信号检测与估计教学资料 第三章 信号检测与估计

1、1 第三章第三章 信号的统计检测理论信号的统计检测理论 复习总结复习总结 2 第三章第三章 信号的统计检测理论信号的统计检测理论 经典的信号统计检测理论经典的信号统计检测理论 统计信号检测理论的基本概念统计信号检测理论的基本概念 二元信号检测的最佳检测准则二元信号检测的最佳检测准则 信号状态的判决的方法和检测性能的分析信号状态的判决的方法和检测性能的分析 M M元信号的最佳检测元信号的最佳检测 参量信号的复合假设检验参量信号的复合假设检验 序列检测序列检测 3 贝叶斯准则基本思路贝叶斯准则基本思路: : 根据给定的代价计算平均代价根据给定的代价计算平均代价 按照平均代价最小划分观察空间按照平均

2、代价最小划分观察空间, ,得到判决准则得到判决准则 对判决表达式进行化简对判决表达式进行化简 贝叶斯准则贝叶斯准则 4 11011 00100 0 1 1 0 ccHP ccHP Hxp Hxp H H 贝叶斯判决准则贝叶斯判决准则 0 1 Hxp Hxp xl def 定义为定义为似然比函数似然比函数 11011 00100 ccHP ccHP def 定义为定义为判决门限判决门限 1 0 H H xl 是一维随机变量，称为是一维随机变量，称为检验统计量检验统计量 xl 不依赖于假设的先验概率，也与代价因子无关，不依赖于假设的先验概率，也与代价因子无关，适用于不同先验概率适用于不同先验概率

3、和不同代价因子的最佳信号检测。和不同代价因子的最佳信号检测。 5 贝叶斯检测性能分析贝叶斯检测性能分析 计算基本原则：根据化简后的最简判决表示式进行计算。计算基本原则：根据化简后的最简判决表示式进行计算。 计算步骤：计算步骤： 步骤步骤1：推导贝叶斯检测准则的最简表示形式推导贝叶斯检测准则的最简表示形式 1 0 H H xl 步骤步骤2：根据最简表示形式，计算各种假设下，统计量的概率密度函数根据最简表示形式，计算各种假设下，统计量的概率密度函数 1 Hlp 0 Hlp 步骤步骤3：计算判决概率计算判决概率 10 HHP 01 HHP dlHlpHHP 110 dlHlpHHP 001 6 最小

4、平均错误概率准则最小平均错误概率准则 0 100111101111010000 R Cc P Hc P HP HccpHP HccpHd xxx 0 1100 cc1 1001 cc 0 01100 R CP HP HpHP HpHd xxx 把使被积函数取负值的观察值把使被积函数取负值的观察值x值划分给值划分给R0区域，而把其余的观察值区域，而把其余的观察值x值值 划分给划分给R1，即可保证平均代价最小。，即可保证平均代价最小。 1100 P HpHP HpHxx 判决判决H0假设成立假设成立 1100 P HpHP HpHxx 判决判决H1假设成立假设成立 7 最小平均错误概率准则最小平均

5、错误概率准则 1 0 ln ( )ln H H x 1 0 1 0 10 ( ) H defdef H pHP H P HpH x x x 最小平均错误概率判决准则最小平均错误概率判决准则 1 0 ( ) H H l x 化简化简 8 最小平均错误概率准则最小平均错误概率准则 1 0 1 0 10 ( ) H defdef H pHP H P HpH x x x 最小平均错误概率判决准则最小平均错误概率判决准则 0 1100 cc1 1001 cc 若若，且两个假设的先验概率等概，且两个假设的先验概率等概 最小平均错误概率准则转化为最小平均错误概率准则转化为 1 0 10 H H pHpH x

6、x 最大似然检测准则最大似然检测准则 9 最大后验概率准则最大后验概率准则 (Maximum a posteriori prob. criterion) 11010010 cccc 应用范围应用范围 1 0 1 01000 101110 H H pHP Hcc P HccpH x x 贝叶斯判决准则贝叶斯判决准则 1 0 1 0 10 H H pHP H P HpH x x n 形式上于最小平均错误概率准则相同形式上于最小平均错误概率准则相同 10 极小化极大准则极小化极大准则(Minimax criterion) n 应用范围应用范围 假设的先验概率未知，判决代价因子给定假设的先验概率未知，

