二、2直线、平面平行的判定及其性质

1、2021/3/101 第二节：直线、平面平行的判定及其性质第二节：直线、平面平行的判定及其性质第二章：第二章： 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系2021/3/102例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个它的各个顶点都在球顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方

2、体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。2a2 2 a 关键关键：找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系2021/

3、3/103知识点一知识点一、直线与平面平行的判定、直线与平面平行的判定 ab2021/3/104复习引入复习引入直线与平面有什么样的位置关系？直线与平面有什么样的位置关系？ (1)直线在平面内直线在平面内有无数个公共点；有无数个公共点；(2)直线与平面相交直线与平面相交有且只有一个有且只有一个 公共点；公共点；(3)直线与平面平行直线与平面平行没有公共点没有公共点. a aaA Aaa/a2021/3/105问题问题1 1、观察开门与关门，观察开门与关门， 门的两门的两边是什么位置关系当门绕着一边边是什么位置关系当门绕着一边转动时，此时门转动的一边与门框转动时，此时门转动的一边与门框所在的平面

4、是什么位置关系？所在的平面是什么位置关系？l观察2021/3/106问题问题2 2、请同学门将一本书平放请同学门将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线封面边缘所在直线l与桌面所在的与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？桌面平面具有怎样的位置关系？桌面内有与内有与l 平行的直线吗？平行的直线吗？l动手体验2021/3/107问题问题 3、根据以上实例总结在、根据以上实例总结在什么条件下一条直线和一个平什么条件下一条直线和一个平面平行？面平行？探究归纳如果平面外一条直线和这个平面内的一如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面条

5、直线平行，那么这条直线和这个平面平行平行2021/3/108符号表示符号表示：/ababa 平平面外面外的一条的一条直线直线与此平与此平面内面内的一条的一条直线平直线平行行，则该，则该直线直线与此平与此平面平行面平行.直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理： ab线线平行线线平行线面平行线面平行将线面平行转化为线线平行解读定理将空间问题转化为平面问题三个条件不能少2021/3/109例例1 1、 如图如图, 长方体长方体 的的 六个面中，六个面中， DCBAABCD(1)与与AB平行的平面平行的平面是是_;(2)与与 平行的平面平行的平面是是_; (3)与与AD平行的平平行的平面面是

6、是_.AA A CDC 面、面BCDC面、面A CBC 面、面CBADCBAD2021/3/1010分析分析:OF是是ABE的中位线，的中位线，所以得到所以得到AB/OF.ABCDFOE连结连结OF，例例2. 如图，四棱锥如图，四棱锥ADBCE中，中，O为底为底面正方形面正方形DBCE对角线的交点，对角线的交点，F为为AE的中点的中点.判断判断 ABAB与平面与平面DCFDCF的位置关系，的位置关系，并说明理由并说明理由. .2021/3/1011例例3.3. 如图，空间四边形如图，空间四边形ABCDABCD中，中，E E、F F分别是分别是ABAB，ADAD的中点的中点. .求证：求证：EF

7、EF平面平面BCD.BCD.分析：分析：要证明线面平行要证明线面平行只需证明线线平行，即只需证明线线平行，即在平面在平面BCD内找一条直内找一条直线平行于线平行于EF，由已知的，由已知的条件怎样找这条直线？条件怎样找这条直线？ABCDEF2021/3/1012证明：证明：EF BD.EF 平面平面BCD. .BD 平面平面BCD, , AB、AD的中点，的中点， 在在 ABD中中E、F分别是分别是 EF 平面平面BCD， 连接连接BD，已知：空间四边形已知：空间四边形ABCD中，中， E、F分别是分别是 AB、AD的中点的中点. . 求证：求证：EF/平面平面BCD. .ABCDEF注意：注意

8、：证线面平行三个条件缺一不可证线面平行三个条件缺一不可. .证明步骤证明步骤：第一步：证线线平行；第二步：证线面平行第一步：证线线平行；第二步：证线面平行2021/3/1013_. 如图，在空间四边形如图，在空间四边形ABCD中，中，E、F分别为分别为AB、AD上的点，若上的点，若 ，则则EF与平面与平面BCD的位置关系是的位置关系是FDAFEBAE EF/平面平面BCDABCDEF变式探究平行线的平行线的判定定理判定定理, ,2021/3/1014 分析：分析：要证要证BD1/平面平面AEC，即要在平，即要在平面面AEC内找一条直线内找一条直线与与BD1平行平行.根据已知根据已知条件应该怎样

9、考虑辅条件应该怎样考虑辅助线助线? 例例. 如图，正方体如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E为为DD1的中点，求证的中点，求证:BD1/平面平面AEC.ED1C1B1A1DCBAO有中点再找中点得中位线有中点再找中点得中位线2021/3/1015如图如图:ABCD为平行四边形，为平行四边形，M,N分别是分别是AB,PC的中点的中点求证求证MN/面面PADHPABCDNM分析：分析：关键关键在平面在平面PAD内内找找MN平行线，有中点再平行线，有中点再中点找中点，中点和中中点找中点，中点和中点相连得中位线，从而点相连得中位线，从而得到平行线得到平行线。变式探究2021/3/10161

