45导数的应用2PPT学习教案

1、会计学145导数的应用导数的应用2一、曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性与拐点xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的上方问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的下方ABC2)()(21xfxf)2(21xxf2)()(21xfxf)2(21xxf第1页/共33页定义定义的（或凸弧）的（或凸弧）上的图形是（向上）凸上的图形是（向上）凸在在那末称那末称如果恒有如果恒有的（或凹弧）的（或凹弧）上的图形是（向上）凹上的图形是（向上）凹在在那末称那末称恒有恒

2、有点点上任意两上任意两如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf第2页/共33页xyo)(xfy abAB)(xfy xyoabBA递增递增)(xf 0 y递减递减)(xf 0 y.,)(, 0)(),()2(;,)(, 0)(),() 1 (,),(,)(2是凸的上的图形在则内若在是凹的上的图形在则内若

3、在那么一阶和二阶导数内具有在上连续在设定理baxfxfbabaxfxfbababaxf 第3页/共33页.23的凹凸性判断曲线例xy .ln1的凹凸性判断曲线例xy 第4页/共33页2.曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.1 1、定义、定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2 2、拐点的求法、拐点的求法, 0)(,)(00 xfxxf且的邻域内二阶可导在设函数;)(,(,)()1(000即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点

4、点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 第5页/共33页.143434凸的区间的拐点及凹、求曲线例xxy.141232333的拐点求曲线例xxxy第6页/共33页.) 1(532凸的区间的拐点及凹、讨论曲线例xxy第7页/共33页小结小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1, 2.二阶导数等于二阶导数等于0的点及的点及二阶导数不存在二阶导数不存在的点是的点是可能的拐点可能的拐点。（用区间（用区间I内二阶导数恒大于内二阶导数恒大于0或恒小于或恒小于0来判定区间来判定区间I的的凹凸性凹凸性）第8页/共

5、33页思考题思考题:设设)(xf在在),(ba内二阶可导，且内二阶可导，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，则，则,(0 x)(0 xf是否一定为是否一定为曲线曲线)(xf的拐点？举例说明的拐点？举例说明.思考题解答思考题解答因为因为0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf为拐点为拐点的的必要条件必要条件，故故,(0 x)(0 xf不一定是拐点不一定是拐点.例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并不是曲线并不是曲线)(xf的拐点的拐点.第9页/共33页二、渐近线二、渐近线1.1.铅直渐近线铅直渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线垂直于垂直于 x.)()(lim)(li

6、m000的一条铅直渐近线的一条铅直渐近线就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线平行于平行于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 第10页/共33页例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xx第11页/共33页例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy第12页/共33页3.3.斜渐近线斜渐近线.)(),(0)()(lim0)()(lim的一条斜渐近

7、线的一条斜渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 第13页/共33页斜渐近线求法斜渐近线求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy ;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不存在斜渐近线不存在斜渐近线可以断定可以断定xfy 注意注意:第14页/共33页三、图形描绘的步骤三、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步 确定函数确

8、定函数)(xfy 的定义域的定义域,对函数进行奇对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数)(xf和二阶导数和二阶导数)(xf; 求出方程求出方程0)( xf和和0)( xf 在函数定义在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.第15页/共33页第三步第三步 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线

9、的凹号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点凸与拐点（可列表进行讨论） ；可列表进行讨论） ；第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势其他变化趋势;第五步第五步 描描出出与与方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根对对应应的的曲曲线线上上的的点点，有有时时还还需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形.第16页/共33页.1)(123的图形作函数例xxxxf三、作图举例三、作图举例第17页/共33页22331xxy的图形.解解: 1) 定义域为, ),(无对称性及周期

10、性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点)32(极小)4)xy1332201123yOx第18页/共33页.2) 1(4)(22的图形作函数例xxxf, 2 解解, 0: xD非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令. 3x得可疑点2)1(4lim)(lim2 xxxfxx; 2 y得水平渐近线得水平渐近线第19页/共33页2)1(4lim)(lim200

11、xxxfxx, . 0 x得铅直渐近线得铅直渐近线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,( ), 0()2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值极值点点间间断断点点3 )926, 3( 第20页/共33页:补补充充点点);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC第21页/共33页2)1(4)(2 xxxf第22页/共33页.21)(222的图形作函数例xex解解),(: D偶函数偶函数

12、, 图形关于图形关于y轴对称轴对称.,2)(22xexx , 0)( x令令, 0 x得得驻驻点点, 0)( x令令. 1, 1 xx得得特特殊殊点点. 4 . 021)(0: xW.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex , 0 . 0 y得得水水平平渐渐近近线线第23页/共33页x)1,( ), 1( )0 , 1( 1 )1 , 0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大极大值值 21)21, 1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:0拐点拐点)21, 1(e xyo11 21第24页/共33页

13、2221)(xex 第25页/共33页四、小结四、小结函数图形的描绘是函数导数特性的综合应用函数图形的描绘是函数导数特性的综合应用.xyoab最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy 第26页/共33页044)3(2yxyx的图形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定义域为), 1 ( , ) 1 ,(2) 求关键点.)3(2xy 4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy 42048 yxy) 1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3, 1x原方程两边对 x 求导得两边对 x 求导得第27页/共3

14、3页113) 1,() 1 , 1()3, 1 (),3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判别曲线形态00(极大极大)(极小极小)4) 求渐近线,lim1yx为铅直渐近线无定义无定义1x第28页/共33页又因xyxlim,4141k即)41(limxybx41) 1(4)3(lim2xxxx) 1(495limxxx45) 1(4)3(2xxy5) 求特殊点xy049241为斜渐近线4541xy2) 1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy第29页/共33页(极大极大)(极小极小)斜渐近线1x铅直渐近线4541xy特殊点2无定义无定义xy113) 1,() 1 , 1()3, 1 (),3(0 xy04924112Oyx3215) 1( 4) 3(2xxy1x4541xy第30页