D12数列的极限65482PPT学习教案

1、会计学1D12数列的极限数列的极限65482.123n123n,234n+1234n+1.;n-1n-1143n+(-1)143n+(-1)2 ,2 ,234n234n.n n2 2 , , 4 4 , ,8 8 , , ,2 2 , ,. . . .; ;,n n+ +1 11 1, ,- -1 1, ,1 1, ,( (- -1 1) )111111111,0,0,0,0,.;1,0,0,0,0,.;35793579第1页/共36页, 设有数列设有数列nx及常数及常数 a，如果如果,0,N正整当当 n N 时时, 总有总有记作记作此时也称数列此时也称数列收敛收敛 , 否则称数列否则称数列发

2、散发散 .几何解释几何解释 :aaa)(axan)(Nn 即即),(axn)(Nn axnnlim或或)(naxn1Nx2Nx axn则称该数列则称该数列nx的极限为的极限为 a ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第2页/共36页,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共36页,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证: 1nx1) 1(nnnn1,0

3、欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N则时，时，当当Nn 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共36页例例2. 已知已知2sin,(1)nnxn证明证明.0limnnx证证:0nx2sin01nn2 21 1 N 时时, 就有就有01nq故故0lim1nnq.lnln1qn的极限为的极限为 0 . 1nq机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第6页/共36页例例4. 已知已知,) 1() 1(2nxnn证明证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0

4、(欲使欲使,0nx只要只要,11n即即n取取, 11N则则时，时，当当Nn 就就有有,0nx故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取故也可取1N也可由也可由2)1(10nnx. 11N 与与 有关有关, 但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N .说明说明: 取取11N机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第7页/共36页23baab22abnabax证证: 用反证法用反证法.axnnlim及及,limbxnn且且. ba 取取,2ab因因,limaxnn故存在故存在 N1 , ,2abnax从而从而2banx同理同理, 因因,

5、limbxnn故存在故存在 N2 , 使当使当 n N2 时时, 有有2banx1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当使当 n N1 时时, 2ba2ab2ab假设假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而从而2banx矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n N 时时, ,max21NNN 取故假设不真故假设不真 !nx满足的不等式满足的不等式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第8页/共36页),2, 1() 1(1nxnn是发散的是发散的. 证证: 用反证法用反证法.假设数列假设数列nx收敛收敛 , 则有唯

6、一极限则有唯一极限 a 存在存在 .取取,21则存在则存在 N ,2121axan但因但因nx交替取值交替取值 1 与与1 , ),(2121aa内内,而此二数不可能同时落在而此二数不可能同时落在21a21aa长度为长度为 1 的开区间的开区间 使当使当 n N 时时 , 有有因此该数列发散因此该数列发散 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第9页/共36页证证: 设设,limaxnn取取,1,N则则当当Nn 时时, 从而有从而有nxaaxna1取取 ,max21NxxxMa1则有则有. ),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此

7、性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立 . 例如例如,1)1(n虽有界但不收敛虽有界但不收敛 .aaxn)(, 1axn有有数列数列机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第10页/共36页定理定理1.31.3（保号性）（保号性）lim,limnnnnx = ay =b,ab且)nnnnx y(或（或（或ab) )则存在正整数则存在正整数N,N,当当nNN时，有时，有证证: .设设ab2ba2ab2ab23ba22abnabax取取,2ab 因因,limaxnn故存在故存在 N1 , 从而从而2banx同理同理, 因因lim,nny =b故存在故存在 N2 , 使当使当

8、 n N2 时时, 有有2banx使当使当 n N1 时时, b-ab-an22- y -ba+bn2则当则当 n N 时时,有有 ,max21NNN 取2banxa+bn2y nnx y因此,2abnaxb-an2y -b NN时，有时，有设设,limaxnn且ab),),推论推论1.31.3当当nNN时，有时，有设设,limaxnn且a0),),第12页/共36页第13页/共36页 1 14 4 数列极限的四则运算数列极限的四则运算balim1,blim, alim4 . 1）（则有则有设设定理定理（yxyxnnnnnnnablim2yxnnn）（)0b(balim3nyxnn）（第14页

