C　三角函数（理科）

1、C三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数9B9、C12012湖北卷 函数f(x)xcosx2在区间0,4上的零点个数为()A4 B5C6 D79. C解析 令f(x)0，得x0或cosx20，由x，得x2.因为cos0，故方程cosx20中x2的解只能取x2，.所以零点个数为6.故选C.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式7C22012辽宁卷 已知sincos，(0，)，则tan()A1 BC. D17A解析 本小题主要考查同角三角函数基本关系的应用解题的突破口为灵活应用同角三角函数基本关系sincos2212sincos2sincostan1.故答案选A.17C2、C5、C62012福

2、建卷 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213cos217sin13cos17；(2)sin215cos215sin15cos15；(3)sin218cos212sin18cos12；(4)sin2(18)cos248sin(18)cos48；(5)sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论17解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin15cos151sin301.(2)三角恒等式为sin2

3、cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)cos2(cos60cos2sin60sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.18C5、C2、C32012重

4、庆卷 设f(x)4cossinxcos(2x)，其中0.(1)求函数yf(x)的值域；(2)若f(x)在区间上为增函数，求的最大值18解：(1)f(x)4sinxcos2x2sinxcosx2sin2xcos2xsin2xsin2x1.因1sin2x1，所以函数yf(x)的值域为1，1(2)因ysinx在每个闭区间(kZ)上为增函数，故f(x)sin2x1(0)在每个闭区间(kZ)上为增函数依题意知对某个kZ成立，此时必有k0，于是解得，故的最大值为.C3 三角函数的图象与性质16C3、C52012广东卷 已知函数f(x)2cos(其中0，xR)的最小正周期为10.(1)求的值；(2)设，f，

5、f，求cos()的值16解：(1)由10得.(2)f2cos2cos2sin，f2cos2cos，sin，cos.，cos，sin.cos()coscossinsin.15C3、K32012湖南卷 函数f(x)sin(x)的导函数yf(x)的部分图象如图15所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点(1)若，点P的坐标为，则_；(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为_图1515(1)3(2) 解析 考查三角函数f(x)sin(x)的图象与解析式，结合导数和几何概型，在陈题上有了不少的创新作为填空题，第二问可在第一问的特殊情

6、况下求解(1)函数f(x)sin(x)求导得，f(x)cos(x)，把和点代入得cos解得3.(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数f(x)3cos，求得A，B，C，故ABC的面积为SABC3，曲线段与x轴所围成的区域的面积Ssinsin2，所以该点在ABC内的概率为P.15C3、C4、C52012北京卷 已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间15解：(1)由sinx0得xk(kZ)，故f(x)的定义域为xR|xk，kZ因为f(x)2cosx(sinxcosx)sin2xcos2x1sin1，所以f(x)的最小正周期T.(2)函数ysinx的

7、单调递增区间为(kZ)由2k2x2k，xk(kZ)，得kxk，xk(kZ)所以f(x)的单调递增区间为和(kZ)17F3、C32012山东卷 已知向量m(sinx,1)，n(A0)，函数f(x)mn的最大值为6.(1)求A；(2)将函数yf(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的值域17解：(1)f(x)mnAsinxcosxcos2xAAsin.因为A0，由题意知，A6.(2)由(1)f(x)6sin.将函数yf(x)的图象向左平移个单位后得到y6sin6sin的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，

8、纵坐标不变，得到y6sin的图象因此，g(x)6sin.因为x，所以4x.故g(x)在上的值域为3,616C3、C42012陕西卷 函数f(x)Asin1(A0，0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设，f2，求的值16解：(1)函数f(x)的最大值为3，A13，即A2，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，最小正周期T，2，故函数f(x)的解析式为y2sin2x1.(2)f2sin12，即sin，0，0，0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设，f2，求的值16解：(1)函数f(x)的最大值为

9、3，A13，即A2，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，最小正周期T，2，故函数f(x)的解析式为y2sin2x1.(2)f2sin12，即sin，0，故.16C4、C5、C6、C72012安徽卷 设函数f(x)cos2xsin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意xR，有gg(x)，且当x时，g(x)f(x)求g(x)在区间，0上的解析式16解：(1)f(x)cossin2xsin2x.故f(x)的最小正周期为.(2)当x时，g(x)f(x)sin2x，故当x时，x.由于对任意xR，gg(x)，从而g(x)gsinsin(2x)sin2x.当x时，x，从而g(x)g

