大学物理(上）各单元典型题

1、（一）力学（一）力学 共共 13 题题（二）热学（二）热学 共共 6 题题（三）振动与波动（三）振动与波动 共共 5 题题（四）光学（四）光学 共共 8 题题一、一、 运动学运动学（1）两类问题两类问题)(ta)(tr( ) tv求导求导积分积分tdttavtv00)()(000000( )( )( )tttx txv t dtxv ta t dt dt 22( ),()( ),( , )0,rr trr ttr tdrdvd rF x y zvadtdtdt 第一类问题：第二类问题：1r1P2r2PrxyOzrkj yi xrz 212121z yx222222z yxr222zyxr的区别

2、rrr， ，（2）(1) dv/dt=a , (2) dr/dt=v , (3) dS/dt=v , (4)tdv dta例：质点作曲线运动， 表示位置矢量 ， 表示速度， 表示加速度，S 表示路程， 表示切向加速度，下列表达式中，rvata（A） 只有(1)、(4)是对的； （B）只有(2)、(4)是对的；（C） 只有(2)是对的； （D）只有(3)是对的。a、角位置)(t圆周运动方程b、角位移)()(tttc、角速度dtdtt0lim1sradd、角加速度0limtdtdt 角加速度单位2srad（3） 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 线量和角量的关系ABRdsddRs RtRtsd

3、dddvd22nRRavRtRtaddddtvxyo（4）角量与线量的关系）角量与线量的关系牛顿运动定律牛顿运动定律动量定理动量定理1221PPdtFIttPddtF冲量冲量intextkbkaWWEE功功babaWF dr动能定理动能定理动量守恒定律动量守恒定律0extF当当iiPP常矢量常矢量机械能守恒定律机械能守恒定律当当0WW外非保内pkEEE常量常量角动量守恒定律角动量守恒定律0extM当当iiLL常矢量常矢量角动量定理角动量定理MdtdL冲量矩冲量矩2121ttM dtLL二、动力学二、动力学（1）万有引力万有引力rermmGF221万有引力势能万有引力势能：rmGmEp21三、几

4、种常见的力三、几种常见的力( (3) )滑动摩擦力滑动摩擦力 f = N （2） 弹簧弹力弹簧弹力 kxF弹性势能：弹性势能：221kxEp注意零势点的选择（1）质心位矢质心位矢iiiiicmrmr四、质心与转动惯量四、质心与转动惯量（2） 转动惯量转动惯量2iirmJ课本70页表格2CJJmd平行轴定理平行轴定理 CdOmJCJ平行平行影响转动惯量的三个因素影响转动惯量的三个因素 (1)刚体自身的性质刚体自身的性质; (如质量、大小和形状如质量、大小和形状) (2)质量的分布；质量的分布； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大质量分布越靠近边缘转动惯量越大)(3)转轴的位置转轴的位置。（同一个刚

5、体对不同的轴转动惯量不同同一个刚体对不同的轴转动惯量不同）五、质点力学与刚体力学物理量和物理规律对比五、质点力学与刚体力学物理量和物理规律对比avr,. 1F.3amF .4vmp .5C. iiivmF07tpFdd. 6BABA8.dWFr2219mvEk .m. 222BA1110.22WmvmvC pkEE11. 仅保守内力做功仅保守内力做功C pkEE机械能守恒机械能守恒 ,角位置，角速度，角加速度角位置，角速度，角加速度J转动惯量转动惯量M力矩力矩转动定律转动定律 JM JL 角动量角动量角动量定理角动量定理tLMdd C JM0角动量守恒角动量守恒力矩的功力矩的功BAABdWM2

6、21 JEk 转动动能转动动能22BA1122WJJ转动动能定理转动动能定理六、质点与刚体连接问题解题步骤六、质点与刚体连接问题解题步骤（1）分析质点、刚体受力。分析质点、刚体受力。（4）联立方程求解联立方程求解。（2 2）分别列方程分别列方程质点质点：刚体刚体： maFJM（3) 找找 与与 的关系的关系。ra a七、有心力问题：对力心的角动量守恒七、有心力问题：对力心的角动量守恒vo子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能不守恒机械能不守恒角动量守恒角动量守恒动量不守恒动量不守恒以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒动量守恒角动量守恒角动量守恒机械能不守恒机械能

7、不守恒子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计八、碰撞问题八、碰撞问题tmktFtdd000vv202tmktmFv由由txddvtxddv有有ttmktmFxtxd )2(d020032062tmktmFx 1. 质量为质量为 m 的物体，在的物体，在 F = F0-kt 的外力作用下沿的外力作用下沿 x 轴轴运动，已知运动，已知 t = 0 时，时，x0= 0,v0= 0, 求：物体在任意时刻的求：物体在任意时刻的加速度加速度 a，速度，速度 v 和位移和位移 x 。解解tmktFdd0 vmFa t ddvmktF02.一根不可伸长的轻绳跨过固定在一根不可伸长的轻绳跨过固定在O点

