集合与函数的概念复习

1、第一章第一章 章末归纳总结章末归纳总结集合集合集合集合含义与表示含义与表示基本关系基本关系基本运算基本运算交集交集并集并集补集补集包含包含相等相等列举法列举法描述法描述法知识结构集合的含义与表示 2.集合：把一些元素组成的 叫做集合（简称为集）,通常用 表示.研究对象总体小写拉丁字母a,b,c 大写拉丁字母A,B,C 3.集合中元素的特征: . 确定性、互异性、无序性 4.集合相等：只要构成两个集合的元素是 ,我们就称这两个集合是 . 一样的相等的 1.元素：一般地,我们把 统称为元素,通常用 表示.a属于集合A，记作a Aa不属于集合A，记作a / A5.元素与集合的关系：元素与集合的关系：

2、集合中元素的特性及其应用n例1：若一个集合中含有三个元素0，x+2x, x+2。求x满足的条件。（p2).a3,3aa,1)(a2,a1222的值求实数】已知【例注意元素的互异性注意元素的互异性133, 111222aaaa或），或（解：由题意0, 2, 1aaa或或解得. 133212aaaaa互异性，故，不符合元素的时，当. 0. 1aa故同理总结：集合中的元素具有确定性，互异性，无序性，在解含有参数的集合的问题时，要注意解题后的代入检验.自然数集（非负整数集）：记作自然数集（非负整数集）：记作正整数集：记作正整数集：记作 或或 整数集：记作整数集：记作有理数集：记作有理数集：记作实数集：

3、记作实数集：记作N N* *N N+ +N NZ ZQ QR R6.6.常用数集及表示符号常用数集及表示符号1 1、列举法：把集合中的元素、列举法：把集合中的元素 出来，并放在出来，并放在 内内2 2、描述法：用文字或公式等描述出元素的、描述法：用文字或公式等描述出元素的 ，并，并放在放在x| x| 内内3.3.图示法：图示法：VennVenn图图 4.4.自然语言自然语言(二二)集合的表示集合的表示一一列举一一列举共同特征共同特征n例3：若方程ax+bx+1=0的解集与集合A中的元素为1、2，求a,b的值。(p4) 二、集合间的基本关系二、集合间的基本关系都是都是集合集合B B的元素，我们称

4、的元素，我们称A A为为B B的子集的子集. .3.3.集合相等：集合相等：ABBAAB且4.4.空集：空集：2n2n-12n-22 2.真子真子 集：集：.的真子集是集合集合BA记作记作： AB,AxBxBA，且，但存在元素如果集合5.5.若集合中元素有若集合中元素有n n个，则其子集个数为个，则其子集个数为 真子集个数为真子集个数为 非空真子集个数为非空真子集个数为AB BA 记作：记作： 或或1 1. .子集：子集： 对于两个集合对于两个集合A A，B B如果集合如果集合A A中的任何一个元素中的任何一个元素规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的规定空集是任何集合的子集，是任何非空集

5、合的真子集真子集.3121112, 12132 5-2B2BA aaaaaaaaaa的取值范围综上所述，时，有当即，有当，解： .A,B,121|B,52|A4的取值范围求实数】已知【例aaxaxxx三、集合的并集、交集、全集、补集三、集合的并集、交集、全集、补集|1BxAxxBA或、 2 |ABx xAxB、且|3AxUxxACU且、全集：全集：某集某集合含有我们所合含有我们所研究的各个集研究的各个集合的全部元素，合的全部元素，用用U U表示表示AB（1）AA=（4）A = A=（2）AA=（3）A = A=（6）A (AB),B (AB)（5）(AB) (AB)（8）AB BA,AB BA