10、(x)sin2(x)sin2x.综合得g(x)在，0上的解析式为g(x)15C3、C4、C52012北京卷 已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间15解：(1)由sinx0得xk(kZ)，故f(x)的定义域为xR|xk，kZ因为f(x)2cosx(sinxcosx)sin2xcos2x1sin1，所以f(x)的最小正周期T.(2)函数ysinx的单调递增区间为(kZ)由2k2x2k，xk(kZ)，得kxk，xk(kZ)所以f(x)的单调递增区间为和(kZ)14C42012全国卷 当函数ysinxcosx(0x0，函数f(x)sin在单调递减，则的

11、取值范围是()A. B.C. D(0,29A解析 因为当1时，函数ysinsin在上是单调递减的，故排除B，C项；当2时，函数ysinsin在上不是单调递减的， 故排除D项故选A.4C42012浙江卷 把函数ycos2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()图114A解析 本题主要考查三角函数的图象与性质，以及三角函数图象的平移问题考查函数图象变换方法和技巧把函数ycos2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数ycos21cosx1的图象；然后向左平移1个单位长度得到函数ycos(x

12、1)1的图象；再向下平移1个单位长度得到函数ycos(x1)11cos(x1)的图象；结合各选项中的图象可知其图象为选项A中的图象，故应选A.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切5C5、C72012重庆卷 设tan，tan是方程x23x20的两根，则tan()的值为()A3 B1 C1 D35A解析 因为tan，tan是方程x23x20的两根，所以tantan3，tantan2，所以tan()3.17C8、C52012课标全国卷 已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosCasinCbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.17解：(1)由acosCasinC

13、bc0及正弦定理得sinAcosCsinAsinCsinBsinC0.因为BAC，所以sinAsinCcosAsinCsinC0.由于sinC0，所以sin.又0A0，xR)的最小正周期为10.(1)求的值；(2)设，f，f，求cos()的值16解：(1)由10得.(2)f2cos2cos2sin，f2cos2cos，sin，cos.，cos，sin.cos()coscossinsin.8F2、C52012安徽卷 在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是()A(7，) B(7，)C(4，2) D(4，2)8A解析 本题考查三角函数的

14、和角公式，点的坐标设POx，因为P，所以(10cos，10sin)cos，sin，则(7，)故答案为A.16C4、C5、C6、C72012安徽卷 设函数f(x)cos2xsin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意xR，有gg(x)，且当x时，g(x)f(x)求g(x)在区间，0上的解析式16解：(1)f(x)cossin2xsin2x.故f(x)的最小正周期为.(2)当x时，g(x)f(x)sin2x，故当x时，x.由于对任意xR，gg(x)，从而g(x)gsinsin(2x)sin2x.当x时，x，从而g(x)g(x)sin2(x)sin2x.综合得g(x)在，0上

15、的解析式为g(x)15C3、C4、C52012北京卷 已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间15解：(1)由sinx0得xk(kZ)，故f(x)的定义域为xR|xk，kZ因为f(x)2cosx(sinxcosx)sin2xcos2x1sin1，所以f(x)的最小正周期T.(2)函数ysinx的单调递增区间为(kZ)由2k2x2k，xk(kZ)，得kxk，xk(kZ)所以f(x)的单调递增区间为和(kZ)17C2、C5、C62012福建卷 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213cos217sin13cos

16、17；(2)sin215cos215sin15cos15；(3)sin218cos212sin18cos12；(4)sin2(18)cos248sin(18)cos48；(5)sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论17解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin15cos151sin301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30co

17、ssin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)cos2(cos60cos2sin60sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.C6 二倍角公式11C62012江苏卷 设为锐角，若cos，则sin的值为_11.解析 本题考查三角函数求值问题解题突破口为寻找已知角和所求角之间

18、的整体关系由条件得sin，从而sin，cos21，从而sinsin.7C62012全国卷 已知为第二象限角，sincos，则cos2()A B C. D.7A解析 本小题主要考查三角函数中和角公式与二倍角公式的运用，解题的突破口为原式两边平方后转化为二倍角结构及任何情况下均要考虑“符号看象限”由sincos及为第二象限角有2k2k(kZ)，4k24k(kZ)原式两边平方得2sincossin2，cos2，故选A.16C4、C5、C6、C72012安徽卷 设函数f(x)cos2xsin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意xR，有gg(x)，且当x时，g(x)f(x)求g