8、的水平光滑细杆，点的水平光滑细杆，两端各系一个小球。两端各系一个小球。a球放在地面上，球放在地面上，b球被拉到水平位球被拉到水平位置，且绳刚好伸直。从这时开始将置，且绳刚好伸直。从这时开始将b球自静止释放。设球自静止释放。设两球质量相同。两球质量相同。求：求：(1) b球下摆到与竖直线成球下摆到与竖直线成 角时的角时的 ； (2) a 球刚好离开地面。球刚好离开地面。 ? v(1)分析分析b运动运动a球离开地面前球离开地面前b做半径为做半径为 的竖直圆周运动。的竖直圆周运动。bl解解：aObbl分析分析b受力受力,选自然坐标系选自然坐标系当当b 球下摆到与竖直线成球下摆到与竖直线成 角时角时

9、200)(sin)(sindlgdsgvdvbsv(3) cos2 glvb 由由(2) 式得式得dsdvvdtdsdsdvdtdvg sinaObblTgm (2) sin(1) cos2dtdvmmgFlvmmgTFtbn (2) 分析分析a运动运动当当 T = mg 时，时，a 球刚好离地球刚好离地bbbnlglmlvmmgmgF cos2cos22 ）式式由由（31cos1 aObblTgm TgmamgNTcos2 cosggg3. 一质量一质量 m = 0.14kg 的垒球沿水平方向以的垒球沿水平方向以 v1= 50m/s 的速率投来，经棒打击后，沿仰角的速率投来，经棒打击后，沿仰

10、角 = 45 的方向向的方向向回飞出，速率变为回飞出，速率变为 v2= 80m/s。求棒给球的冲量的大小。求棒给球的冲量的大小与方向。若球与棒接触的时间为与方向。若球与棒接触的时间为 t = 0.02s，求棒对球，求棒对球的平均冲力大小。它是垒球本身重量的几倍？的平均冲力大小。它是垒球本身重量的几倍？12vmvmI cos2212221vvvvm sN9 .16 cossinarctan180212mvmvmv 2152 解：如图，设垒球飞来方向为解：如图，设垒球飞来方向为 x 轴轴方向。棒对球的冲量大小为方向。棒对球的冲量大小为方向：与方向：与x轴夹角轴夹角I2vm1vm xN84502.

11、09 .16 tIF倍倍6168 . 914. 0845 mgF棒对球的平均冲力棒对球的平均冲力此力为垒球本身重量的此力为垒球本身重量的4. 一人造地球卫星绕地球作椭圆运动，一人造地球卫星绕地球作椭圆运动， A 、B 分别分别为近地点和远地点，为近地点和远地点， A 、B 距地心的距离分别为距地心的距离分别为 r1 、 r2 。 设卫星的质量为设卫星的质量为 m ，地球的质量为，地球的质量为M ，万有，万有引力常量为引力常量为 G ，则卫星在，则卫星在A 、B 两点两点 处的万有引力处的万有引力势能的差为多少？卫星在势能的差为多少？卫星在A 、B 两点两点 处的动能差为处的动能差为多少？多少？

12、解解: 由万有引力势能公式得由万有引力势能公式得 ABr1r2地心地心)(12rMmGrMmGEEpApB 2112rrrrGMm 由机械能守恒由机械能守恒)(pApBkAkBEEEE 2112rrrrGMm FfN解解:以以 m, 弹簧弹簧, 地球为研究对象地球为研究对象，弹性势能零点弹性势能零点, 重力势能零点均重力势能零点均选在选在B处处。2cBc1()02FWEEmghks2221sincckamga cmgAB根据功能原理根据功能原理:5.弹簧弹簧(倔强系数为倔强系数为k )一端固定在一端固定在A点点,另一端连一质另一端连一质量为量为m的物体的物体,靠在靠在光滑光滑的的圆圆柱体表面柱

13、体表面(半径半径a ),弹簧原弹簧原长长AB，在外力作用下在外力作用下极缓慢极缓慢地沿表面从地沿表面从B到到C。求求：外力做的功外力做的功 （用功能原理）（用功能原理）6.求均匀薄圆盘对于中心垂直轴的转动惯量。求均匀薄圆盘对于中心垂直轴的转动惯量。RmC（1） 选微元选微元d mrdrRmrdrdsdm 222 (2)求求 d J又有：又有：dJ = r2 dm(3) 求求 J22022212mRrdrRmrdmrJRm 221mRJ rdr0解：可视圆盘由许多小圆环组成解：可视圆盘由许多小圆环组成。解解：22222:amTgmm )2121(2222111122RRRR2211RaRa7.如

14、图，两圆轮的半径分别为如图，两圆轮的半径分别为R1和和R2，质量分别为，质量分别为M1和和M2，皆可视为均匀圆柱体且同轴固结在一起，二盘，皆可视为均匀圆柱体且同轴固结在一起，二盘边缘绕有细绳，绳子下端挂两个质量分别为边缘绕有细绳，绳子下端挂两个质量分别为m1和和m2的的物体，物体，求求在重力作用下，在重力作用下，m2下落时轮下落时轮的角加速度的角加速度。 1m2m1T2T对整个轮，由转动定律对整个轮，由转动定律由运动学关系由运动学关系联立解得联立解得22222111112222RmMRmMgRmRm11111:amgmTm 8. 如图，唱机的转盘绕着通过盘心的固定竖直轴转动，如图，唱机的转盘绕