6、.（7）AB=A ；AB=A .并集、交集的性质：并集、交集的性质：AA A=ABBA补集的性质：补集的性质：A( UA)= ；A( UA) ； U( UA) ； U(AB) ； U(AB) UA( UA)( UB)( UA)( UB)3.注意空集的特殊性.a012| 32的取值范围真子集，求至多有一个，】已知集合【例RaxaxxA. 004-4, 0012,2aaaxaxxAA解得且无实数解，则的方程无真子集，这时关于则集合解：若可分两种情况：中仅有一个元素集合恰有一个真子集，这时若集合AA21, 01201xxa时，方程为）（1, 04-402aaa时，则）（0a1,a|a或范围为的取值实

7、数至多有一个真子集时，综上，当集合aA题型题型集合实际应用集合实际应用例例6：向：向50名学生调查对名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结两事件的态度，有如下结果：赞成果：赞成A的人数是的人数是30，其余的不赞成，赞成，其余的不赞成，赞成B的人数是的人数是33，其余的不赞成；另外，对，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生比对都不赞成的学生比对A、B都赞成的学生数的三分之一多都赞成的学生数的三分之一多1人人.问对问对A、B都赞成都赞成的学生和都不赞成的学生各多少人？的学生和都不赞成的学生各多少人？分析：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系的联系画出韦恩图，形象地表示出各数量关系的联系解：A

8、30B3350AABB.21 赞成 的人数为 ，赞成 的人数为 ，如上图，记名学生组成的集合为 ，赞成事件 的学生全体为集合 ；赞成事件 的学生全体为集合 设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生x人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数3x为33-x. 依题意（30-x)+(33-x)+x+( +1)=50，解得x=213 所以对A、B都赞成的同学有8人，都不赞成的有 人.方法归纳：方法归纳：解决这一类问题一般借用数形结合，借助于解决这一类问题一般借用数形结合，借助于Venn 图，把抽象的数学语言与直观的图形结合图，把抽象的数学语言与直观的图

9、形结合起来起来 设设A A, ,B B是非空的是非空的 ，如果按照某种确定的对应关，如果按照某种确定的对应关系系f f，使对于集合，使对于集合A A中的中的 ，在集合，在集合B B中都有中都有 和它对应，那么就称和它对应，那么就称 为为从集合从集合A A到集合到集合B B的一个函数的一个函数. . 记作：记作： 函数的概念：函数的概念：数集数集任意一个数任意一个数x唯一确定的数唯一确定的数f f( (x x) )BAf:Axxfy ),( 其中其中, ,x x叫做叫做 ， A A叫做函数的定义域，叫做函数的定义域，与与x x相对应的相对应的y y值叫做值叫做 , ,函数值的集合函数值的集合 叫

10、叫做函数的值域做函数的值域. .值域是集合值域是集合B B的子集的子集. .自变量自变量 x x的取值范围的取值范围函数值函数值 Axxf )(（1）函数的三要素：）函数的三要素： . 定义域、对应关系、值域定义域、对应关系、值域3.函数三种表示法函数三种表示法: 解析法；列表法；图象法。解析法；列表法；图象法。知识探究（知识探究（二二）区间区间思考思考1 1：设设a a，b b是两个实数，且是两个实数，且abab，介于这两个数之间，介于这两个数之间的实数的实数x x用不等式表示有哪几种可能情况？用不等式表示有哪几种可能情况？bxabxabxabxa,aa，+)+)，(a(a，+)+)， (-

11、(-，aa，(-(-，a).a).思考思考2 2：将实数集将实数集R R看成一个大区间，怎样用区间表示实数看成一个大区间，怎样用区间表示实数集集R R？（-，+）我们可以把满足我们可以把满足的实数的实数x的集合分别表示为的集合分别表示为axaxaxax,上述知识内容总结成下表：上述知识内容总结成下表： 这里的实数这里的实数a a与与b b都叫做相应区间的端点都叫做相应区间的端点. .a ab ba ab ba ab b数轴表示数轴表示定义定义符号符号名称名称 a, b 闭区间闭区间( a, b ) a, b )开区间开区间半开半闭半开半闭区间区间半开半闭半开半闭区间区间x|axbx|axbx|