7、判决代价因子给定 n 目的目的 尽可能避免产生过分大的代价，使极大可能尽可能避免产生过分大的代价，使极大可能 代价最小化代价最小化 11 极小化极大准则极小化极大准则 利用极小化极大准则进行检测的基本步骤：利用极小化极大准则进行检测的基本步骤： 步骤步骤1：计算两个似然函数，构建似然比计算两个似然函数，构建似然比 步骤步骤2：假设判决门限为假设判决门限为 ，构建贝叶斯检测基本表达式，构建贝叶斯检测基本表达式 步骤步骤3：化简成最简形式化简成最简形式 1 0 H H l x 步骤步骤4：利用极小化极大准则，确定最终判决门限利用极小化极大准则，确定最终判决门限 12 奈曼奈曼-皮尔逊准则皮尔逊准则

8、 (Neyman-Pearson criterion) n 应用范围应用范围 假设的先验概率未知，判决代价未知假设的先验概率未知，判决代价未知(雷达信号检测雷达信号检测) n 奈曼奈曼-皮尔逊检测皮尔逊检测 01 HHP 尽可能小，尽可能小， 11 HHP尽可能大。尽可能大。 n 目标目标 n 实际情况实际情况 01 HHP减小时，减小时， 11 HHP也相应减小；也相应减小； 01 HHP增加增加 ， ，也随之增加。也随之增加。 11 HHP 在在 约束条件下约束条件下, , 使正确判决概率使正确判决概率 最大的准则。最大的准则。 01 HHP 11 HHP 13 Step3 根据统计量计算

9、根据统计量计算 和和 奈曼奈曼-皮尔逊准则皮尔逊准则 (Neyman-Pearson criterion) 0 Hlp 求解步骤求解步骤 Step1 计算似然函数、似然比计算似然函数、似然比,并写出判决表达式并写出判决表达式 Step2 化简化简 1 Hlp Step4 在在 约束下，计算判决门限约束下，计算判决门限 1 001 R dlHlpHHP 1 0 0 1 H H Hxp Hxp 14 贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下， 使使平均代价最小平均代价最小的检测准则。的检测准则。 11011 00

10、100 0 1 1 0 ccHP ccHP Hxp Hxp H H 1 0 0 1 1 0 HP HP Hxp Hxp H H 最小平均错最小平均错 误概率判决误概率判决 准则准则 xHPxHP H H 01 1 0 最大后验最大后验 概率检测概率检测 准则准则 0 1100 cc 1 1001 cc 11010010 cccc 等概等概 01 1 0 HxpHxp H H 最大似然判最大似然判 决准则决准则 贝叶斯及派生检测准则贝叶斯及派生检测准则(1) 符合最小平均错误概率准则的符合最小平均错误概率准则的 一定符合最大后验概率检测准一定符合最大后验概率检测准 则，反之不成立。则，反之不成立

11、。 15 按照似然比检测形式构建基本表达式，按照似然比检测形式构建基本表达式， 并在并在 的的 约束下计算最终判决门限。约束下计算最终判决门限。 贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下， 使使平均代价最小平均代价最小的检测准则。的检测准则。 11011 00100 0 1 1 0 ccHP ccHP Hxp Hxp H H 贝叶斯及派生检测准则贝叶斯及派生检测准则(2) 信源先验信源先验 概率未知概率未知 信源先验概率及信源先验概率及 代价因子均未知代价因子均未知 极小化极大准则极小化极大准则奈曼皮尔逊准则

12、奈曼皮尔逊准则 按照似然比检测形式构建基本表达式，按照似然比检测形式构建基本表达式， 并在并在 的约束下计算的约束下计算 最终判决门限。最终判决门限。 * 11 ()() MgFg P PP P 0 0011 cc1 0110 cc 1 100 ()()d R P H Hp l Hl 16 贝叶斯及派生检测准则贝叶斯及派生检测准则( (3) ) 分析某种检测方法的性能时，需根据化简后的最简判决表示式进行。分析某种检测方法的性能时，需根据化简后的最简判决表示式进行。 计算步骤：计算步骤： 步骤步骤1：推导某种检测方法下获得的最简判决表达式推导某种检测方法下获得的最简判决表达式 1 0 H H x

13、l 步骤步骤2：根据最简表示形式，计算各种假设下，统计量的概率密度函数根据最简表示形式，计算各种假设下，统计量的概率密度函数 1 Hlp 0 Hlp 步骤步骤3：计算判决概率计算判决概率 10 HHP 01 HHP 17 M元信号的统计检测元信号的统计检测 (Detection of M-ary Signal) 基本要求：基本要求： n 掌握贝叶斯准则掌握贝叶斯准则 n 掌握最小平均错误概率准则和最大似然准则掌握最小平均错误概率准则和最大似然准则 18 M元信号检测元信号检测 1 0, M ijj jj i IP HpH xx 最小平均错误概率准则最小平均错误概率准则 最小的划分至最小的划分至