15、着通过盘心的固定竖直轴转动，唱片放上去后将受到转盘摩擦力作用而随转盘转动。唱片放上去后将受到转盘摩擦力作用而随转盘转动。设唱片可看成是设唱片可看成是半径为半径为 R 的均匀圆盘的均匀圆盘，质量为，质量为 m ，唱，唱片与转盘之间的滑动摩擦系数为片与转盘之间的滑动摩擦系数为 k。转盘原来以角速。转盘原来以角速度度 匀速转动，唱片刚放上去时它受到的摩擦力矩是匀速转动，唱片刚放上去时它受到的摩擦力矩是多大？唱片达到角速度多大？唱片达到角速度 需要多长时间？在这段时间需要多长时间？在这段时间内转盘保持角速度内转盘保持角速度 不变，驱动力矩共做了多少功？不变，驱动力矩共做了多少功？唱片获得了多大动能？唱

16、片获得了多大动能？ rdr ddfR drrddS drrdRmdm)(222RdrdrmgdmgrrdfdMkk 解：唱片上一面元面积为解：唱片上一面元面积为质量为质量为此面元受转盘摩擦力矩此面元受转盘摩擦力矩mgRdrrdRmgdMMkRk3202202 gRRMtk43m2122221mRtMMA 2222241212121mRmRJEk 各质元所受力矩方向相同，整个唱片所受摩擦力矩各质元所受力矩方向相同，整个唱片所受摩擦力矩唱片在此力矩作用下做匀加速转动，唱片在此力矩作用下做匀加速转动，角速度从角速度从 0 增增加到加到 需要时间需要时间驱动力矩做功驱动力矩做功唱片获得动能唱片获得动能

17、 rdr ddfR 0vmo.OM A.LL439. 如图，均匀杆长如图，均匀杆长 L=0.40m，质量，质量M=1.0kg，由其上，由其上端的光滑水平轴吊起而静止。今有一质量端的光滑水平轴吊起而静止。今有一质量 m=8.0g 的的子弹以子弹以 v=200m/s 的速率水平射入杆中而不复出。射的速率水平射入杆中而不复出。射入点在轴下入点在轴下 d=3L/4处。处。(1)求子弹停在杆中时杆的角求子弹停在杆中时杆的角速度；速度；(2)求杆的最大偏转角。求杆的最大偏转角。LmMLLmv 22433143 mLMLmv1693143rad/s.898 解解：(1)由子弹和杆系统对悬点由子弹和杆系统对悬

18、点O的角动量守恒的角动量守恒 cosLmgLMgmLML 14321693121222 gmMLmMarccos2316931121894 (2)对杆、子弹和地球，由机械能守恒得对杆、子弹和地球，由机械能守恒得由此得由此得10. 一质量为一质量为M ，长度为，长度为 l 的均匀细杆，放在光滑的的均匀细杆，放在光滑的水平桌面上，可绕通过其中点水平桌面上，可绕通过其中点 O 的光滑固定竖直轴转的光滑固定竖直轴转动，开始时静止。一质量为动，开始时静止。一质量为 m 的（的（m 0 (孤立系孤立系统统，自然过程，自然过程)一、熵一、熵 系统内分子热运动的无序性的量度系统内分子热运动的无序性的量度玻玻耳

19、兹曼熵公式耳兹曼熵公式 S = k ln 克劳修斯熵定义克劳修斯熵定义2112TdQSS（可逆过程）三、两种表述三、两种表述开尔文表述开尔文表述和和克劳修斯表述克劳修斯表述1. 2g氢气与氢气与2g氦气分别装在两个容积相同的封闭容氦气分别装在两个容积相同的封闭容器内，温度也相同。器内，温度也相同。(氢气视为刚性双原子分子氢气视为刚性双原子分子)。求求：(1)氢分子与氦分子的平均平动动能之比；氢分子与氦分子的平均平动动能之比；(2)氢氢气与氦气压强之比；气与氦气压强之比；(3)氢气与氦气内能之比。氢气与氦气内能之比。 解：解： (1)kTt23 1/HeH2 tt (2)tnp 32 2mol/

20、g4g2:mol/g2g2/HeH2 2/HeH2 pp(3)vRTiE2 2:/HeHHeH22 VVnn HeHeHHHeH222/ iiEE 310235 2. N 个假想的气体分子，其速率分布如图所示，（个假想的气体分子，其速率分布如图所示，（1）根据根据 N 和和 v0 求求 a 的值；（的值；（2）求速率在）求速率在 2v0 到到 3v0 间隔内间隔内的分子数；（的分子数；（3）求分子的平均速率。）求分子的平均速率。解解:（1）aa/32a/3v02v03v04v05v0N f(v)v（2）（3）aN09/3vNa03 vNa0 vN /3 iiiNN/ vv0192v03292v

21、05392v07292v09192v052 v(3)求粒子的平均速率求粒子的平均速率。2. N个个粒子粒子,其速率分布其速率分布函数为函数为(1)作速率分布曲线并求常数作速率分布曲线并求常数a； (2)分别求速率大于分别求速率大于v0 和小于和小于 v0的的粒子粒子数数； )()()( vv20vfv2vvavfvv0vvavf00000v02v0 a0vf(v)(1) 速率分布曲线如右图所示速率分布曲线如右图所示：解解：0v32a 1 dvvf0由归一化条件由归一化条件： 1dvvfdvvfdvvf0000v2v2vv0 1vv2a2vva00200 10dvadvvva000v2vv00