12、axbx|axb( a, b a ab b 例例1 1 判判断断下下列列对对应应是是否否为为从从集集合合A A到到集集合合B B的的函函数数 ( (1 1) ) A A= =R R, ,B B= =( (0 0, ,+ + ) ), ,x xA A, ,对对应应法法则则f f: :x x| |x x| |(2),|1,22AR ByyRyxAx 2 2且且对对应应法法则则f f: :x xy y= =x x解解:(1):(1)不不是是函函数数. .因因为为集集合合A A中中的的元元素素0,0,在在集集合合B B中中没没有有元元素素与与之之对对应应. .( )2.是是函函数数 满满足足函函数数的

13、的概概念念 269 , (3)9,7,.xxxa b aba b 2 2例例 函函数数f f( ( ) )= =- -在在区区间间有有最最大大值值最最小小值值求求的的值值:开开口口方方向向, ,注注意意对对称称轴轴的的位位置置解解: :对对称称轴轴x x= =3 3( ) , f xa b函函数数在在上上是是增增函函数数22697699aabbab 2,0ab 例题讲解例题讲解1.1.求函数的定义域应注意：求函数的定义域应注意：（2 2）f(x)f(x)是分式，则分母不为是分式，则分母不为0 0；（1 1）f(x)f(x)是整式，则定义域是是整式，则定义域是R R；（3 3）偶次方根的被开方数

14、非负；）偶次方根的被开方数非负；0 x(4) (4) 若若f(x)= ,f(x)= ,则定义域则定义域0|xRx（5 5）表格形式给出时）表格形式给出时, ,定义域就是表格中数的集合定义域就是表格中数的集合. . 011xyxx 211yxx 定义域定义域.), 0( 12的值域求例Rxacbxaxy配方法配方法解：解：cxabxay)(2abcabxabxa4)2(22abcabxa4)2(22abacabxa44)2(2244|440122abacyyabacya值域为时，）当（44|440122abacyyabacya值域为时，）当（求值域的方法求值域的方法.13值域求例xy解：0 x由

15、题知定义域为0 x1y1|yy所以值域为观察法观察法通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域值域，求出函数的值域. .29xy练一练由知及09022xx3 , 0-92x3 , 0故所求的值域为解：.1)(4的值域求例xxxf解：分离常数法分离常数法111111)(xxxxf1x定义域为111-1x011x1,|yRyy且所以值域为|acyRybaxbcxy的形式的值域为形如例例7 求函数求函数的值域) 1(21xxxy解：解：，解出由xxxy21) 1(112yyyx得1112, 1yyx所以而012yy即12-

16、 y所以），故所求函数的值域1-2反表示法反表示法)25(3252xxxy求例解：解：配方，画简图配方，画简图4) 1(2xy125yx时，当，由图知时，当32yx-12-5-23-13 ,12312|或函数的值域为yy增函数、减函数、单调函数是对定义域上的某个区间而言的增函数、减函数、单调函数是对定义域上的某个区间而言的三、函数单调性三、函数单调性如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1f(x2) ，那么就说函数在区间上是减函数减函数。区间D叫做函数的减区间减区间。定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2当x1

17、x2时，都有f(x1) f(x2) ，那么就说函数在区间上是增函数增函数。区间D叫做函数的增区间增区间。3.最大最大(小小)值的定义值的定义:设函数设函数y=f(x)定义域为定义域为I,如果存在实数如果存在实数M满满足足:(1)对于任意的对于任意的xI,都有都有f(x) M ; (2)存在存在x0 I,使得使得f(x0)=M.则称则称M是函数是函数y=f(x)的最大的最大(小小)值值. )( 或或例例5 画出函数画出函数f(x)=3x+2的图像的图像,判断它的单调判断它的单调性性,并加以证明并加以证明.解解 作出作出f(x)f(x)= =3x3x+2+2的图像的图像. .由图看出由图看出, ,

