平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1、复习引入.cos;0)2(cos)1(2babababaaaaaaababa；或我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算的坐标来运算, ,那么怎样用那么怎样用呢？的坐标表示和baba 在直角坐标系中，已知两个非零向量在直角坐标系中，已知两个非零向量a = （x1，y1），）， b = （x2，y2），）， 如何用如何用a 与与b的坐标表示的坐标表示a b Y A（x1,y1）aB(x2，y2)b Oija = x1 i + y1 j ，b = x2 i + y2 j X _ _ _ _ ii jj jiij单位向量单位向量i 、j 分别与分别

2、与x 轴轴、y 轴方向相同，求轴方向相同，求1100 jyixjyixba22112211221221jyyjiyxjiyxixx2121yyxx两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和和.1212a bx xy y 在坐标平面在坐标平面xoy内，已知内，已知 (x1，y1)， (x2，y2)，则则ab求求 例例 1:已知已知 (1,3 )， ( 2,23 ),abba解： 1(2)3234;ab1、平面向量数量积的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示练习：练习： 则则 ),4 , 3(),1, 3(),2 , 1 (cba_)(cba( 13, 26)

3、；或aaaaaa2)1(221221221122222),(),2,),() 1 (yyxxAByxByxAyxayxayxa（则、（设）两点间的距离公式（；或则设向量的模2、向量的模和两点间的距离公式用于计算向量的模用于计算向量的模22,ax yaxy(1).设则 .,2212212211yyxxayxyxa那么点的坐标分别为的有向线段的起点和终如果表示向量即平面内两点间的距离公式即平面内两点间的距离公式求求| |,| | 例例 1:已知已知 (1,3 )， ( 2,23 ),abab 12(3 )22,a ( 2)2(23 )2 4,b(3,3)ab|ab22|3(3)122 3ab 3、

4、两向量夹角公式的坐标运算、两向量夹角公式的坐标运算bababacos1800则），（的夹角为与设0.0.cos)180(0),(),222221212222212121212211yxyxyxyxyyxxbayxbyxa，其中则，夹角为与且（设向量夹角公式的坐标式：向量夹角公式的坐标式：121222221122cosx xy yxyxy 例例 1:已知已知a(1，3 )，b( 2，23 ),求a与b的夹角.cos ,424aba b12 60(x1，y1)， (x2，y2)，则则ab0baba垂直垂直0),(),21212211yyxxbayxbyxa则（设4、两向量垂直的坐标表示0a bab

5、 例 2：已知a(5, 0)，b(3.2, 2.4), 求证：(ab)b .证明：(ab)babb2 5(3.2)02.4(3.2)22.42 0 (ab)b12120 x xy y 与与 垂直：垂直：ab(x1，y1)， (x2，y2)，则则ab练习：练习： 且且 起点坐标为起点坐标为( 1, 2) 终点坐标为终点坐标为( x, 3x), 则则 ,),4 , 3(abab_b4 115 5（，） 例例3:已知已知A（1、2），），B（2，3），），C（ 2，5），）， 求证求证ABC是直角三角形是直角三角形证明证明: :AB = （2 1，3 2）= （1，1） AC = （2 1，5 2）

6、= （3，3）AB AC = 1（3）+ 1 3 = 0ABACABC是直角三角形 注：两个向量的注：两个向量的数量积是否为零数量积是否为零是判断相应的两条直线是判断相应的两条直线是否垂直是否垂直的重要方法之一的重要方法之一。 ABCO如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.XY(0/)abab b 0a bab 12210 x yx y12120 x xy y例例4:已知已知 ,当当k取何值时取何值时,1). 与与 垂直垂直?2). 与与 平行平行? 平行时它们是同向平行时它们是同向还是反向还是反向?2 , 3,2 , 1babakb

7、a3bakba35、两向量垂直、平行的坐标表示(x1，y1)， (x2，y2)，则则ab分析分析:由已知启发我们先用坐标表示向量由已知启发我们先用坐标表示向量 然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。2 , 3,2 , 1babakba3bakba3例例4:已知已知 ,当当k取何值时取何值时,1). 与与 垂直垂直?2). 与与 平行平行? 平行时它们是同向还是反向平行时它们是同向还是反向?解解：1） 22 , 32 , 32 , 1kkkbak 4,102 , 332 , 13 ba 时当03babak这两个向量垂直这两个向量垂直 0422103k

8、k由解得解得k=192) ,3存在唯一实数平行时与当babakbabak3使得得31k31k,3,31平行与时因此babakk此时它们方向相反。此时它们方向相反。babak3 和逆向及综合运用逆向及综合运用 例例5 5 （1 1）已知）已知 = =（4 4，3 3），），向量向量 是是垂直于垂直于 的单位向量，求的单位向量，求 . .abab./)2 , 1 (,102的坐标，求，且）已知（ababa.43)5 ,(),0 , 3(3的值求，的夹角为与，且）已知（kbakba343 4(1)( ,)(, )555 5bb 答案：或(2)( 2,2 2)(2, 2 2)或(3)5k 提高练习提高

9、练习的坐标为，则点，且，、已知CABBCOBACOBOA/)5 , 0() 1 , 3(1)329, 3(C 2、已知、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形则四边形ABCD的形状是的形状是 .矩形矩形 3、已知、已知 = (1，2)， = (-3，2)，若若k +2 与与 2 - 4 平行，则平行，则k = .abaabb - 1（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.小结：(x1，y1)， (x2，y2)，则则ab1212x xy ya b 1221

10、0 x yx yab2.ab3.a b | |cosab0a b 12120 x xy y5.cos| |a bab 224.(1)|aa2|aa22xy121222221122x xy yxyxy( , )ax y其中作业：作业：1.课本课本0 8组组5（1），），9，10，11.2.( 1,23),(1,1),| |,;(2)(2,3),( 2,4),aba b ab abababab (1)已知求与 的夹角已知求（） （）.),1 , 1 (),32 , 1( (1) 1的夹角与，求已知例babababa.60,1800,21cos) 31 ( 2324231babababa，.),4

11、, 2(),3 , 2( (2) ）（）则（已知bababa72013. 7) 1(740) 1, 4(),7 , 0( 2222babababababababa）（）法二：（）（）（法一： :,4,3, 002, 001:. 1其中正确的个数为有四个式子babacbcabaaa基础训练题基础训练题A. 4个 B.3个 C. 2个 D.1个:,. 2下列结论正确的是均为单位向量已知ba1.baA22.baBbabaC平行.0.baD :04,3,2,1:,. 3212121212222221212211其中假命题序号是有下列命题设向量yyxxbayyxxbayxbyxayxbyxaD DB B 的值是则实数且若,1 , 1,1 , 0. 4ababaA-1 B.0 C.1 D.2A能力训练能力训练:, 0, 4, 1. 122的夹角是与则已知baa