22、100100avav21S00 另法另法： 由图可有面积由图可有面积 S0v32a (2) 大于大于 v0 的的粒子数粒子数： dvvfNN002vv1 002vvadvN0002233NavNvNvv02v0a0vf(v)(3) 平均速率平均速率： dvvfvv0 0dvvfvdvvfvv000v2vv0 小于小于 v0 的的粒子数粒子数: :N31N32N 0002vvv00dvavdvvavv0v911 3.如图，总体积为如图，总体积为40L的绝热容器，中间用一隔热板隔的绝热容器，中间用一隔热板隔开，隔板重量忽略，可以无摩擦的自由升降。开，隔板重量忽略，可以无摩擦的自由升降。A、B两两部

23、 分 各 装 有部 分 各 装 有 1 m o l 的 氮 气 ， 它 们 最 初 的 压 强 是的 氮 气 ， 它 们 最 初 的 压 强 是1.013*105Pa，隔板停在中间，现在使微小电流通过，隔板停在中间，现在使微小电流通过B中中的电阻而缓缓加热，直到的电阻而缓缓加热，直到A部分气体体积缩小到一半为部分气体体积缩小到一半为止，求在这一过程中：止，求在这一过程中：(1)B中气体的过程方程，以其体中气体的过程方程，以其体积和温度的关系表示；积和温度的关系表示；(2)两部分气体各自的最后温度；两部分气体各自的最后温度；(3)B中气体吸收的热量？中气体吸收的热量？iAB（1）解：解：A AA

24、ApVp V51.42111.013 100.024.2 10 C C活塞上升过程中活塞上升过程中，ABpp ,0.04 A AB BB BV V = =V V- -V VV VB 中气体的过程方程为中气体的过程方程为：BBpV2(0.04)4.2 10 BBBRTpV BBBTVV(0.04)51 AAAAAAAAVp VVTTKVRV1111112122()()322（2）BBBVTKV22251965(0.04) B2B1VB2B1BBViR TTp dV2 BBBQEA （3）2(0.04)B2B12VB1B1B2BVBip V4.210R TdVRV 41.6610 J 解解：4.如

25、图所示循环过程，如图所示循环过程，c a 是绝热过程，是绝热过程，pa、Va、Vc 已知，已知， 比热容比为比热容比为 ，求循环效率。求循环效率。a b 等压过程等压过程bc 等容过程等容过程VpVaVcpaabcO)(,acampVVpRC 0吸热吸热)(,bbccmVVpVpRC 0放热放热aaccVpVp )VpVV(pRCca1caamV,1211QQQA )()(1,1,acampcacamVVVpRCVVVpRC cacampmVVVVVCC 111, )1(11cacaVVVV )(,1abmpTTCQ )(,2bcmVTTCQ 5. 1mol双原子分子理想气体作如图的可逆循环过

26、程，其双原子分子理想气体作如图的可逆循环过程，其中中12为直线，为直线，23为绝热线，为绝热线，31为等温线。已为等温线。已知知 ， 。试求：。试求：(1)各过程的功，内能增量各过程的功，内能增量和传递的热量和传递的热量(用用T1和已知常数表示和已知常数表示)；(2)此循环的效此循环的效率率 。122TT 138VV 解解：(1) 12任意过程任意过程)(121TTCEV 11125)2(RTTTCV )(2111221VpVpA 112212121RTRTRT 11111132125RTRTRTAEQ pp2p1OV1V2V3V12323绝热膨胀过程绝热膨胀过程)(232TTCEV 1212

27、5)(RTTTCV 12225RTEA 02 Q31等温压缩过程等温压缩过程03 E)/ln(1313VVRTA 111108. 2)/8ln(RTVVRT 13308. 2RTAQ (2)13/1QQ %7 .30)3/(08. 2111 RTRTpp2p1OV1V2V3V1236. 1 kg 0 oC 的冰与恒温热库（的冰与恒温热库（t = 20 oC ）接触，）接触， 求求冰全部溶化成水的熵变？冰全部溶化成水的熵变？(熔解热熔解热=334J/g) 解：冰等温融化成水的熵变：解：冰等温融化成水的熵变： TdQS溶化思路：思路： 为不等温热传导过程，不可逆，不能计算恒温热库的熵变为不等温热传

28、导过程，不可逆，不能计算恒温热库的熵变 来作为冰溶化的熵变。来作为冰溶化的熵变。 设想冰与设想冰与 0 C 恒温热源接触，此为可逆吸热过程。恒温热源接触，此为可逆吸热过程。t = 20 oC 的恒温热库发生的熵变的恒温热库发生的熵变：KJtmTQTdQS/1014. 115.2933341015.27333 热热库库另求：此不等温热传导过程的总熵变另求：此不等温热传导过程的总熵变KJSSS/80 热热库库溶溶化化总总J/KtmTQ331022. 115.2733341015.273 1 1 基本概念：基本概念： 简谐振动、振幅、频率、相位、简谐振动方程、简谐振动、振幅、频率、相位、简谐振动方程

