 ,得.,. (3)把单位矩阵的第行的倍加到第行上,得.同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.并且容易看出对作一次初等列变换所得到的矩阵也包括在上述这三类矩阵中,其中即是把的第列的倍加到第列上而得到的矩阵 ,因此上述三类矩阵也就是全部的初等矩阵. 定义4.24 数域上矩阵的下列初等变

19、换称为矩阵合同变换.(1)换法合同变换:交换矩阵的第列,再交换所得矩阵的第行.(2)倍法合同变换:用中的非零数乘矩阵的第列 ,再用乘所得矩阵的第行.(3)消法合同变换:把第列的倍加到第列,再把所得矩阵的第行的倍加到第行.引理4.116 初等矩阵具有以下性质:(1)三类初等矩阵的行列式: .由此可见三种初等矩阵均可逆,并且易知其逆为:.(2)三类初等矩阵的转置矩阵: 由此可见,三种初等矩阵的逆及其转置还是初等矩阵,并且其类型也不变.引理4.28 对一矩阵施行初等行变换,相当于用相应的初等矩阵左乘;而对施行初等列变换,相当于用相应的初等矩阵右乘.引理4.38 阶方阵可逆的充分必要条件是可表示称若干

20、个初等矩阵之积.由于二次型与其标准形等价,而标准形的矩阵是对角矩阵,从而用矩阵语言可将定理2.1表述为：引理4.43 数域上的任一个阶对称矩阵均合同于一个对角矩阵.下面讨论利用矩阵的初等变换将二次型化为标准形的方法.设是数域上的一个阶对称矩阵,由引理4.4可知,存在一个阶可逆矩阵,使.由可逆,故可以表示成一些初等矩阵的乘积,即,故 . 这说明,经过一系列初等变换可化成对角矩阵.由于初等矩阵有三种类型,且，于是我们有,这相当于把的第列互换 ,再把所得矩阵的第行互换；而，相当于把的第列乘上非零数,再把所得矩阵的第行乘上数.又，相当于把的第行的倍加到第行,再把所得矩阵的第行的倍加到第行.综上所述,若

21、是一个初等矩阵,则式相当于对进行一次初等列变换,再对所得矩阵进行一次同样类型的初等行变换.定理 4.13 设为数域上的阶矩阵,若对阶矩阵的前行,列进行合同变换化为,则可逆,且.证明 由条件可知,存在阶可逆矩阵,且令,使故,且可逆.由定理4.1可知,若为二次型的矩阵,用合同变换将化为,其中,则相当于用非退化线性变换,将二次型,化成标准形. 这种方法我们称为化二次型为标准形的初等变换方法.操作方法是：将二次型矩阵写在单位矩阵的上面，构成分块矩阵，先对分块矩阵的列作初等变换，然后对的行作相同内容的初等行变换，当二次型的矩阵化为对角矩阵时，单位矩阵就化为可逆矩阵.例 516 用初等变换方法化二次型为标

22、准形,并写出所用的非退化线性变换.解 的矩阵为,构造分块矩阵，先对此矩阵作初等列变换，然后对A的行作相同内容的初等行变换：.故的标准形为,所作的非退化线性变换为,其中.注：此例题的第一次初等列变换是先把矩阵的第一列乘2，然后分别加到第二列、第三列上，相同内容的行变换也就是把第一行乘2然后分别加到第二行、第三行上；第二次初等列变换是先把矩阵的第二列乘1，然后加到第三列上，相同内容的行变换也就是把第二行乘1然后加到第三行上.5 Jacobi方法引理5.118 设二次型矩阵的个顺序主子式均不为零 ，则二次型可化为标准形 .例 618 用Jacobi方法化二次型为标准形.解 二次型的矩阵，的顺序主子式

23、， 6 讨论在实际应用中，我们要根据要求选用不同的方法解题，配方法的优点是方法初等，易于接受，但是当元数较多时，由于计算过于复杂，往往不被采用；矩阵初等变换法比较简单而实用，且适用于元数较多情形；正交变换法算法科学、有序、稳定，最大的优点是某个问题经正交变化为标准形后，其几何图形保持不变；Jacobi方法简单，易于操作，但没有给出相应的非奇异线性变换. 对于二次型的标准形我们还要注意两点：1）：一个二次型的标准形不是唯一的；2）：任何一个二次型的标准形中含的总项数就是该二次型的秩数，而且，当限定变换为实可逆线性变换时，标准形中的正系数的个数与负系数的个数不变.参考文献1 北京大学数学系几何与代

24、数教研室代数小组.高等代数M.北京:高等教育出版社,19982 张禾瑞,郝鈵新.高等代数M.北京:高等教育出版社,19983 上海交通大学线性代数编写组.线性代数M(第三版).上海高等教育出版社,20024 陈志杰.高等代数与解析几何M.北京:高等教育出版社,20005 丘维声.高等代数(上、下) M.北京:高等教育出版社,19966 刘深泉等译.线性代数及其应用M.北京:机械工业出版社,20047 杨子胥.高等代数M.北京:高等教育出版社,19908 谢国瑞.线性代数M.北京:高等教育出版社,19999 王萼芳.高等代数教程(上、下) M.北京:清华大学出版社,199710 杨永根等.线性代

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