3.2.2含参数的一元二次不等式的解法(例题精讲)[共5页]

1、含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式, 通常情况下, 均需分类讨论, 那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数 a 的符号分类,即 a 0, a 0, a 0 ;例 1 解不等式： ax2 a 2 x 1 02 a a2分析： 本题二次项系数含有参数, a 2 4 4 0 ,故只需对二次项系数进行分类讨论。2 2解： a 2 4a a 4 02a 2 a 42 a x解得方程 ax 2 1 0 两根 x ,1 a2x2a 22a2a4当 a 0时,解集为x| x2a 2 a 4 a 2或 x2a 2a2a4当 a 0时,不等式为 2x 1

2、0,解集为x | x122 2a 2 a 4 a 2 a 4 x当 a 0时, 解集为x |2a 2a例 2 解不等式ax2 ax a a5 6 00分析 因为 a 0, 0,所以我们只要讨论二次项系数的正负。2 x a x x解 ( 5 6) 2 3 0a x当 a 0 时,解集为 x| x 2或x 3 ；当 a 0时,解集为 x | 2 x 3二、按判别式 的符号分类,即 0, 0, 0 ；2 ax例 3 解不等式 x 4 0分析 本题中由于2x 的系数大于 0,故只需考虑 与根的情况。2解： 16a 当 a 4,4 即 0时,解集为 R；当 a 4即 0 时,1解集为 ax x R且x

3、； 2当 a 4 或 a 4 即 0 , 此 时 两 根 分 别 为2a a 16x ,122a a 16x ,显然 x1 x2 ,22不等式的解集为2 a a2a a 16xx 或x2 2162 2例 4 解不等式 m 1 x 4x 1 0 m R2解 因 m 1 0,2 4 2 1 4 3 2( 4) m m ,所以当 m 3 ,即 0时,解集为 1x | x ； 2当 3 m 3 ,即 0时,解集为2 22 3 m 2 3 mx x 或x ；2 2m 1 m 1当 m 3或m 3 ,即 0时,解集为 R。三、按方程 ax 2 bx c 0 的根x1 ,x 的大小来分类, 即 x1 x2

4、,x1 x2, x1 x2 ；212 x a例 5 解不等式 ) 1 0 ( 0)x (a a1分析： 此不等式可以分解为： x a ( x ) 0 ,故对应的方程必有两解。本题只a需讨论两根的大小即可。1解： 原不等式可化为： ) 0 x a (x ,令aa1a,可得： a 1,当 a 1或 0 a 1时,a1a,故原不等式的解集为x1| a x ；当 a 1或a 1时,aa1a,可得其解集为 ；当 1 a 0或 a 1时,a1a1,解集为 x | x a 。a2例 6 解不等式 x2 5ax 6a2 0 ,a 02 a a2 2分析 此不等式 5a 24 0 ,又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ,故只需比较两根 2a与3a 的大小 .解 原不等式可化为： x 2a (x 3a) 0 ,对应方程 x 2a (x 3a) 0 的两根为x1 2a, x2 3a ,当a 0