29、、旋转矢量、振动能量、同方向同频率谐振动的合成旋转矢量、振动能量、同方向同频率谐振动的合成二二 主要内容主要内容1、简谐振动及其特征简谐振动及其特征kxfxa2)cos(tAx0222xdtxd弹性回复力弹性回复力简谐运动的特征：简谐运动的特征：加速度加速度 与位移的大小与位移的大小x成正比，成正比，方向相反方向相反a2、描述谐振动的物理量描述谐振动的物理量 （1 1）振幅振幅maxxAtx图图AA xT2Tto（2 2）周期、频率周期、频率kmT2弹簧振子周期弹簧振子周期2T 周期周期21T 频率频率T22 角频率角频率周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本身本身的物理性质有关的物理

30、性质有关 相位的意义相位的意义: 表征任意时刻（表征任意时刻（t）物体振动状态）物体振动状态. 物体经一周期的振动，相位改变物体经一周期的振动，相位改变 .2t（3）相位相位相相 位位tt)(初相位初相位（4）相位差相位差讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间状态间变化所需的时间0t ( ) t时，)()(12tt12ttt)cos(11tAx)cos(22tAx3TTt6123Ax2Atobaat2AvAxAoAbt 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它的

31、简谐运动，相位差表示它们间们间步调步调上的上的差异差异（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）. .12)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt0 xto同步同步xto为其它为其它超前超前落后落后txo反相反相（5）常数常数A和和 的确定的确定22020vxA)(tan001xvcos0Ax sin0Av3、旋转矢量、旋转矢量oAtt t)cos(tAxx000vv xxt初始条件初始条件2mTk2lTg2JTmgh4、谐振动的能量谐振动的能量)(sin21222tAmEk)(cos2122tkAEp221kAE 2221Ammk25、同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐

32、振动的合成)cos(111tAx)cos(222tAx合振动为合振动为)cos(tAx 线性回复力线性回复力是是保守力保守力，作，作简简谐谐运动的系统运动的系统机机械能守恒械能守恒. .)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA 两个两个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成后仍为后仍为同同频率的频率的简谐简谐运动运动, 2, 1, 0,212kk21212221max2AAAAAAA, 2, 1, 0,) 12(12kk21212221min2AAAAAAA合振动加强合振动加强合振动减弱合振动减弱（3）一般情况，两分振动既不同相也不

33、反相，则合振动振幅在一般情况，两分振动既不同相也不反相，则合振动振幅在A1+A2和和|A1 -A2|之间取值之间取值。振动和波动的关系振动和波动的关系： 机械波、电磁波、物质波机械波、电磁波、物质波振动振动波动的成因波动的成因波动波动振动的传播振动的传播 波动的种类波动的种类：1 概念概念： 机械波、横波、纵波、振幅、频率、波长、波速、波函机械波、横波、纵波、振幅、频率、波长、波速、波函数、波的能量、衍射、干涉数、波的能量、衍射、干涉二二 主要内容主要内容1、机械波的产生条件机械波的产生条件能传播机械振动的媒质（空气、水、钢铁等）能传播机械振动的媒质（空气、水、钢铁等）（2）介质介质作机械振动

34、的物体（声带、乐器等）作机械振动的物体（声带、乐器等） （1）波源波源 波是运动状态的传播，介质的波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播质点并不随波传播.注意注意3、波长、波长 波的周期和频率波的周期和频率 波速波速波长：波长：2、横波与纵波横波与纵波（1） 横波横波特点：特点： 波传播方向上各点的振动方向与波传播方向垂直波传播方向上各点的振动方向与波传播方向垂直（2） 纵波纵波（又称疏密波）（又称疏密波） 特点特点：质点的振动方向与波传播方向一致：质点的振动方向与波传播方向一致uOyA A xT1TuTuu周期周期 T 波传过一波长所需的时间波传过一波长所需的时间，或一完整波通过或一完整

35、波通过波线上某点所需的时间波线上某点所需的时间.uT 频率频率 单位时间内波向前传播的完整波的数目单位时间内波向前传播的完整波的数目. （1s 内向前传播了几个波长）内向前传播了几个波长）决定于介质的性质（弹性模量和密度）决定于介质的性质（弹性模量和密度）波在介质中传播的速度波在介质中传播的速度 波速波速 u四个物理量的联系四个物理量的联系4、波函数及其物理意义波函数及其物理意义（1）平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数0cos()xyAtu0cos 2 ()xyAt 0cos 2 ()txyAT（2）波函数的物理含义波函数的物理含义（波具有时间的周期性波具有时间的周期性）)()(Ttxytx

36、y,tAycos 则则x2令令xtAy2cosOyt 1） 一定一定， 变化变化 xt表示表示 点处质点的振动方程（点处质点的振动方程（ 的关系的关系）ty xCt 令令（定值定值） xAy2cos则则 y o xxtAy2cos 2） 一定一定 变化变化xt 该函数表示该函数表示 时刻波传播方向上各质点的位移时刻波传播方向上各质点的位移, 即即 时刻的波形（时刻的波形（ 的关系）的关系）ttxy 表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻的波形，体现了波的传播的波形，体现了波的传播. .yxuO3） 、 都变都变xt从形式上看：从形式上看：波动是波形的传播波

