状态变量分析法

1、状态变量分析法状态变量分析法 1. 状态方程和输出方程 状态变量分析法有两个基本方程，即状态方程和输出方程。状态方程把系统内部一些称为状态变量的节点变量和输入联系起来；而输出方程则把输出信号和那些状态变量联系起来。 一般状态变量选在基本信号流图中单位延时支路输出节点处。 图5.5.1是二阶网络基本信号流图，有两个延时支路，因此建立两个状态变量w1(n)和w2(n)。下面建立流图中其它节点w2和输出y(n)与状态变量之间的关系。 22221121221120222 0111 020(1)(1)( )( )( )(1)( )( )( )( )()( )()( )( )nnananx nnny nb

2、nbnbba bnba bnb x n (5.5.1) (5.5.2) (5.5.3) 将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵形式：11222101(1)( )0( )(1)( )1nnx nnnaa (5.5.4) 图5.5.1 二阶网络基本信号流图 x(n)y(n)z 1z 1b0b1b2w1w2w2 a1 a2222211212211202220111 020(1)(1)( )( )( )(1)( )( )( )( )()( )()( )( )nnananx nnny nbnbnbba bnba bnb x n x(n)y(n)z 1z 1b0b1b2w1w2w2 a1

3、a2 图5.5.2示出更为一般的二阶网络基本信号流图，两个延时支路输出节点定为状态变量w1(n)和w2(n)。按照信号流图写出以下方程： 111111122122221122221122( )(1)(1)( )( )( )( )(1)(1)( )( )( )( )( )( )( )nnnananb x nnnnananb x ny ncncndx n图5.5.2 一般二阶网络基本信号流图 x(n)y(n)z1z1b1b2c1c2da22a12a21w1(n)w2(n)w1w2 将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵形式：11121112222122(1)( )( )(1)( )

4、aannbx nnnbaa(5.5.6)1 212( )( )( )( )Ty nc cnndx n(5.5.7)再用矩阵符号表示： (1)( )( )( )( )( )W nAW nBx nY nCW nDx n(5.5.8)(5.5.9) 111212212212,TaaAB bbaaCccDd 式(5.5.8)和式(5.5.9)分别称为图5.5.2二阶网络的状态方程和输出方程。 如果系统中有N个单位延时支路，M个输入信号：x1(n),x2(n),xM(n)，L个输出信号y1(n),y2(n),，yL(n)，则状态方程和输出方程分别为 (1)( )( )( )( )( )W nAW nBX

5、 nY nCW nDX n(5.5.10)(5.5.11) 式中121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )TNTMTLW nnnnX nx n x nxnY ny n y nyn11 12111 1212122221 222121211 1211112121 222212221212,NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNa aab bbAa aaBb bba aab bbc ccd ddCc ccDd ddc ccddd图5.5.3 状态变量分析法y(n)x(n)z1W(n1)W(n)dABC 例5.5.1 建立图5.5.4流图的状态方程和

6、输出方程。 图5.5.4 例5.5.1图x(n)y(n)z1a1b0z1b1b2a2w1(n1)w1(n)w2(n) 信号流图中有两个延时支路，分别建立两个状态变量w1(n)和w2(n)(如图5.5.4所示)，然后列出延时支路输入端节点方程如下： 1112221(1)( )( )( )(1)( )nananx nnn将上式写成矩阵方程： 121122(1)( )1( )(1)( )010aannx nnn (5.5.12) 输出信号y(n)的方程推导如下： y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n) 将上面w1(n+1)的方程代入上式： y(n) =a1b0w1(n)+b0a

7、2w2(n)+b0 x(n)+b1w1(n)+b2w2(n) =(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0 x(n)11 012 0202( )( ),( )( )ny na bb a bbb x nn 例 5.5.2直接写出图5.5.4信号流图的 A、B、C和D参数矩阵。 解 111121221222, , ,baaABCc cDdaab 要注意：从wi(n)到输出节点可能不止一条通路，要把所有通路增益加起来，即111 0220 0,cba b cba b d表示从输入节点到输出节点的通路增益，这里d=d0，最后得到四个参数矩阵为121,100aaAB 例5.5.3 已

8、知系统函数H(z)为 1121122(1)(1 1.440.7)( )(10.5)(10.90.81)zzzH zzzz(1)画出H(z)的级联型网络结构；(2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程。 112112(1) 1 1.440.7( )210.510.90.81zzzH zzzz 图5.5.5 例5.5.3图 x(n)z12y(n)z1z11.4140.70.9w1(n)w2(n)w3(n)0.51 在延时支路输出端建立状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)(如图5.5.5所示)。写出状态变量 w1(n+1) =-0.5w1(n)+2x(n) w2(n+1)=w1(n+1)-

9、w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n) =-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n) w3(n+1)=w2(n) 将以上三个方程写成矩阵方程：112233(1)( )0.5002(1)1.50.90.81( )2( )0100(1)( )nnnnx nnn 输出方程为y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)将上面得到的w2(n+1)方程代入上式，得到：y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n)将y(n)写成矩阵方程，即是要求的输出方程。y(n)=-1.5-0.514-0.11w1(n)w2(n)

10、w3(n)T+2x(n) 例5.5.4 已知FIR滤波网络系统函数H(z)为 画出其直接型结构及写出状态方程和输出方程。 解：画出直接型结构如图5.5.6所示，在延时支路输出端建立状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)。根据参数矩阵中各元素的意义，直接写出状态方程和输出方程如下：30( )iiiH za z112233(1)( )0001(1)100( )1( )0100(1)( )nnnnx nnn y(n)=a1 a2 a3w1(n) w2(n) w3(n)T+a0 x(n) 图5.5.6 例5.5.4图 y(n)x(n)z1z1z1w1(n)w2(n)a1a2a3a0w3(n) 2.