10、.1.要证明直线与平面平行可以运用线面平行的判定要证明直线与平面平行可以运用线面平行的判定定理定理； 线线平行线线平行 线面平行线面平行2.2.能够运用定理的条件要满足三个条件：能够运用定理的条件要满足三个条件：3.3.运用定理的关键运用定理的关键找平行线找平行线；找平行线又经常会用到；找平行线又经常会用到三角形中位线、梯形的中位线、平行四边形、平行线三角形中位线、梯形的中位线、平行四边形、平行线的判定定理的判定定理, ,平行公理平行公理. .( (一般题中有中点再找中点一般题中有中点再找中点, ,有有分点再找分点得平行关系分点再找分点得平行关系.).)ba/ba/a “一线面内、一线面内、一

11、线一线面外、面外、两线平行两线平行”规律总结规律总结4 4数学思想方法：数学思想方法：转化化归的思想方法：转化化归的思想方法：将线面平行转化为线线平行将空间问题转化为平面问题2021/3/1017C1ACB1BMNA1如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M、 N分别是BC和A1B1的中点，求证:MN平面AA1C1CF证明：设A1C1中点为F,连结NF，FCN为A1B1中点，M是BC的中点，NFCM为平行四边形, 故MNCF例：21B1C1NF又BCB1C1，MC1/2B1C1即MCNF而CF平面AA1C1C, MN 平面AA1C1C, MN平面AA1C1C,2021/3/1018例例 ：在长方体

12、：在长方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中. .（1 1）作出过直线）作出过直线ACAC且与直线且与直线BDBD1 1平行的截面，并说明理由平行的截面，并说明理由. .（2 2）设）设E E，F F分别是分别是A A1 1B B和和B B1 1C C的中点，求证：的中点，求证：直线直线EF/EF/平面平面ABCD.ABCD.ABCC1DA1B1D1EFMG GH H 2021/3/1019如图所示,正方体ABCDA1B1 C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF平面ABCD.分析：根据直线与平面平行的判定定理或平面与

13、平面平行的性质定理来证明. 2021/3/1020证明证明 分别过分别过E E，F F作作EMEMABAB于于M M，FNFNBCBC于于N N，连接，连接MNMN. .BBBB1 1平面平面ABCDABCD，BBBB1 1ABAB，BBBB1 1BCBC，EMEMBBBB1 1，FNFNBBBB1 1，EMEMFNFN. .又又B B1 1E E= =C C1 1F F，EMEM= =FNFN，故四边形故四边形MNFEMNFE是平行四边形，是平行四边形，EFEFMNMN. .又又MN MN 平面平面ABCDABCD EFEF平面平面ABCDABCD，所以所以EFEF平面平面ABCDABCD.

14、 .2021/3/1021例：例： 如图所示，已知如图所示，已知S S是正三角是正三角 形形ABCABC所在平面外的一点，且所在平面外的一点，且SASA= =SBSB= = SCSC，SGSG为为SABSAB上的高，上的高，D D、E E、F F分分 别是别是ACAC、BCBC、SCSC的中点，试判断的中点，试判断SGSG 与平面与平面DEFDEF的位置关系，并给予证明的位置关系，并给予证明. . 解解 SGSG平面平面DEFDEF，证明如下：，证明如下： 连接连接CGCG交交DEDE于点于点H H，连接，连接FHFH， 如图所示如图所示. . DEDE是是ABCABC的中位线，的中位线， D

15、EDEABAB. . 在在ACGACG中，中，D D是是ACAC的中点，的中点， 且且DHDHAGAG. .2021/3/1022H H为为CGCG的中点的中点. .FHFH是是SCGSCG的中位线，的中位线，FHFHSGSG. .又又SGSG平面平面DEFDEF，FHFH平面平面DEFDEF，SGSG平面平面DEFDEF. .方法二方法二 EFEF为为SBCSBC的中位线，的中位线，EFEFSBSB. .EFEF平面平面SABSAB，SBSB平面平面SABSAB，EFEF平面平面SABSAB. .同理可证，同理可证，DFDF平面平面SABSAB，EFEFDFDF= =F F，平面平面SABS

16、AB平面平面DEFDEF，又，又SGSG平面平面SABSAB，SGSG平面平面DEFDEF. .2021/3/10232021/3/1024:复复习习回回顾顾一条直线和一个平面有三种位置关系：一条直线和一个平面有三种位置关系：（1 1）直线在平面内）直线在平面内有无数个公共点。有无数个公共点。（2 2）直线与平面相交）直线与平面相交有且只有一个公共点。有且只有一个公共点。（3 3）直线与平面平行）直线与平面平行没有公共点。没有公共点。线面平行的判定定理线面平行的判定定理: :如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。平行，