37、动是波形的传播.从实质上看：从实质上看：波动是振动的传播波动是振动的传播. 对波函数的各种形式，应着重从物理意义对波函数的各种形式，应着重从物理意义上去理解和把握上去理解和把握. 5、平面简谐波的能量平面简谐波的能量动能动能2)(21tydmdWk)(sin21222uxtdVA势能势能)(sin21222uxtdVAdWP总能量总能量)(sin222uxtdVAdWdWdWPk 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.体积元的位移最大时，三者均为零体积元的位移最大时，三者均为零. ( (1) )在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、

38、在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随总机械能均随 作周期性变化，且变化是作周期性变化，且变化是同相位同相位的的.tx, ( (2) ) 任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量传播能量. 任一体积元的机械能不守恒任一体积元的机械能不守恒. 波动是能量传递的波动是能量传递的一种方式一种方式 .能量密度：能量密度：单位体积介质中的波动能量单位体积介质中的波动能量)(sindd222uxtAVWw 平均平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值能量密度：能量密度在一个周期内的平均值22021d1AtwTwT 能流：能流：单位

39、时间内垂直通过某一面积的能量单位时间内垂直通过某一面积的能量. .平均能流平均能流：SuwP udtSuuwSPI 能流密度能流密度 ( 波的强度波的强度 )I: I: uAI2221 通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流. SuwP udtSu6、波的干涉波的干涉（1) 波的迭加原理波的迭加原理 波传播的独立性：波传播的独立性：两列波在某区域相遇后再分两列波在某区域相遇后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰. 波的叠加性：波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动为二在相遇区，任一质点的振动为二波单独在该点引起的振

40、动的合成波单独在该点引起的振动的合成. 频率相同、振动方频率相同、振动方向平行、相位相同或相向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，方振动始终减弱的现象，称为称为波的干涉现象波的干涉现象.相干条件相干条件：(2) 波的干涉波的干涉(3) 干涉加强和减弱的条件干涉加强和减弱的条件12122rr , 2, 1, 02kk12AAA12122rr , 1, 0) 12(kk12AAA若若 ，则上述条件变为则上述条件变为01212AAA212rr 2212rr 212AAAk2,

41、2, 1, 0kk或或) 12(k, 2, 1, 02) 12(kk或或称为波程差称为波程差（波走过的路程之差）（波走过的路程之差）21rr 1. 水平弹簧振子，弹簧倔强系数水平弹簧振子，弹簧倔强系数 k = 24N/m，重物质量，重物质量m = 6kg，重物静止在平衡位置。设以一水平恒力，重物静止在平衡位置。设以一水平恒力 F = 10N 向左作用于物体向左作用于物体 (不计摩擦不计摩擦), 使之由平衡位置向左使之由平衡位置向左运动了运动了 0.05m，此时撤去力，此时撤去力 F。当重物运动到左方最远。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。位置时开始计时，求物体的运动方程。解

42、：设物体的运动方程为解：设物体的运动方程为 x = Acos(t + ) 恒外力所做的功等于弹簧获恒外力所做的功等于弹簧获得的机械能，当物体运动到得的机械能，当物体运动到最左端时，这些能量全部转化为弹簧的弹性势能最左端时，这些能量全部转化为弹簧的弹性势能22211122 10 0.05,0.204m22224FsFsksmvkAAkmkFxA s O角频率角频率242rad/s6km物体运动到物体运动到 A 位置时计时，初相为位置时计时，初相为 = 所以物体的运动方程为所以物体的运动方程为 x = 0.204cos(2 t + ) (m) AxO2. 两个谐振子作同频率同振幅的简谐振动。第一个

43、振两个谐振子作同频率同振幅的简谐振动。第一个振子的振动表达式为子的振动表达式为 x1= Acos( t + )，当第一个振子从，当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。向位移的端点。(1) 求第二个振子的振动表达式和二者的相差；求第二个振子的振动表达式和二者的相差；(2) 若若 t =0 时，时，x1= A/2，并向，并向 x 负方向运动，画出二负方向运动，画出二者的者的 x-t 曲线及旋转矢量图。曲线及旋转矢量图。解：解：(1) 由已知条件画出矢量图，可见由已知条件画出矢量图，可见第二个振子比第一个振子相位落后第

44、二个振子比第一个振子相位落后 /2，故故 = 2 1 = /2，第二个振子的振动函数为第二个振子的振动函数为 x2= Acos( t + + ) = Acos( t + /2) A1A2xOA1A2xO32(2) 由由 t = 0 时，时，x1= A/2 且且 v 0，可知，可知 = 2 /3，所以，所以 x1= Acos( t + 2 /3)， x2= Acos( t + /6) x1x2txA-AO233. 一质点同时参与两个同方向同频率的谐振动，其振动一质点同时参与两个同方向同频率的谐振动，其振动规律为规律为 x1= 0.4cos(3t + /3)，x2= 0.3cos(3t - /6)

45、 (SI)。求：求：(1) 合振动的振动函数；合振动的振动函数；(2) 另有一同方向同频率的谐振动另有一同方向同频率的谐振动 x3 = 0.5cos(3t + 3) (SI) 当当 3 等于多少时，等于多少时，x1, x2, x3 的合振幅最大？最小？的合振幅最大？最小？解：解：(1) 解析法解析法221212212cos()AAAAA220.40.32 0.4 0.3cos()63 0.5 (m)111221122sinsintg ()coscosAAAA10.4sin0.3sin()36tg 0.4cos0.3cos()360.120.5cos(30.12 ) (m)xt振动函数另法：另法

