等差数列专题(教师版)

1、等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1等差数列的定义2等差数列的通项公式和前n项和公式3等差中项A是x和y的等差中项A.4. 两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元4等差数列的常用性质（1）当时,则有，特别地，当时，则有.注：。（2）若、为等差数列，则都为等差数列。（3） 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an+m,an+2m,为等差数列，公差为m

2、d。（4）是公差为d的等差数列，是前n项和，那么数列,成公差为k2d的等差数列。（5）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和1）当项数为偶数时，2）当项数为奇数2n-1，则 （6）等差数列前n项和为Sn,Tn ，则5、与之间的关系 6等差数列的前n项和公式和最值问题（1）等差数列前n项和公式与二次函数的关系（2）的最值求法L大例题与练习考点1:等差数列的基本计算题型1：已知等差数列的某些项，求某项【例1】已知为等差数列，则 24 练习：1在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(B)A765 B665 C763 D6632若5，x，y，z,21成等差数列

3、，则xyz的值为(C)A26 B29 C39 D523设Sn为等差数列an的前n项和，若S33，S624，则a9_15_.4已知等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值第 7 页 共 7 页解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.题型3：求等差数列的前n项和【例3】已知为等差数列的前项和，.（1）； 求；求. 解：

4、由，得，当时，；当时，. （1）； ； （3）时， 当时， 练习：1数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0 (nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn|a1|a2|an|，求Sn.解(1)an22an1an0.an2an1an1ana2a1.an是等差数列且a18，a42，d2， ana1(n1)d102n.(2)an102n，令an0，得n5.当n5时，an0；当n5时，an0；当n0.当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)S5(SnS5)2S5Sn 2(9525)9nn2n29n40，当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2an9nn2.S

5、n 2一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为234，则它的第七项等于（ ）A22B21C19D18.考点2：等差中项的应用例1、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数解设这四个数为a3d，ad，ad，a3d，则由题设得解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 考点3：等差数列的前n项和最值例1设等差数列an满足a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值解(1)由ana1(n1)d及a35，a109得可解得所以数列an的通项公式为an112n.(2)由(1

6、)知，Snna1d10nn2.因为Sn(n5)225，所以当n5时，Sn取得最大值练习：1已知数列an的前n项和公式为Sn2n230n.(1)求数列an的通项公式an；(2)求Sn的最小值及对应的n值解(1)Sn2n230n，当n1时，a1S128.当n2时，anSnSn14n32.an4n32，nN.(2)an4n32，a1a2a70.当n7或8时，Sn最小，且最小值为S7S8112.例2设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，且S120，S130.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由解(1)根据题意，得整理得：解得：d3.(2)da2a3a12a13，而S13

7、13a70，a70，a60.数列an的前6项和S6最大例3、在等差数列an中，a100，且|a10|0，d0成立的最大自然数n为(A)A11 B12 C13 D142等差数列an中，|a3|a9|，公差d0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是_5或6_3、设an是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是(C)AdS5DS6与S7均为Sn的最大值4若数列an是等差数列，首项a10，a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是_4006_ 考点4 :等差数列的性质例1（中项定理和下标和定理）已知等差数列an的公差为d(d0)，

8、且a3a6a10a1332，若am8，则m为(B)A12 B8C6 D4例2（m项和成等差）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于(A)A. B. C. D.例3、设等差数列an的前n项和为Sn，且=-2,则m= 4 例4、（奇偶项）有一等差数列共有偶数项，它的奇数项之和与偶数项之和分别是24和30，若最后一项与第一项之差为，试求此数列的首项、公差和项数 解首项为，公差为，项数为8.练习：1一个等差数列的项数为2n，若a1a3a2n190，a2a4a2n72，且a1a2n33，则该数列的公差是(B)A3 B3 C2 D1 2在项数为奇数的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则该数列有_21_项 3设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636.则a7a8a9等于(B)A63 B45 C36 D27 考点5：证明数列是等差数列 例1设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列例2已知数列a