14、 ,0,1,1, ij IIjMjixx n 为保证平均错误概率最小，应把所有使为保证平均错误概率最小，应把所有使 i R ，即当满足 ，即当满足 i Ix 判决区域判决区域 时，判决时，判决Hi成立概率成立概率 n 正确判决代价为正确判决代价为0，错误判决代价为，错误判决代价为1，则，则 1 0, M iijjjjj jj i IccP HpH xx 11 00 () (|) MM ejij ij PP HP HH n 最小平均错误概率最小平均错误概率 19 M元信号检测元信号检测 i M j j M ijj ji HxpHxp M Hxp M xI 1 0 1 , 0 11 最大似然检测最

15、大似然检测 n 正确判决代价为正确判决代价为0，错误判决代价为，错误判决代价为1，且信源的假设先验等概时，且信源的假设先验等概时 n 判决规则为在判决规则为在M个似然函数个似然函数 中，选择使中，选择使 i Hxp i Hxp 最大的假设成立。最大的假设成立。 1 , 0 M ijj jjjjiji HxpHPccxI 20 参量信号的统计检测参量信号的统计检测 (Detection of Signal with Unknown Parameter) 基本要求：基本要求： 理解参量信号检测的基本概念理解参量信号检测的基本概念 掌握两种检测方法：掌握两种检测方法： 广义似然比检验和贝叶斯方法广义

16、似然比检验和贝叶斯方法 21 先利用最大似然方法对未知参量进行估计，然后利用得到先利用最大似然方法对未知参量进行估计，然后利用得到 的估计量按照确定信号的检测方法进行。的估计量按照确定信号的检测方法进行。 参量信号的统计检测参量信号的统计检测 (Detection of Signal with Unknown Parameter) argmax(|;) ii imlii P pH x 广义似然比检验广义似然比检验 最大似然估计最大似然估计 ; ii pHx 使似然函数使似然函数 达最大的达最大的 作为该参量的估计量，作为该参量的估计量， i iml 记为记为 广义似然比广义似然比 1 0 11

17、 20 (|;) ( ) (|;) H ml H ml pH pH x x x 22 参量信号的统计检测参量信号的统计检测 (Detection of Signal with Unknown Parameter) 贝叶斯检测方法贝叶斯检测方法 n 概率密度函数已知的情况概率密度函数已知的情况 n 猜测概率密度函数的情况猜测概率密度函数的情况 n 未知参量的奈曼未知参量的奈曼-皮尔逊检测皮尔逊检测 23 参量信号的统计检测参量信号的统计检测 概率密度函数已知的情况概率密度函数已知的情况 11011 00100 0 1 1 0 ccHP ccHP Hxp Hxp H H 贝叶斯检测准则贝叶斯检测准

18、则 参量信号的检测中，信源在假设参量信号的检测中，信源在假设 Hj 下的条件概率密度函数为下的条件概率密度函数为 ; jj pHx | 函数函数 得到似然函数得到似然函数 ? 如何由条件似然函数如何由条件似然函数 ; jj pHx | 和未知参量的概率密度和未知参量的概率密度 j p j pHx | 24 ; j jjjjj pHpHpd xx 1 1 0 0 1111 1 01000 101110 0100 , , H H pHpd pHP Hcc P HccpHpHpd x x xx 参量检测中，贝叶斯检测准则为：参量检测中，贝叶斯检测准则为： 25 信号的序列检测信号的序列检测 基本原理

19、基本原理 观测次数不固定，边观测边判决观测次数不固定，边观测边判决 优点：在给定性能指标的要求下，可使平均观测次数最少，优点：在给定性能指标的要求下，可使平均观测次数最少， 即平均检测时间最短。即平均检测时间最短。 即如果观测到第即如果观测到第k次还不能做出令人满意的判决，次还不能做出令人满意的判决， 则继续进行第则继续进行第k+1观测观测 序列假设检测理论由序列假设检测理论由Wold在在20世纪世纪40年代建立年代建立 26 信号的序列检测信号的序列检测 对于二元信号的检测，进行第对于二元信号的检测，进行第k次观测后，次观测后， 会出现会出现3种可能的结果，即种可能的结果，即 判决判决H1成立成立 判决判决H0成立成立 不进行判决，继续下一次观测不进行判决，继续下一次观测 因此，需要将判决空间划分成三个判决区域，设定两个判决门限因此，需要将判决空间划分成三个判决区域，设定两个判决门限 和和 1 0 0 R 2 R 1 R 观测空间观测空间R 27 信号的序列检测信号的序列检测 1 0 1 Hxp Hxp x k k k 满足满足 时，判为时，判为H1成立成立 0 0 1 Hxp Hxp x k k k 满足满足 时，判为时，判为H0成立成立 1 0 1 0 Hxp