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文档简介

1、 特征问题：代数求解方法：先用特征方程Axx( )det()0fIA求出特征值i，再求解线性方程组()0iIA x得到相应于特征值 的特征向量iix求最大特征值的幂法求最大特征值的幂法设123| | |nA的特征值和特征向量为12,n 12,nx xx满足并且12,nx xx线性无关01212121 122 nnnnnAvAxAxAxxxx 0121 122 kkkknnnA vxxx 0v留意任一向量可以表示成01212nnvxxx从而012212111 kkknnnkA vxxx又留意11i，得到0111limkkkA vx 按方向趋于0111kkA vx 因此，当k 时，向量序列1x设1

2、0。但是，假设11，那么0kA v的范数趋于或0对向量12( ,)Tnvv vv，定义( )m v为v的按绝对值最大分量。于是( )vm v的按绝对值最大分量是1。另外，留意()( )mvm v/( /)( )vvm vm v1选定幂法：幂法：00v 使得10。00uv210vAu10110( )()vAvum vm Av令，320210()A vvAum Av2202020220020/()()()()vA vA vA vumm vm Avm Avm A v(4) 010()kkkkA vvAum A v00()()kkkkkvA vum vm A v2,3,k 幂法的收敛性在给定条件下，知

3、0111kkA vx因此，10110111()()()kkkxA vxum A vmxm x1111111111()() ()()kkxm vm Aum Am xxxmmm xm x例 110.5110.250.50.252A主特征值为12.536532主特征向量为1(0.7482,0.6497,1)Tx 取初始值为0(1,1,1)v 1(0.9091, 0.8182, 1) 2.750000 5(0.7651, 0.6674, 1) 2.558792 10(0.7494, 0.6508, 1) 2.538003 20(0.7482, 0.6497, 1) 2.536532k()kTu()km v3.3.2 反幂法：按范数最小特征值设Axx那么11A xxA于是的按范数最小特征值就是1A的按范数最大特征值。因此，将幂法用于1A即可。反幂法：任取1111 (, () )kkkkkkkkkAvuLUvAuuvum vv00vu1,2,k 收敛速度取决于1111nnnnr当1r 时收敛。求恣意特征值：知A某个特征值i的近似值p设, ijppij 1()ApI存在那么11()()iiiApIxpx并且1()

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