17、那么这条直线与这个平面平行。/ 推推理理形形式式: :abaab ab简记：简记：线线线线平行平行线面线面平行。平行。2021/3/1025abca那么直线 会与平面 内那些线平行呢？思考：如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这平面内的所有直线都平行？由直线与平面平行可知，这条直线与这个平面内由直线与平面平行可知，这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点，所以它们只能平的任意一条直线都没有公共点，所以它们只能平行或异面。行或异面。2021/3/1026 请观察长方体中请观察长方体中A1B1 、 AB和平面和平面ABB1A1 、平、平面面ABCD的位置关系，你能从中得到什么启发？的位

18、置关系，你能从中得到什么启发？ABCDA1B1C1D1EF2021/3/1027 ba ,/aabab 已知:直线求证:证明：证明：/aa 与 没有公共点b又因为 在 内ab 与 没有公共点ab又与 都在平面 内 且没有公共点/ab2021/3/1028直线和平面平行的直线和平面平行的性质性质定理定理如果一条直如果一条直线线和一个平和一个平面面平行平行, ,经过这经过这条直线的平面和这个平面相交条直线的平面和这个平面相交, ,那么这那么这条直条直线线和交和交线线平行。平行。ba/ ba 注意：注意：1、定理三个条件缺一不可。、定理三个条件缺一不可。2、简记、简记:线面线面平行平行线线线线平行平

19、行。,aab2021/3/1029lmn 例、设平面例、设平面、两两相交，两两相交，且且 ，若若 ，求证：，求证： mnl,，ml /nl转化思想转化思想：线线平行：线线平行线面平行线面平行线线平行线线平行/lmlm/llnln2021/3/10302. 线线平行线线平行线面平行线面平行1.直线与平面平行的性质定理直线与平面平行的性质定理总结：总结：ba/,aab2021/3/1031ABA1DB1D1PCC1MN1111111111,/ABCDABC DPBBBBPABAM PCBCNACAC BMNABCD长方体中，点（异于 、 ）求证： (1)平面（2）平面2021/3/1032ABA1

20、DB1D1PCC1MNABCDMN面面/11/ACAC B平面11/ACAC B平面ACACP平面11ABPAMPCBCN11ACPAC BMN平面平面/ACMNMNABCD 平面ACABCD 平面1111/ACACA A CC 连结、，在长方体中11AACC四边形是平行四边形11/ACAC11ACAC 平面1111ACAC 平面证明：证明：2021/3/1033ABA1DB1D1PCC1MN2021/3/1034ABA1DB1D1PCC1MN1111111111,/ABCDABC DPBBBBPABAM PCBCNACAC BMNABCD长方体中，点（异于 、 ）求证： (1)平面（2）平面

21、2021/3/1035111111AACCCCPBNCPNNCCPBNAAPBMAPMMAAPBM NCPNMAPM ABCDACABCDMNMNAC面面面面 /ABCDMN面面/ABA1DB1D1PCC1MN2021/3/1036我们今天有哪些收获？还有什么疑惑？我们今天有哪些收获？还有什么疑惑？2、直线和平面平行的性质定理、直线和平面平行的性质定理3、直线和平面平行的判定定理和性质定理可以、直线和平面平行的判定定理和性质定理可以进行进行“线线线线平行平行”和和“线面平行线面平行”的相互转化，的相互转化，实现空间问题平面化实现空间问题平面化线线线线平行平行在平面内在平面内作或找一作或找一直线

22、直线线面线面平行平行经过直线作或找经过直线作或找平面与平面相交平面与平面相交直线直线线线线线平行平行小结：小结：1、直线和平面平行的判定定理直线和平面平行的判定定理2021/3/1037/ .()ll 11. .判判断断题题：（ ）直直线线 平平行行于于平平面面 内内无无数数条条直直线线，则则(2)a若若直直线线 在在平平面面 外外，则则a/ ()a/ ()(3)/ ,/ .()lb bl 若若直直线线则则(4)/ ,ab ba 若若直直线线则则 平平行行于于 内内无无数数条条直直线线( (）2. .平平行行于于同同一一平平面面的的两两直直线线的的位位置置关关系系是是（）A A. . 一一定定

23、平平行行B B. .平平行行或或相相交交C C. . 相相交交 D D. .平平行行、相相交交或或异异面面D(1)l 可可能能在在 内内(2)a 可可能能与与 相相交交(3)l 可可能能在在 内内(4)平平行行公公理理可可以以保保证证2021/3/10381/(2)34/0123llllaaABCD下列命题正确的个数是（ ）（）若直线 上有无数个点不在平面内，则若直线 与平面平行，则 与平面内的任意一直线平行（ ）两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平 行（ ）若一直线和平面内一直线平行，则（ ）个（ ）个（ ）个（ ）个2021/3/1039不平行不平行内有无数条直线