9、/共36页证明证明 1）, 0 , 02,lim1Naxnn正整数正整数对于对于由于由于 时，时，当当1Nn 有有2 |axn, 02,lim2Nbynn正整数正整数对于对于由由 时，时，当当2Nn 有有2 |byn取取,max21NNN 时，有时，有则当则当Nn 22| )| )(|babayxyxnnnn.b)y(limnaxnn所所以以第15页/共36页2）, 0 ,lim有界有界可知可知由由nnnxax ., 0M|xnMn有有对一切对一切即即, 01)|b2(|1N正整数正整数对于对于 , 02,lim2NMbynn正整数正整数对于对于由由 时时，有有当当1Nn)|(|12baxn

10、时，时，当当2Nn 有有Mbyn2 |取取,max21NNN 时，有时，有则当则当Nn )|(| |122bbMMbaxbyxabbxbxyxabbxbxyxabyxnnnnnnnnnnnnn第16页/共36页 注意：加法运算及乘法运算可以推广到有限个情况注意：加法运算及乘法运算可以推广到有限个情况yyy8 .1nnnnnnxxx及及发发散散。则则收收敛敛，若若数数列列推推论论都发散都发散 注意两个发散数列的和（或差）不一定收敛注意两个发散数列的和（或差）不一定收敛也不一定发散也不一定发散第17页/共36页)(limlim132332nnnnnn解解132nn)(lim=12321lim6 .

11、 1nnn求求例例解解22/ )(lim321limnnnnnnn212limnnnn22nn2121lim21第18页/共36页解解nnnnnnnnnnn2222lim)(limnnnnn2lim1111nnlim21第19页/共36页1.5 数列收敛判别法数列收敛判别法单调有界原理单调有界原理 夹挤定理夹挤定理柯西审敛准则柯西审敛准则 第20页/共36页Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明略 )ab机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共36页, ),()(2111nxnnn证明数列证明

12、数列nx极限存在极限存在 . 证证: 利用二项式公式利用二项式公式 , 有有nnnx)(111nn 11!2121nnn!)( 31321nnnn!)(nnnnnnn111!)()(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)(!n1211)(!n1311)(n21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第22页/共36页11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11

13、)1 (1nnnx!21!31!1n又比较可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共36页nx记此极限为 e ,ennn)1 (lim1 e 为无理数 , 其值为590457182818284. 2e即有极限 .原题 目录 上页 下页 返回 结束 11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n第24页/共36页azynnnnlimlim)(22. 夹挤定理夹挤定理 (准则2) nnnzxyKnNK时时，当当,)(1axnnlim证证: 由条件由条件 (2) ,0 ,1N时，有时，有当当1Nn ayn时，有时，有当当2Nn azn令令,ma

14、x21NNKN 则则时，时，当当Nn 有有, ayan, azannnnzxy a a即即, axn故故 .limaxnn,2N机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即即即第25页/共36页例例. 证明证明11211222 nnnnnnlim证证: 利用夹逼准则利用夹逼准则 . nnnnn2221211 nnn22 22nn且且 nnnn22limnn 11lim1 22nnnlim211nn lim1nnlim所所以以 nnnn22212111由由机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共36页3. 柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西审敛原理柯西审敛原理) 数列数列nx极限存在的充

15、要条件是极限存在的充要条件是:,0存在正整数存在正整数 N ,使当使当NnNm,时时,mnxx证证: “必要性必要性”.设设,limaxnn则则,0NnNm,时时, 有有 使当使当,2axn2axm因此因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性充分性” 证明从略证明从略 .,N有有柯西柯西 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第27页/共36页*,axkn4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .证证: 设数列设数列knx是数列是数列nx的任一子数列的任一子数列 .若若,limaxnn则则,0,N当当 Nn 时时, 有有axn现取正整

16、数现取正整数 K , 使使,NnK于是当于是当Kk 时时, 有有knKnN从而有从而有由此证明由此证明 .limaxknk*NKnNxKnx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第28页/共36页由此性质可知由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的若数列有两个子数列收敛于不同的极极限限 ,例如，例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散发散 !则原数列一定发散则原数列一定发散 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明: 第29页/共36页1. 数列极限的数列极限的 “ N ” 定义及应定义及应用

17、用2. 收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保号性保号性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则极限存在准则:夹逼准则夹逼准则 ; 单调有界准则单调有界准则 ; 柯西准则柯西准则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第30页/共36页1. 如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1. 找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求求nnxlim时时,下述作法是否正确下述作法是否正确? 说明

18、理由说明理由.设设,limaxnn由递推式两边取极限得由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处此处nnxlim机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第31页/共36页故极限存在，1 1. .设 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共36页机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ),2, 1(0ia