11、 由状态变量分析法转换到输入输出分析法 把单输入单输出的状态方程和输出方程重写如下： W(n+1)=AW(n)+Bx(n) (5.5.14) y(n)=CW(n)+dx(n) (5.5.15) 将上面两式进行Z变换 zW(z)=AW(z)+BX(z) (5.5.16) Y(z)=CW(z)+dX(z) (5.5.17) 式中 W(z)=W1(z)W2(z)WN(z)T Wi(z)=ZTwi(n) X(z)=ZTx(n) Y(z)=ZTy(n) 由(5.5.16)式得到： W(z)=zI-A-1 BX(z) (5.5.18) 将上式代入(5.5.17)式，得到：11( )( )( )( )( )

12、( )Y zC zIABX zdX zY zH zC zIABdX z(5.5.19) 例5.5.5 已知二阶网络的四个参数矩阵如下：2122 011 00010,1,ABaaCba bba bdb 求该网络的系统函数。解 2111212212111011()11( )zzIAazazazIABazz zaazza zaH zC zIABd 系 统 频 响 决 定 于 H ( z ) 的 零 、 极 点 分 布 。 设H(z)=B(z)/A(z)，其极点为A(z)=0的解。由(5.5.19)式得到： A(z)多项式称为A 矩阵的特征多项式，其根为A矩阵的特征值，因此A矩阵的特征值就是H(z)的

13、极点。如果A矩阵全部特征值的模均小于1，系统因果稳定，否则系统因果不稳定。21201201221212121b zb zbbb zb zza zaa za z( )det()A zzIA(5.5.20) z2-3z+2=0 特征值 1=1, 2=2 极点 z1=，z2=2 将状态方程重写如下： W(n+1)=AW(n)+Bx(n)321032det01AzzIAz 方程式左端是n+1时刻的状态变量矢量，右端是n时刻的状态变量矢量和输入x(n)的线性组合。由起始值 W(n0)，用递推法求出W(n)的时域解： n=n0时，W(n0+1) =AW(n0)+Bx(n0) n=n0+1时，W(n0+2)

14、=AW(n0 +1)+Bx(n0 +1) =AAW(n0)+Bx(n0)+Bx(n0 +1) =A2W(n0)+ABx(n0)+B x(n0 +1) n= n0 +k时W(n0+k+1)=A k+1 W(n0)+AkBx(n0)+ A k-1 Bx(n0+1)+ABx(n0+k-1)+Bx(n0+k) 令n=n0+k+1，则 0000101101( )()()( )()()nnnnlin nn nliW nAW nABx nlW nAW nABx nl将n换成n，则(5.5.21) 为求单位脉冲响应，将(5.5.15)式中的x(n)用(n)代替，W(n)用(5.5.21)式中的零状态响应代替，

15、且令n0=0，此时y(n)=h(n)，得到：111( )()( )00( )00nllnh nCABnldnnh ndnCABn(5.5.22) (5.5.23) 例5.5.6 求图5.5.7所示的N阶FIR格形网络的系统函数以及单位脉冲响应。图5.5.7 例5.5.6图 z1z1w1w2k1k1k2k2z1z1wN1kN1kN1wNkNx(n)y(n) 解 首先建立状态变量w1(n),w2(n),wN(n)，如图所示。这种网络没有反馈支路，直接写出各参数矩阵： 121123111( )()TNNBkkkCkkkkDH zC zIABD设N=2，则有11212121211212200,110,

16、10111(1)11(1)TTABkCkkDzzIAkzzk zkk z zkkzk z 将上式进行反变换，得单位取样响应： h(n)=(n)+k1(1+k2)(n-1)+k2(n-2) 如果用(5.5.22)式求h(n)，也得到同样的结果，但要求A矩阵的n-1次幂。关于求矩阵的幂，请参考本书附录B。 3. 线性变换 下面研究在不改变系统传输函数的条件下，如何对状态变量进行线性变换。设T是NN非奇异矩阵。系统中有N个延时支路。令 G(k)=T-1W(k) (5.5.25) G(k+1)=T-1W(k+1) =T-1AW(k)+BX(k) =T-1 ATG(k)+T-1 BX(k) (5.5.2

17、6) Y(k)=CW(k)+DX(k)=CTG (k)+DX(k) (5.5.27) 按照(5.5.26)式和(5.5.27)式，原来的状态矢量W(k)变成新的状态矢量G(k)，状态参数矩阵为A、B、C和D，即 A=T-1 AT B=T-1 B C=CT D=D 经过(5.5.28)式线性变换后的状态方程和输出方程为 G(k+1)=AG(k)+BX(k) (5.5.29) Y(k)=CG(k)+DX(k) (5.5.30)(5.5.28) H(z)=CzI-A-1 B +d =CTzI-T-1AT-1 T-1 B+d =CTT-1(zI-A)T-1 T-1 B+d =CTT-1(zI-A)-1 TT-1 B+d =C(zI-A)-1 B+