24、与内有无数条直线与）平面）平面（平行平行内有且只有一条直线与内有且只有一条直线与）平面）平面（垂直垂直内有且只有一条直线与内有且只有一条直线与）平面）平面（垂直的直线垂直的直线内不存在与内不存在与）平面）平面（，那么，那么平面平面如果直线如果直线aDaCaBaAa /2021/3/1040例：例： 两个全等的正方形两个全等的正方形ABCD和和ABEF所在的平面相交于所在的平面相交于AB，MAC，NFB，且，且AMFN，求证：，求证：MN平面平面BCE.思路点拨思路点拨2021/3/1041方法一：方法一：过过M作作MPBC，过过N作作NQBE，P、Q为垂足为垂足(如图如图1)，连结连结PQ.M

25、PAB，NQAB，MPNQ.又又NQ BN CMMP，四边形四边形MPQN是平行四边形是平行四边形.MNPQ.又又PQ平面平面BCE，而，而MN 平面平面BCE，MN平面平面BCE.2021/3/1042方法二：方法二：过过M作作MGBC，交，交AB于于G(如图如图2)，连结，连结NG.MGBC，BC平面平面BCE，MG 平面平面BCE，MG平面平面BCE.又又AMFN，ACBF， ，GNAFBE，同样可证明，同样可证明GN平面平面BCE.MGNGG，平面平面MNG平面平面BCE.又又MN平面平面MNG，MN平面平面BCE. 2021/3/1043如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D

26、1中，侧面对角中，侧面对角线线AB1，BC1上分别有两上分别有两点点M，N.且且B1MC1N.求证求证MN平面平面ABCD.2021/3/1044证明：方法一：证明：方法一：分别过分别过M、N作作MMAB于于M，NNBC于于N，连结连结MN.BB1平面平面ABCD，BB1AB，BB1BC.MMBB1，NNBB1.MMNN，又，又B1MC1N，MMNN.2021/3/1045故四边形故四边形MMNN是平行四边形，是平行四边形，MNMN，又又MN平面平面ABCD，MN 平面平面ABCD，MN平面平面ABCD.2021/3/1046方法二：方法二：过过M作作MGAB交交BB1于于G，连接，连接GN，

27、则，则 ，B1MC1N，B1AC1B， ，NGB1C1BC.又又MGNGG，ABBCB，平面平面MNG平面平面ABCD，又又MN平面平面MNG，MN平面平面ABCD.2021/3/1047（1 1）平行）平行（2 2）相交）相交 a 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？平面与平面有几种位置关系？分别是什么？知识点三：平面与平面平行的判定知识点三：平面与平面平行的判定2021/3/1048认识认识1 1如果两个平面平行，那么其如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线一定都和中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行另一个平面平行认识认识2 2如果一个平面内的所有直线如果一个平面内的所有

28、直线都和另一个平面平行，那么这两个都和另一个平面平行，那么这两个平面平行平面平行对面面平行的认识对面面平行的认识2021/3/1049（1 1）中的平面）中的平面，不一定平行。不一定平行。如图，借助长方如图，借助长方体模型，平面体模型，平面ABCDABCD中直线中直线ADAD平平行平面行平面BCCBCCB B，但平面但平面ABCDABCD与平与平面面BCCBCCB B不平行。不平行。探究：探究：平行吗？与则平行，与内有一条直线）、若（a12021/3/1050探究：探究：平行吗？与则平行分别与、内有两条直线）、若（,2baPQ如果平面如果平面内的两条直线是相交内的两条直线是相交的直线，两个平面

29、会不会一定的直线，两个平面会不会一定平行？平行？如果平面如果平面内的两条直线是平行直线，平面内的两条直线是平行直线，平面与平面与平面不一定平行。如图，不一定平行。如图，ADPQADPQ，ADAD平面平面BCCBCCB B，PQBCCPQBCCB B，但平面，但平面ABCDABCD与与平面平面BCCBCCB B不平行。不平行。2021/3/1051平面与平面平行的判定定理：平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条一个平面内有两条相交相交直线与另一个平面平直线与另一个平面平行行,则这两个平面平行则这两个平面平行.简述为：简述为：线线面面平行平行面面平行面面平行 a b A /即：即：a b b/

30、 a/ a b=A线不在多，重在相交2021/3/1052直线的条数不是关键直线的条数不是关键直线相交才是关键直线相交才是关键2021/3/1053abP判定定理剖析：判定定理剖析： 判定定理判定定理:一个平面内一个平面内两条两条相交相交直线直线分别分别平行于平行于另一个平面，那么这两个平面平行另一个平面，那么这两个平面平行. /321结论：平行分别和相交两条内有条件要点：直线直线符号语言符号语言：/baPbaba证题思路：证题思路：要证明两要证明两平面平行，平面平行，关键是关键是在在其中一个平面内其中一个平面内找出找出两条相交直线分别平两条相交直线分别平行于另一个平面行于另一个平面. . 2