46、：矢量图法矢量图法12AA22120.5mAAA213tg4AA0.210.210.1230.5cos(30.12 ) (m)xt(2) 当当 3 = = 0.12 时，时， max31.0mAAA2Ax/6/3O1AA当当 3 = - = -0.88 时，时， min30AAA4. 已知已知 t = 2s 时一列简谐波的波形如图，求波函数及时一列简谐波的波形如图，求波函数及 O 点的振动函数点的振动函数。x(m)0.5y(m)Ou = 0.5m/s123解：波函数标准方程解：波函数标准方程xTtAy2cos已知已知 A = 0.5m， = 2m，T = / u = 2 / 0.5 = 4s由

47、25 . 0422cos5 . 0)5 . 0, 2(5 . 0 xty得得223即2所以波函数为所以波函数为)m(22cos5 . 0 xtyO 点的振动函数为点的振动函数为)m(22cos5 . 0Oty为什么不取为什么不取 y(t=2, x=0) 求？求？5.平面简谐波沿平面简谐波沿 x 轴正向传播，振幅为轴正向传播，振幅为 A，频率为，频率为 v，传播速度为传播速度为 u。(1) t = 0 时，在原点时，在原点 O 处的质元由平衡处的质元由平衡位置向位置向 x 轴正向运动，写出波函数；轴正向运动，写出波函数；(2) 若经反射面反若经反射面反射的波的振幅和入射波振幅相等，写出反射波波函

48、数射的波的振幅和入射波振幅相等，写出反射波波函数.解：解：(1) O 处质元的振动函数处质元的振动函数cos 2/2yAvtOx反射面波疏波疏 波密波密u3 /42cos 22cos 222xvyAvtAvtxu所以入射波的波函数为所以入射波的波函数为Ox反射面反射面波疏波疏 波密波密u3 /42323cos 2424vvyAvtxuu2cos 22vAvtxu(2) 有半波损失，即相位突变有半波损失，即相位突变 ，所以反射波波函数为所以反射波波函数为2cos 22vyAvtxu光程差与相位差之间关系光程差与相位差之间关系: 2 k ,.2 , 1 , 0 k干涉加强干涉加强(明纹明纹)2)1

49、2( k,.2 , 10， k干涉减弱干涉减弱(暗纹暗纹)(10)定义定义:光在媒质中通过的路程光在媒质中通过的路程(r)与媒质折射率与媒质折射率(n)的的 乘积乘积(nr)称称为为光程光程(optical path) n2r2n1r1称称为光程差为光程差(optical path difference) 光程与光程差光程与光程差半波损失半波损失n3n1n2n1n2n3n1n3n1n2n3 dDkx k0, 1, 2, .明纹中心明纹中心2)12( dDkx k1, 2, 3, .暗纹中心暗纹中心P r1r2oxxD d1s2sI光程差光程差： r2-r1 d x/D(1) 杨氏双缝干涉杨氏双

50、缝干涉k=1,2,3,.明纹中心明纹中心2)12(2 knek=0,1,2,.暗纹中心暗纹中心 kne 2 = /2 or 0 ,由周围的介质折射率决定。由周围的介质折射率决定。 ne2 eek+1ekNML （3）等厚干涉等厚干涉劈尖劈尖(空气劈空气劈) sin2L sin2nL (介质劈介质劈)(4)牛顿环牛顿环e =r2/2R 代入明代入明( (暗暗) )纹式中化简得纹式中化简得:2)12( Rkrk=1,2,3,.明纹中心明纹中心 kRr k=0,1,2,.暗纹中心暗纹中心Rreo(49)eReeReRRr222222)(1)中心接触点中心接触点: e=0, = /2 是暗纹是暗纹;

51、2)明暗纹位置明暗纹位置( (环半径环半径) )牛顿环是同心圆环牛顿环是同心圆环, ,条纹从条纹从里向外逐渐变密里向外逐渐变密, ,中心干涉级次最低。中心干涉级次最低。光 的 干 涉 现 象光 的 干 涉 现 象相干条件相干条件:1)振动频率相同振动频率相同2)振动方向相同振动方向相同3)相位差恒定相位差恒定相位差与光程差关系相位差与光程差关系: =2 / =2k , 明纹明纹 =(2k+1) , 暗纹暗纹获得相干获得相干光的方法光的方法分波振面法分波振面法分波振幅法分波振幅法杨氏干涉杨氏干涉劳埃德镜劳埃德镜明明:暗暗: dDDdxx ，dDkkx22 dDkkx2) 12( 薄膜等厚干涉薄膜

52、等厚干涉, i相同相同e不同不同(垂直入射垂直入射, i=0) =2ne+ 薄膜的等倾干涉薄膜的等倾干涉,e 相同相同, i不同不同 inne22122sin2迈克尔逊干涉仪迈克尔逊干涉仪)(212MMNd， 劈尖劈尖(i=0): ne2 sin2nL牛顿环牛顿环(i=0):明明:暗暗:nRkkr2) 12( nkRkr o22 af 23 af 24 af 24 af 23 af 22 af 中央零级明纹中央零级明纹x单缝衍射的条纹分布单缝衍射的条纹分布 sina a xfox)(tansin 5 faxaasin22akk=1,2,.暗暗sin(21)2akk=1,2,.明明x(21),2