19、(x)在区间，0上的解析式16解：(1)f(x)cossin2xsin2x.故f(x)的最小正周期为.(2)当x时，g(x)f(x)sin2x，故当x时，x.由于对任意xR，gg(x)，从而g(x)gsinsin(2x)sin2x.当x时，x，从而g(x)g(x)sin2(x)sin2x.综合得g(x)在，0上的解析式为g(x)17C2、C5、C62012福建卷 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213cos217sin13cos17；(2)sin215cos215sin15cos15；(3)sin218cos212sin18cos12；(4)sin2

20、(18)cos248sin(18)cos48；(5)sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论17解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin15cos151sin301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2si

21、n2cos2.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)cos2(cos60cos2sin60sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.17C4、C6、C7、F32012湖北卷 已知向量a(cosxsinx，sinx)，b(cosxsinx,2cosx)设函数f(x)ab(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间

22、上的取值范围17解：(1)因为f(x)sin2xcos2x2sinxcosxcos2xsin2x2sin.由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1，所以2k(kZ)，即(kZ)又，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin，即.故f(x)2sin，由0x，有x，所以sin1，得12sinx2.故函数f(x)在上的取值范围为1，27C62012山东卷 若，sin2，则sin()A. B. C. D.7D解析 本题考查三角函数的二倍角公式，考查运算求解能力，中档题法一：，sin2，cos212sin2，解之得sin.法二：联立

23、解之得sin.C7 三角函数的求值、化简与证明6C72012湖南卷 函数f(x)sinxcos的值域为()A2,2 B，C1,1 D.6B解析 考查三角函数化简求值，关键是三角函数的化简，三角公式的识记函数f(x)sinxcossinxcosxsin，所以函数f(x)sinxcos的值域为，故选B.16C4、C5、C6、C72012安徽卷 设函数f(x)cos2xsin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意xR，有gg(x)，且当x时，g(x)f(x)求g(x)在区间，0上的解析式16解：(1)f(x)cossin2xsin2x.故f(x)的最小正周期为.(2)当x时，

24、g(x)f(x)sin2x，故当x时，x.由于对任意xR，gg(x)，从而g(x)gsinsin(2x)sin2x.当x时，x，从而g(x)g(x)sin2(x)sin2x.综合得g(x)在，0上的解析式为g(x)17C4、C6、C7、F32012湖北卷 已知向量a(cosxsinx，sinx)，b(cosxsinx,2cosx)设函数f(x)ab(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围17解：(1)因为f(x)sin2xcos2x2sinxcosxcos2xsin2x2sin.由直线x是

25、yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1，所以2k(kZ)，即(kZ)又，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin，即.故f(x)2sin，由0x，有x，所以sin1，得12sinx2.故函数f(x)在上的取值范围为1，24C72012江西卷 若tan4，则sin2()A. B. C. D.4D解析 考查同角三角函数的关系、二倍角公式，以及“1”的代换及弦切互化等方法解题的突破口是通过“1”的代换，将整式转化为齐次分式，再通过同除以cos达到化切目的tan4，sin22sincos，故选D.5C5、C72012重庆卷 设tan，t

26、an是方程x23x20的两根，则tan()的值为()A3 B1 C1 D35A解析 因为tan，tan是方程x23x20的两根，所以tantan3，tantan2，所以tan()3.C8解三角形13C82012重庆卷 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且cosA，cosB，b3，则c_.13.解析 因为cosA，cosB，所以sinA，sinB，因为sinCsin180(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB，由正弦定理知，即，解得c.4C82012四川卷 如图11所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连结EC、ED，则sinCED()图11A.

27、B. C. D.4B解析 法一：由已知，CEDBEDBEC45BEC，而结合图形可知tanBEC，tanCEDtan(45BEC)，sinCED.法二：由已知，利用勾股定理可得DE，CE，又CD1，利用余弦定理得：cosCED，sinCED.法三：同法二，得DE，CE，又CD1，有SCEDCDAD，又SCEDCEEDsinCEDsinCED，对比得sinCED.16C82012上海卷 在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定16C解析 考查正弦定理和判断三角形的形状，考查考生的转化思想，关键是利用正弦定理，把角转化边，