31、021/3/1054练习：判断下列命题正确与否。练习：判断下列命题正确与否。1）如果一个平面内的一条直线平行于）如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行另一个平面，那么这两个平面平行2 2）如果一个平面内的两条直线平行于）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行另一个平面，那么这两个平面平行 3）如果一个平面内的无数条直线平行）如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行于另一个平面，那么这两个平面平行 4）如果一个平面内的任何一条直线都）如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行于另一个平面，那么这两个平面平行

32、平行 2021/3/1055（5）若平面）若平面 内的两条直线分别与平面内的两条直线分别与平面 平行，则平行，则 与与 平行；平行；（6）若平面）若平面 内有无数条直线分别与平面内有无数条直线分别与平面 平行，则平行，则 与与 平行；平行；（7）平行于同一直线的两个平面平行；）平行于同一直线的两个平面平行；（8）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平 行；行；（9）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平 行的平面行的平面2021/3/1056（10）与同一条直线所成角相等两个平面平行）与同一条直线所

33、成角相等两个平面平行.（11）垂直于同一条直线的两个平面平行）垂直于同一条直线的两个平面平行.（12）平行于同一平面的两个平面平行）平行于同一平面的两个平面平行.2021/3/1057例：如图，在正方体例：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别是棱分别是棱BC与与C1D1的中点。的中点。 求证：求证：面面EFG/平面平面BDD1B1.C1D1B1A1CDABFEG分析：由FGB1D1易得FG平面BDD1B1同理GE 平面BDD1B1FGGEG故得面EFG/平面BDD1B1证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面.2021/3/10

34、58例、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1平面C1BD.分析：在四边形ABC1D1中，ABC1D1且ABC1D1故四边形ABC1D1为平行四边形.即AD1BC1思路：只要证明一个平面内有两条相交的直线思路：只要证明一个平面内有两条相交的直线与另一个平面平行与另一个平面平行2021/3/1059D1B1A1C1CDAB 证明：证明：ABCD-A1B1C1D1是正方体是正方体,D1C1/A1B1，D1C1=A1B1, AB/A1B1，AB=A1B1,D1C1/AB，D1C1=AB,四边形四边形D1C1BA为平行四边形为平行四边形, D1A/C1B, 又又D1A 平面平面C1

35、BD， C1B 平面平面C1BD，D1A/平面平面C1BD,同理同理D1B1/平面平面C1BD,又又D1A D1B1=D1, D1A 平面平面AB1D1 , D1B1 平面平面AB1D1,平面平面AB1D1/平面平面C1BD.2021/3/1060第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平面。面。第三步：利用判定定理得出结论。第三步：利用判定定理得出结论。2021/3/1061例：例： mnmnm/ ,n/ /判断下列命题是否正确，错的举反例。（1）已知平面 ， 和直线 ， 若

36、，则反例反例mn/ /（2）一个平面 内两条不平行的直线 都平行于另一个平面；则2021/3/10623分别在两个平行平面内的两条直线分别在两个平行平面内的两条直线都平行都平行4如果一个平面内的两条直线平行于如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行另一个平面，那么这两个平面平行5如果一个平面内的任何一条直线都如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行于另一个平面，那么这两个平面平行平行2021/3/1063例例:在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，若若 M、N、E、F分别是棱分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平

37、面的中点，求证：平面AMN/平面平面EFDB。ABCA1B1C1D1DMNEF线面平行线面平行 面面平行面面平行线线平行线线平行2021/3/1064././,/,求证：；已知：dbcadcPbababadcP./,/,/,././,/,baPbababacaac同理证明：例：例： 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行. 2021/3/1065证明面面平行的方法有：证明面面平行的方法有：1面面平行的定义；面面平行的定义；2面面平行的判定定理：如果一个平面内有两

38、条相交直面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；3利用垂直于同一条直线的两个平面平行；利用垂直于同一条直线的两个平面平行；4两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；行；5利用利用“线线平行线线平行”、“线面平行线面平行”、“面面平行面面平行”的的相互转化相互转化2021/3/10661、如图：三棱锥、如图：三棱锥P-ABC, D,E,F分别是棱分别是棱PA，PB，PC中点，中点，求证：平面求证：平面DEF平面平面ABC。PDEFABC2、如图，、如图

39、，B为为ACD所在平面外一点，所在平面外一点，M，N，G分别为分别为ABC，ABD， BCD的重的重心，求证：平面心，求证：平面MNG平面平面ACD。BACDPDPEPFPAPBPCNMG2021/3/1067NMFEDCBAH例：例： 如图所示，平面如图所示，平面ABCD平面平面EFCD = CD， M、N、H 分别是分别是 DC、CF、CB 的中点，的中点， 求证求证 平面平面 MNH / 平面平面 DBF2021/3/1068例例. . 正方体正方体 ABCD - AABCD - A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中中, , 求证求证: :平面平面ABAB1 1D D1 1/

