D114对面积曲面积分36607PPT学习教案

1、会计学1D114对面积曲面积分对面积曲面积分36607SzyxMd),(设设 为光滑曲面为光滑曲面,“乘积乘积和式极限和式极限” kkkkSf),(nk 10lim都存在都存在,的的曲面积分曲面积分Szyxfd),(其中其中 f (x, y, z) 叫做被叫做被积积据此定义据此定义, 曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为曲面面积为曲面面积为SSdf (x, y, z) 是定义在是定义在 上的一上的一 个有界个有界函数函数,记作记作或或第一类曲面积分第一类曲面积分.若对若对 做做任意分割任意分割和局部区域和局部区域任意取点任意取点, 则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲

2、面在曲面 上上对面积对面积函数函数, 叫做积分曲面叫做积分曲面.第1页/共27页则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性对积分域的可加性.,21则有则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2),(SzyxfdSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续, 对面积对面积的曲面积分与的曲面积分与对弧长对弧长的曲线积分性质类似的曲线积分性质类似. 积分的存在性积分的存在性. 若若 是分片光滑的是分片光滑的,例如分成两例如分成两片光滑曲面片光滑曲面

3、第2页/共27页Oxyz定理定理: 设有光滑曲面设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在在 上连续上连续,存在存在, 且有且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122则则曲面积分曲面积分证明证明: 由定义知由定义知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(第3页/共27页kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykk

4、xzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而而( 光滑光滑)第4页/共27页说明说明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有类似的公式可有类似的公式.1) 如果曲面方程为如果曲面方程为2) 若曲面为参数方程若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下只要求出在参数意义下dS 的表达式的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分二重积分. (见本节后面的例见本节后面的例4, 例例5) 第5页/共27页yx

5、D,dzS其中其中 是球面是球面222zyx被平面被平面)0(ahhz截出的顶部截出的顶部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2axzyhaO第6页/共27页若若 是球面是球面2222azyx被平行平面被平行平面 z =h 截截出的上下两部分出的上下两部分,) (dzS) (dzS04lnhaa则则hhxzyO第7页/共27页,dSzyx其中其中 是由平面是由平面坐标面所围成的四面体的表面坐标面所围成的四面体的表面.

6、解解: 设设上的部分上的部分, 则则4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式原式 = 分别表示分别表示 在平面在平面 zyx111O第8页/共27页xzyO 设设2222:azyx),(zyxf计计算算.d),(SzyxfI解解: 锥面锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面与上半球面交线为交线为为上半球面夹于锥面间的部分为上半球面夹于锥面间的部分,

7、它在它在 xOy 面上面上的的投影域为投影域为则则 1d)(22SyxI1yxD第9页/共27页1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxdd思考思考: 若例若例3 中被积函数改为中被积函数改为),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计算结果如何计算结果如何 ? xzyO1yxD第10页/共27页解解: 设设 的方程为的方程为yxDyxyxRz),( ,222利用对称性可知重心的坐标利用对称性可知重心的坐标,0 yx而而 z 2223RRR用球面坐标用球面坐标cosRz ddsind2RS SdSzd20032d

8、cossindR2002dsindR思考题思考题: 例例 3 是否可用球面坐标计算是否可用球面坐标计算 ?第11页/共27页),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐标系取球面坐标系, 则则,cosRz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d第12页/共27页,d)(22SyxI其中其中 是球面是球面22yx 利用对称性可利用对称性可知知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 显然球心为显然球心为, ) 1 , 1 , 1 (半径为半径为3x利用

9、重心公式利用重心公式SxdSd).(22zyxz第13页/共27页zzd,d222zyxSI其中其中 是介于平是介于平面面之间的圆柱面之间的圆柱面.222Ryx分析分析: 若将曲面分为前后若将曲面分为前后(或左右或左右)zRSd2d则则HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0Hxyz解解: 取曲面面积元素取曲面面积元素两片两片, 则计算较繁则计算较繁. O第14页/共27页yxzLO19522yx位于位于 xOy 面上方及平面面上方及平面 z = y 下方那部分柱面下方那部分柱面 的侧面积的侧面积 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取取SSdszLdtt cosd

10、cos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd第15页/共27页设有一颗地球同步轨道通讯卫星设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度距地面高度 h = 36000 km,运行的角速度与地球自转角速度相同运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径地球半径 R = 6400 km )解解: hR R建立坐标系如图建立坐标系如图, 记覆盖曲面记覆盖曲面 的的半顶角为半顶角为 , 利用球面坐标系利用球面坐标系, 则则 ddsind2RS 卫星覆盖面积为卫星覆盖面

11、积为SAd)cos1 (22RhRRcoshRhR220202dsindRyzxO第16页/共27页故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上结果可知由以上结果可知, 卫星覆盖了地球卫星覆盖了地球 31以上的面积以上的面积, 故使用三颗相隔故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面全表面. 说明说明: 此题也可用二重积分求此题也可用二重积分求 A . hR RyzxO第17页/共27页1. 定义定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni

12、 10lim2. 计算计算: 设设,),( , ),(:yxDyxyxzz则则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式简化计算的技巧简化计算的技巧. 第18页/共27页P217 题题1；3；4 (1) ; 7 解答提示解答提示:P217 题题1.SzyxzyIxd),()(22P217 题题3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(设设则则0P244 题题2第19页/共27页Oyz2x 在在

13、 xOy 面上的投影域面上的投影域为为2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313这是这是 的面积的面积 !2xyD)(2:22yxz第20页/共27页如图所示如图所示, 有有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令2zyx1O第21页/共27页),0(:2222zazyx在第一卦为1限中的部分限中的部分, 则有则有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC(

14、 2000 考研考研 )第22页/共27页作业作业 P217 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第23页/共27页)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面求此曲面壳在平面 z =1以上部分以上部分 的的的面密度的面密度质量质量 M . 解解: 在在 xOy 面上的投影为面上的投影为 ,2:22 yxDyx故故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213yxD2xzyO第24页/共27页的表0,0,0,1zyxzyx面面, 计算计算.d)1 (12SyxI解解: 在四面体的四个面上在四面体的四个面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11O0zyxdd0yxzddzxzDxz