18、函数的图函数的图在在R R上是上升的上是上升的, ,函数是函数是R R上的增函数上的增函数. .所以所以 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2),O 1 2 x21543yy=3x+2任取任取x1,x2R,设设x1x2,取值取值作差作差变形变形定号定号21xx 021xx证明证明:判断判断 下结论下结论四、函数的奇偶性四、函数的奇偶性1.奇函数:对任意的 ,都有Ix )()(xfxf)()(xfxf2.偶函数:对任意的 ,都有Ix 3.奇函数和偶函数的必要条件:注注:要判断函数的奇偶性要判断函数的奇偶性,首先要看其定首先要看其定义域是否关于原点对称义域是否关

19、于原点对称!定义域关于原点对称定义域关于原点对称.奇奇(偶偶)函数的一些特征函数的一些特征1.若函数若函数f(x)是是奇奇函数函数,且在且在x=0处有定义处有定义,则则f(0)=0.2.奇函数图像关于原点对称奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上且在对称的区间上单调性一致单调性一致。3.偶函数图像关于偶函数图像关于y轴对称轴对称,且在对称的区间上单且在对称的区间上单调性相反。调性相反。 ( ) ()2253( ),(2)331,.2)( ), 1,.pxf xfxqp qf x 例例 已已知知函函数数是是奇奇函函数数 且且求求实实数数的的值值判判断断函函数数在在上上的的单单调调性性 并并加加

20、以以证证明明解解: :( (1 1) )函函数数f f( (x x) )为为奇奇函函数数()( )fxf x 222233pxpxxqxq 0q 425(2)263pfp 222(2) ( )3xf xx 21x 1 1设设x x22121212112()()()3xxf xf xxx12121212()3x xxxx x 12120,1xxx x则则12()()f xf x ( ), 1).f x 即即函函数数在在上上是是增增函函数数0 例题讲解例题讲解 ()4( )f x 例例 若若函函数数是是定定义义在在R R上上的的偶偶函函数数, ,且且在在 - - , ,0 0 上上是是增增函函数数

21、, ,并并且且22(21)(321),.faafaaa 求求实实数数 的的取取值值范范围围(): 解解 由由条条件件知知f f( (x x) )在在 0 0, ,+ +上上是是减减函函数数22221811212()0,3213()04733aaaaaa 而而2222(21)(321)21321faafaaaaaa 由由230aa 03a 例题讲解例题讲解( )1.( )( ),f xg x下下面面四四组组中中的的函函数数与与表表示示同同一一个个函函数数的的是是2. ( ), ( )()A f xx g xx 2. ( ), ( )B f xx g xx 33. ( ), ( )C f xx g

22、 xx2. ( ) |1|, ( ) |1|D f xxg xx C2.1yax 求求函函数数在在 0 0, ,2 2 上上的的最最值值. .0,21,1;0,1,21:0,1ayaayaay 当当时时的的最最大大值值为为最最小小值值为为 当当时时的的最最大大值值为为最最小小值值为为当当时时3.3|1|.yx 求求函函数数的的单单调调增增区区间间)1,24.( ) 1,1,(1)(1)0,.f xfafaa 若若奇奇函函数数是是定定义义在在上上的的减减函函数数 且且求求 的的取取值值范范围围12a 练习练习21135.( ) , 2 ,2 ,22f xxa bab 若若函函数数在在区区间间上上的的最最小小值值为为最最大大值值为为求求区区间间 a a, ,b b . .:(1)0ab解解若若( ) , ( )2 ,( )2f xa bf ab f ba 则则在在上上单单调调递递减减22113222113222abba , 1,1,33a bab (2)0ab 若若( ) ,0f xa则则在在上上单单调调递递增增, ,在在 0 0, ,b b 是是单单调调递递减减13 , 217,4a b max(0)134ffb min39( )0,( )2032f bf xa 而而2