40、平面平面C C1 1BDBDAD1DCBA1B1C12021/3/1069例：已知例：已知: : 在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, , E E、F F分别是分别是CCCC1 1、AAAA1 1的中点，的中点，求证求证: : 平面平面BDE/BDE/平面平面B B1 1D D1 1F FAD1DCBA1B1C1EFG2021/3/1070 如图所示，正方体如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中中(1)求证：平面求证：平面A1BD平面平面B1D1C；(2)若若E、F分别是分别是AA1、CC1的中点，的中点，求证：平面求证：平面EB1D1平

41、面平面FBD.思维点拨：思维点拨：(1)证证BD平面平面B1D1C，A1D平面平面B1D1C；(2)证证BD平面平面EB1D1，DF平面平面EB1D1.【例例】证明：证明：(1)由由B1B綊綊DD1，得四边形，得四边形BB1D1D是平行四边形，是平行四边形，B1D1BD，又，又BD 平面平面B1D1C，B1D1平面平面B1D1C，BD平面平面B1D1C.同理同理A1D平面平面B1D1C.而而A1DBDD，平面平面A1BD平面平面B1D1C.2021/3/1071(2)由由BDB1D1，得，得BD平面平面EB1D1.取取BB1中点中点G，得，得AE綊綊B1G，从而，从而B1EAG.又又GF綊綊A

42、D，AGDF.B1EDF，DF平面平面EB1D1.又又BDDFD，平面平面EB1D1平面平面FBD.2021/3/1072 如图所示，三棱柱如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，中，D是是BC上一点，上一点，且且A1B平面平面AC1D，D1是是B1C1的中点的中点求证：平面求证：平面A1BD1平面平面AC1D.变式变式3：证明证明：如图所示，连结如图所示，连结A1 1C交交AC1 1于于E. .四边形四边形A1ACC1是平行四边形，是平行四边形， E是是A1 1C的中点，连结的中点，连结EDED. . A1 1B平面平面AC1 1D，平面平面A1 1BC平面平面AC1 1D= =ED， A1B

43、ED. . E是是A1 1C的中点的中点， D是是BC的中点的中点 D1 1是是B1 1C1 1的中点的中点， BDBD1 1C1 1D，A1D1 1AD， 又又A1 1D1 1BD1 1=D1 1， 平面平面A A1 1BDBD1 1平面平面AC1 1D. . 2021/3/1073当当AB与与CD异面时，设平面异面时，设平面ACD=DH，且，且DH=AC.，平面平面ACDH=AC，ACDH，四边形四边形ACDH是平行四边形，是平行四边形，在在AH上取一点上取一点G，使，使AG GH=CF FD，又又AE EB=CF FD，GFHD，EGBH，又又EGGF=G，平面平面EFG平面平面.EF平

44、面平面EFG，EF.综上，综上，EF.2021/3/1074(2)解解：如图所示，连接：如图所示，连接AD，取，取AD的中点的中点M，连接，连接ME，MF.E，F分别为分别为AB，CD的中点，的中点，MEBD，MFAC，且且ME= BD=3，MF= AC=2，EMF为为AC与与BD所成的角所成的角(或其补角或其补角)，EMF=60或或120，在在EFM中由余弦定理得中由余弦定理得，12122021/3/1075【方法规律方法规律】1 1直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系，直线和平面平行的性质在应用

45、时，要特别注意位置关系，直线和平面平行的性质在应用时，要特别注意“一条直线平一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线”的错误结论的错误结论2 2以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是已知角利用转化和以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是已知角利用转化和降维的思想方法求解其他几何参量降维的思想方法求解其他几何参量2021/3/1076 3线面平行和面面平行的判定和性质：线面平行和面面平行的判定和性质： 4要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题对此需强调两点：第一，要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题对此需强调两点：第一，辅助线、

46、辅助面不能随意作，要有理论根据；第二，辅助线或辅助面有辅助线、辅助面不能随意作，要有理论根据；第二，辅助线或辅助面有什么性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断，否则谬误难什么性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断，否则谬误难免免.2021/3/1077【高考真题高考真题】(2009福建卷福建卷)设设m，n是平面是平面内的两条不同直线；内的两条不同直线；l1，l2是平面是平面内的内的两条相交直线，则两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是的一个充分而不必要条件是()Am且且l1Bml1且且nl2Cm且且n Dm且且nl22021/3/1078【规范解答规范解答】解析：解析

47、：选项选项A作条件，由于这时两个平面中各有一条直线与另一个平面平行，不能作条件，由于这时两个平面中各有一条直线与另一个平面平行，不能得到得到，但，但却能得到选项却能得到选项A，故选项，故选项A是必要而不充分条件；选项是必要而不充分条件；选项B作条件，作条件，此时此时m，n一定是平面一定是平面内的两条相交直线内的两条相交直线(否则，则推出直线否则，则推出直线l1l2，与已知矛盾，与已知矛盾)，这就符合两个平面平行的判定定理的推论这就符合两个平面平行的判定定理的推论“一个平面内如果有两条相交直线分别平一个平面内如果有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行行于另一个平面内