53、fka2,2fkak=1,2,明明k=1,2,暗暗2.光栅衍射光栅衍射 sin)(ba 22sin kd k=0,1,2,.主极大主极大光栅方程光栅方程(grating equation)(27)相邻二单缝衍射光的光程差相邻二单缝衍射光的光程差:P点的光强分布主要由点的光强分布主要由相邻二单缝产生的衍射相邻二单缝产生的衍射光的光程差决定。光的光程差决定。oP f缝平面缝平面观察屏观察屏透镜透镜L d sin d xx光的衍射现象光的衍射现象夫琅和费衍射夫琅和费衍射单缝夫琅和费衍射单缝夫琅和费衍射(半波带法分析半波带法分析)中央明纹中央明纹: =0k级暗纹中心级暗纹中心:asin =2k / 2

54、k级明纹中心级明纹中心:asin =(2k+1) / 2圆孔夫琅和费衍射圆孔夫琅和费衍射(爱里斑爱里斑):d 1.22sin1Airy 光学仪器最小分辨角光学仪器最小分辨角:分辨本领分辨本领:d 1.22Airymin dR22. 111min 光栅衍射光栅衍射光栅方程光栅方程(垂直垂直):(a+b)sin =k 缺级缺级:光栅分辨本领光栅分辨本领: R= / =kNabam光栅光谱光栅光谱(垂直入射垂直入射)完整清晰光谱完整清晰光谱:完整光谱完整光谱:最高级次光谱最高级次光谱:紫紫红红1sinsinkk 红红 kd2sin紫紫 kd2sin惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理光的偏振光的偏振

55、20cosII 布儒斯特定律布儒斯特定律马吕斯定律马吕斯定律n2n10i0r当入射角当入射角i = i0 时时120tannni 使之满足使之满足:1)反射光为线偏振光反射光为线偏振光, 只有垂直振动只有垂直振动; i0为起偏角为起偏角(布儒斯特角布儒斯特角)2)折射光为部分偏振光折射光为部分偏振光,全部的全部的 平行振动和部分的垂直振动平行振动和部分的垂直振动;3)反射光线与折射光线互相垂直反射光线与折射光线互相垂直。9000ri1. 在图示的双缝干涉实验中在图示的双缝干涉实验中, D=120cm, d=0.5mm, 用波长为用波长为 =5000的单色光垂直照射双缝。的单色光垂直照射双缝。(

56、1)求原点求原点o(零级明条纹所在处零级明条纹所在处)上方上方的第五级明条纹的坐标的第五级明条纹的坐标x 。(2)如果用厚度如果用厚度h=110-2 mm,折射率折射率n=1.58的透明薄膜覆盖的透明薄膜覆盖s1缝后面缝后面,求求上述第五级明条纹的坐标上述第五级明条纹的坐标x 。s1s2doxD解解: (1)原点原点o上方的第五级明条纹上方的第五级明条纹的坐标的坐标:7120055000 100.56mmDxkd (2)覆盖覆盖s1时时,条纹向上移动条纹向上移动 由于光程差的改变量为由于光程差的改变量为(n-1)h ,而移动一个条纹的光而移动一个条纹的光程差的改变量为程差的改变量为 ,所以明条

57、纹移动的条数为所以明条纹移动的条数为s1s2doxD 6 .11105000)158. 1(101)1(72条条 nhk mm92.19)5( dDkx 2. 两平板玻璃之间形成一个两平板玻璃之间形成一个 =10-4rad的空气劈尖的空气劈尖, 若用若用 =600nm 的单色光垂直照射。的单色光垂直照射。求求: 1)第第15条明纹距劈尖棱边的距离条明纹距劈尖棱边的距离; 2)若劈尖充以液体若劈尖充以液体(n=1.28 )后后, 第第15条明纹移条明纹移 动了多少动了多少?解解: 1)明纹明纹kekL设第设第k条明纹对应的空气厚度为条明纹对应的空气厚度为ek kek 22由由9151060041

58、152 em1035. 46 m1035. 4sin2151515 eeL2)第第15条明纹向棱边方向移动条明纹向棱边方向移动(为什么为什么?)设第设第15条明纹距棱边的距离为条明纹距棱边的距离为 L15 , 所对应的液所对应的液体厚度为体厚度为e15 22221515 enenee1515m105 . 9315151515 eeLLL 因空气中第因空气中第15条明纹对应的光程差等于液体中条明纹对应的光程差等于液体中第第15条明纹对应的光程差条明纹对应的光程差, 有有明纹明纹kekL 明纹明纹ke kL 解解: (1) 第第k条明环半径为条明环半径为, 2 , 1,2)12(kRkr 5 . 8,krrm令令有有8 8条明环条明环4105101122760 ne最中间为平移前的第最中间为平移前的第5 5条条Rro1n3. 如图为观察牛顿环的装置如图为观察牛顿环的装置,平凸透镜的半径为平凸透镜的半径为R=1m的球面的球面; 用波长用波长 =500nm的单色光垂直照射。的单色光垂直照射。求求(1)在牛顿环半径在牛顿环半径