28、再利用边之间的关系，判断三角形的形状由正弦定理可把不等式转化为a2b2c2，cosC0，所以三角形为钝角三角形故选C.17C82012江西卷 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A，bsincsina.(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积17解：(1)证明：由bsincsina，应用正弦定理，得sinBsinsinCsinsinA，sinBsinC.整理得sinBcosCcosBsinC1，即sin(BC)1，由于0B，C，从而BC.(2)由(1)知BC，又BCA，因此B，C.由a，A，得b2sin，c2sin，所以ABC的面积SbcsinAsinsincossin.图

29、1417C82012辽宁卷 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值17解：(1)由已知2BAC，ABC180，解得B60，所以cosB.(2)(解法一)由已知b2ac，及cosB，根据正弦定理得sin2BsinAsinC，所以sinAsinC1cos2B.(解法二)由已知b2ac，及cosB，根据余弦定理得cosB，解得ac，所以ACB60，故sinAsinC.17C82012全国卷 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos(AC)cosB1，a2c，求C.17解：由B(A

30、C)，得cosBcos(AC)于是cos(AC)cosBcos(AC)cos(AC)2sinAsinC，由已知得sinAsinC.由a2c及正弦定理得，sinA2sinC，由、得sin2C，于是sinC(舍去)或sinC.又a2c，所以C.11C82012北京卷 在ABC中，若a2，bc7，cosB，则b_.114解析 本题考查余弦定理和解三角形等基础知识，考查对数据的运算能力cosB，可得cosB，1,8c7b40，结合bc7，可得答案为4.11C82012湖北卷 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(abc)(abc)ab，则角C_.11.解析 由已知条件(abc)(abc

31、)ab，化简得a2b2c2ab，所以cosC.又C是三角形的内角，则C，所以C.15C8、F32012浙江卷 在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_.1516解析 本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积法一：()()255cos18053cosBMA35cosAMC3216，故应填16.法二：特例法：假设ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，如图，AM3，BC10，ABAC，cosBAC，|cosBAC16.点评 对平面向量进行正确的线性分解是解决本题的关键，同时注意向量的夹角之间的关系与应用18C8、C92012浙江卷 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b

32、，c.已知cosA，sinBcosC.(1)求tanC的值；(2)若a，求ABC的面积18解：(1)因为0A，cosA，得sinA.又cosCsinBsin(AC)sinAcosCcosAsinCcosCsinC，所以tanC.(2)由tanC，得sinC，cosC，于是sinBcosC.由a及正弦定理，得c.设ABC的面积为S，则SacsinB.7C8、F32012湖南卷 在ABC中，AB2，AC3，1，则BC()A. B. C2 D.7A解析 考查向量的数量积运算和解三角形，主要是余弦定理的运用，是此题的关键由1可得2cos(180B)1，即2|BC|cosB1，又由三角形的余弦定理可得3

33、222222cosB，把2cosB1代入，解得9242，即，故选A.9C8、C92012陕西卷 在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2b22c2，则cosC的最小值为()A. B. C. D9C解析 本小题主要考查余弦定理和不等式的知识，解题的突破口为利用余弦定理写出cosC的表达式，然后用基本不等式去计算即可cosC.故选C.17C8、C52012课标全国卷 已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosCasinCbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.17解：(1)由acosCasinCbc0及正弦定理得sinAcosCsinAsin

34、CsinBsinC0.因为BAC，所以sinAsinCcosAsinCsinC0.由于sinC0，所以sin.又0Ac2，则C2c，则C；若a3b3c3，则C；若(ab)c；若(a2b2)c2.15解析 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等对于，由c2a2b22abcosC2，则cosC，因为0C，所以C，故正确；对于，由4c24a24b28abcosC3即8cosC236，则cosC，因为0C，所以C，故正确；对于，a3b3c3可变为331，可得01,01，所以13322，所以c2a2b2，故C，故正确；对于，c，可得c，所以abc2，因为a2b22ababc2，

35、所以C，错误；对于，c22a2b2可变为，所以c2，所以C，故错误故答案为.13C82012福建卷 已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_13解析 根据题意设三角形的三边分别是：a、a、a，最大角所对的边是a，根据大边对大角定理结合余弦定理得：cos，所以最大角的余弦值是.6C82012天津卷 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cosC()A. BC D.6A解析 本题考查三角函数的倍角公式及正弦、余弦定理，考查运算求解能力，中档题由正弦定理得8sinB5sinC，C2B，cosB，cosCcos2B2cos2B1221.C9 单元综合15C92012天津卷 已知函数f(x)sinsin2 cos2x1，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值15解：(1)f(x)sin2xcoscos2x