48、的两条相交直线，则这两个平面平行”，故条件是充分的，但是，故条件是充分的，但是在在时，由于直线时，由于直线m，n在平面在平面内的位置不同，只能得到内的位置不同，只能得到m，n与平面与平面平行，得平行，得不到不到ml1，nl2的结论，故条件是不必要的，故选项的结论，故条件是不必要的，故选项B中的条件是充分而不必要的；中的条件是充分而不必要的；2021/3/1079选项选项C作条件，由于作条件，由于m，n只是平面只是平面内的两条不同直线，这两条直线可能相互内的两条不同直线，这两条直线可能相互平行，故得不到平行，故得不到的必然结论，这个条件是不充分的，但的必然结论，这个条件是不充分的，但却能得到选项

49、却能得到选项C，故选项，故选项C是必要而不充分条件；选项是必要而不充分条件；选项D作条件，由作条件，由nl2可得可得n，平面，平面内内的直线的直线m，n分别与平面分别与平面平行，由于平行，由于m，n可能平行，得不到可能平行，得不到的必然结论，的必然结论，故这个条件是不充分的，当故这个条件是不充分的，当时，只能得到时，只能得到m但得不到但得不到nl2，故条件也，故条件也不是必要的，故选项不是必要的，故选项D中的条件是既不充分也不必要的中的条件是既不充分也不必要的答案：答案：B2021/3/1080本题是教材上两个平面平行的判定定理的推论，隐含了一个必然关系本题是教材上两个平面平行的判定定理的推论

50、，隐含了一个必然关系“m，n为相交直线为相交直线”而设计出来的，目的是考查考生对两个平面平行关系及充分而设计出来的，目的是考查考生对两个平面平行关系及充分必要关系的掌握必要关系的掌握【探究与研究探究与研究】2021/3/1081解本题很容易出现把充分而不必要条件判断为必要而不充分条件的错误，问题解本题很容易出现把充分而不必要条件判断为必要而不充分条件的错误，问题的根源是作为选择题，在题目的叙述上和一般问题中的叙述正好相反在一般的根源是作为选择题，在题目的叙述上和一般问题中的叙述正好相反在一般问题的叙述中往往是给出条件问题的叙述中往往是给出条件P，Q后，设问后，设问P是是Q的什么条件，其解决方法

51、是的什么条件，其解决方法是看看PQ、QP能不能成立，确定问题的答案，但在选择题中却把能不能成立，确定问题的答案，但在选择题中却把“P是是Q的什的什么条件么条件”中的条件中的条件P放到了选项中，而把放到了选项中，而把Q放在了题干中，这就容易使考生误放在了题干中，这就容易使考生误以为以为“Q是是P的什么条件的什么条件”，导致错解题目考生在解决充要条件的问题时一，导致错解题目考生在解决充要条件的问题时一定要注意题目中所说的什么是定要注意题目中所说的什么是P，什么是，什么是Q.2021/3/1082解决这类空间线面位置关系的判断题，要善于利用常见的立体几何模型解决这类空间线面位置关系的判断题，要善于利

52、用常见的立体几何模型(如长方如长方体模型，空间四边形模型体模型，空间四边形模型)作为选择题要善于排除最不可能的选项，如选项作为选择题要善于排除最不可能的选项，如选项A、C，通过简单的回顾两个平面平行的判定定理，首先就可以排除，选项，通过简单的回顾两个平面平行的判定定理，首先就可以排除，选项D和选项和选项C基本一致，也可以排除，就剩下了选项基本一致，也可以排除，就剩下了选项B.解答选择题要学会排除法解答选择题要学会排除法.2021/3/1083 (2009 (2009山东卷山东卷)如图，在直四棱柱如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD为等腰梯为等腰梯形，形，ABCD，A

53、B4，BCCD2，AA12，E、E1、F分别为棱分别为棱AD、AA1、AB的中点，求证：直线的中点，求证：直线EE1平面平面FCC1.思维点拨：思维点拨：在平面在平面FCC1中找一条线平行于中找一条线平行于EE1或证平面或证平面ADD1A1平面平面FCC1均可均可.【例例】2021/3/1084证明：证法一：证明：证法一：取取A1B1的中点为的中点为F1，连结，连结FF1，C1F1，由于，由于FF1BB1CC1，所以所以F1平面平面FCC1，因此平面，因此平面FCC1即为平面即为平面C1CFF1.连结连结A1D，F1C，由于，由于A1F1 D1C1 CD，所以四边形，所以四边形A1DCF1为平

