数学学案：课堂导学“且”与“或”“非”（否定）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、逻辑联结词“或”“且"“非"【例1】写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题，并判断真假。（1)p：1是质数,q:1是方程x2+2x—3=0的根;(2）p：平行四边形的对角线相等,q：平行四边形的对角线互相垂直；（3）p：NZ,q：0∈N.解析：每一道题都要写出三种形式的新命题，本题考查逻辑联结词“或”“且”“非"的应用。（1）因为p假q真，所以p或q:1是质数或是方程x2+2x-3=0的根，为真；p且q：1是质数且是方程x2+2x—3=0的根，为假；非p:1不是质数，为真。（2)因为p假q假，所以p或q：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；p且q:平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假;非p:平行四边形的对角线不一定相等，为真？(3）因为p真q真,所以p或q：NZ或0∈N，为真;p且q：NZ且0∈N,为真;非p：NZ,为假.温馨提示为了正确判断命题的真假，首先要确定命题的构成形式，然后指出其中命题p、q的真假。再根据已有结论判断这个命题的真假.二、含有一个量词的命题的否定【例2】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定:（1)p：对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立；（2）p：x∈R,x2+2x+5>0.解析：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“至少存在一个”，因此，p：至少存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立；即p:x∈R,使x2+x+1≠0成立。(2）由于“x∈R"表示至少存在实数中的一个x,即命题中含有存在量词“至少存在一个”因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即x∈R,x2+2x+5≤0。三、逻辑知识的综合应用【例3】已知c>0，设P:函数y=cx在R上单调递减,Q：不等式x+|x—2c|〉1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围。解：函数y=cx在R上单调递减0＜c＜1.不等式x+|x-2c｜＞1的解集为R函数y=x+|x-2c｜在R上恒大于1。因为x+｜x—2c|=所以函数y=x+|x—2c｜在R上的最小值为2c，所以不等式x+｜x-2c|＞1的解集为R2c＞1c＞。若P正确,且Q不正确,则0＜c≤.若P不正确,且Q正确,则c≥1,所以c的取值范围为(0,］∪［1，+∞）。温馨提示由p、q的真假可以判断p∨q、p∧q，p的真假。反过来，由p∨q、p∧q,p的真假也应能准确断定p、q的真假情况。如“p∧q”为假，应包括“p真q假"“p假q真"“p假q假”这三种情况.各个击破类题演练1指出下列复合命题的形式及其构成，并判断复合命题的真假：(1)10≤10；（2）方程x2-6x-1=0没有实数根；（3）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形.解:（1）是“p∨q”形式的复合命题，其中p：10=10；q:10＜10.为真命题；也可认为是“p”形式的复合命题,其中p:10＞10。(2)是“p”形式的复合命题，其中p:方程x2—6x-1=0有实根，p为假命题.（3）是“p∧q”形式的复合命题，其中p:有两个角为45°的三角形是等腰三角形；q：有两个角为45°的三角形是直角三角形,为真命题.变式提升1用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断真、假.(1）5和7都是质数；(2）平行四边形的对角线既互相垂直，又互相平分.解:（1）“5和7都是质数"可以改写成“5是质数且7也是质数”.∵“5是质数"与“7是质数”都是真命题.∴这个命题是真命题。（2）“平行四边形的对角线既互相垂直，又互相平分”可以改写成“平行四边形的对角线互相垂直且互相平分”。∵“平行四边形的对角线互相垂直"是假命题。∴这个命题是假命题.类题演练2命题p：x∈R，<0的非p形式的命题是(）A。x∈R，〉0B。x∈R,1≤x≤3C。x∈R，x<1或x〉3D.x∈R,x≤1或x≥3答案：D变式提升2判断命题“x∈R，方程x2+2x+1=0有解"是全称命题还是存在性命题，并写出它的否定.解析：由于x∈R表示x是任意实数,即命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；其否定是“x∈R,方程x2+2x+1=0无解”。类题演练3已知a>0，a≠1,设P:函数y=loga（x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减;Q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点。如果P和