对函数点连续的思考（可编辑）

1、对函数点连续的思考 对函数点连续的思考匡 华广东河源职业技术学院教育系数学教研室, 广东 河源 517000摘要: 如何理解“函数点连续”的概念并能够灵活应用是高等数学初学者的最大问题之一,尤其是在如何判断函数连续点或间断点的应用方面。本文着重阐述了函数点连续的概念,并对其应用方法作了总结.关键词:函数点连续;连续点;间断点引言 函数在点的连续的概念在整个高等数学微积分部分的学习中起着承上启下的作用,上可进一步加深对函数极限概念的理解,下可为导数学习打基础.但是,在实际的教学过程,发现很多学生由于对于这个概念理解不够透彻,导致在利用函数点连续概念判断函数的连续或者间断问题上面临着不少困惑.文章

2、主要探讨了如何深入了解函数点连续的概念,同时着重阐述了如何利用函数连续性定义判断函数的连续性问题.函数连续的概念的理解 函数连续的概念义:已知在点及其附近有定义,如对任意给定的0,存在0,使得当成立,则称函数在点处连续.记为: 通常,我们可以看到函数连续的其他表达形式: 该定义清楚地告诉我们:当这个的邻域时,有成立,即.反之,当时,即属于的左邻域或者即属于的右邻域时,均有,则当时,即的邻域时,必有.用公式表示为: i成为函数在点处左连续;成为函数在点处右连续.式i为我们教科书常说的函数点连续的充要条件.从该定义我们可以得出函数在点处连续应满足如下条件:条件1、在点处有定义条件2、存在条件3、即

3、时,的极限值等于因此,当且仅当上述三个条件同时成立时,函数在点处才连续;否则,只要一个条件不成立的话, 函数在点处不连续即间断 由上述条件我们可以推出函数点连续的一般判别法: 步骤一、判断函数在内是否有定义; 步骤二、是否存在; 步骤三、是否成立.应用函数点连续定义举例讨论在点1处的连续性解: 的定义域为:,显然在点x1处无定义,不符合条件1在点x1处间断.判断在x1处的连续性解: 的定义为r,故函数在x1处有定义。又,所以函数在点x1处左连续 同理,在x1处右连续。在x1处连续 注意:函数点连续的定义所确定的方法,在判断类似例2的分段函数的连续性问题中尤为有效。函数点连续的应用掌握了函数点连

4、续的定义后,以前的有些比较复杂的极限的求解可以直接应用连续求解。求解:显然该函数是典型的初等函数 根据连续的定理:初等函数在其定义上是连续的 所以, 总之,在理解函数点连续定义的基础上,只要严格按照三个条件来判断函数的连续性,相关题型的求解并不难.只要领会了概念,无论题型如何灵活变换,都是可以通过上述方法求解的 参考文献同济大学应用数学系.高等数学第四版【m】.上海:高等教育出版社,2003:35-37华东师范大学数学系.数学分析(第二版)【m】.上海:高等教育出版社,2007:54-56盛祥耀.高等数学(第二版)【m】.北京:高等教育出版社,2003:32-33顾静相,钟宜,傅修文.高等数学

5、(第二版)【m】.北京:高等教育出版社,2004:40-42贾定晖,吉米多维奇数学分析习题解【m】.山东:山东科技出版社,1980:67-70thought on continuity of the function at the given pointkuang huaheyuan vocational technical college, 517000,guangdong chinaabstract: how to understand the concept of function continuity and use it elasticly was the biggest heada

6、che of my students,especially in application on how to judge whether a function is continuity or discontinuitythe text mainly explained the concept of function continuity and made a summary of its application methodskey words: function continuity ; continuity point; discontinuity point ;附作者个人简介:匡 华1982- ,男,江西吉安人,河源职业技术学院,助教,研