54、行四边形，因此为平行四边形，因此A1DF1C.又又EE1A1D，得，得EE1F1C，而，而EE1 平面平面FCC1，F1C 平面平面FCC1，故，故EE1平面平面FCC1. 证法二：证法二：因为因为F为为AB的中点，的中点，CD=2，AB=4，ABCD，所以所以CD AF，因此四边形，因此四边形AFCD为平行四边形，所以为平行四边形，所以ADFC.又又CC1DD1，FCCC1=C，FC 平面平面FCC1，CC1 平面平面FCC1，所以平面，所以平面ADD1A1平面平面FCC1，又，又EE1 平面平面ADD1A1，所以，所以EE1平面平面FCC1. 2021/3/1085 如图所示，在正方体如图

55、所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中中，O为正方形为正方形ABCD的中的中 点，点， 求证求证：B1O平面平面A1C1D.变式变式1：证明：证明：分别连结分别连结BD和和B1D1，则则OBD且且A1C1B1D1O1.BB1綊綊DD1，BB1D1D是平行四边形是平行四边形BD綊綊B1D1，OD綊綊O1B1.连结连结O1D，则四边形，则四边形B1ODO1是平行四边形，是平行四边形，B1ODO1.DO1平面平面A1C1D，B1O 平面平面A1C1D，且且B1ODO1，B1O平面平面A1C1D.2021/3/1086 已知已知ABCD是平行四边形，点是平行四边形，点P是平面是平面ABCD外一点，外

56、一点，M是是PC的中点，的中点，在在DM上取一点上取一点G，过，过G和和AP作平面交平面作平面交平面BDM于于GH，求证：，求证：APGH.思维点拨：思维点拨：先将三角形中位线的线线平行关系转化为线面平行，先将三角形中位线的线线平行关系转化为线面平行，然后由线面平行转化为所要证明的线线平行然后由线面平行转化为所要证明的线线平行【例例】证明：证明：如图所示，连结如图所示，连结AC，交，交BD于于O，连结，连结MO，由由ABCD是平行四边形得是平行四边形得O是是AC的中点又的中点又M是是PC的中点，的中点，知知APOM，AP 平面平面BMD，DM平面平面BMD，故，故PA平面平面BMD.由平面由平

57、面PAHG平面平面BMDGH，知，知PAGH.2021/3/1087 如图所示，正方体如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中中(1)求证：平面求证：平面A1BD平面平面B1D1C；(2)若若E、F分别是分别是AA1、CC1的中点，的中点，求证：平面求证：平面EB1D1平面平面FBD.思维点拨：思维点拨：(1)证证BD平面平面B1D1C，A1D平面平面B1D1C；(2)证证BD平面平面EB1D1，DF平面平面EB1D1.【例例】证明：证明：(1)由由B1B綊綊DD1，得四边形，得四边形BB1D1D是平行四边形，是平行四边形，B1D1BD，又，又BD 平面平面B1D1C，B1D1平面平面B1D

58、1C，BD平面平面B1D1C.同理同理A1D平面平面B1D1C.而而A1DBDD，平面平面A1BD平面平面B1D1C.2021/3/1088(2)由由BDB1D1，得，得BD平面平面EB1D1.取取BB1中点中点G，得，得AE綊綊B1G，从而，从而B1EAG.又又GF綊綊AD，AGDF.B1EDF，DF平面平面EB1D1.又又BDDFD，平面平面EB1D1平面平面FBD.2021/3/1089 如图所示，三棱柱如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，中，D是是BC上一点，上一点，且且A1B平面平面AC1D，D1是是B1C1的中点的中点求证：平面求证：平面A1BD1平面平面AC1D.变式变式3：证

59、明证明：如图所示，连结如图所示，连结A1 1C交交AC1 1于于E. .四边形四边形A1ACC1是平行四边形，是平行四边形， E是是A1 1C的中点，连结的中点，连结EDED. . A1 1B平面平面AC1 1D，平面平面A1 1BC平面平面AC1 1D= =ED， A1BED. . E是是A1 1C的中点的中点， D是是BC的中点的中点 D1 1是是B1 1C1 1的中点的中点， BDBD1 1C1 1D，A1D1 1AD， 又又A1 1D1 1BD1 1=D1 1， 平面平面A A1 1BDBD1 1平面平面AC1 1D. . 2021/3/1090ab,求证求证:已知已知:ab, a. b所以所以证明证明:因为因为 ,所以所以 与与 没有公共点没有公共点,ab因而交线因而交线 , 也没有公共点也没有公共点,ab又因为又因为 , 都在平面都在平面 内内,a. b知识点四、两个平面平行的性质知识点四、两个平面平行的性质: : 如果两个平行平面同时和第如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行三个平面相交，那么它们的交线平行 性质定理：性质定理：2021/3/1091合作探究：合作探究：如果两个平面平行，那么如果两个平面平行，那么（）一个平面内的直线是否平行于另一个平面（）一个平面内的直线是否平行于另一个