一元二次方程总复习[共13页]

1、第一部分：基础温习一、考点讲解 ：1一元二次方程：只含有一个未知数,未知数的九年级数学 (上)最高次数是 2,且系数不为0,这样的方程叫一第二章：一元二次方程元二次方 程一般形式： ax 2bx+c=0(a 0）。2bx+c=0(a 0）。一、中考要求 ： 注意： 判断某方程是否为一元二次方程时,应1经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程,首先将方程化为一般形式。进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的2一元二次方程的解法：一个有效数学模型2直接开平方法：对形如 (x+m）=n（ n 0）的方2能够利用一元二次方程解决有关实际问题,能程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程根据具体问题的实际意

2、义检验结果的合理性, 的方法。进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和2 配方法：用配方法解一元二次方程： ax能力bx+c=0(k 0）的一般步骤是： 化为一般形式；3了解一元二次方程及其相关概念,会用配方法、移项,将常数项移到方程的右边；化二次公式法、分解因式法解简单的一元二次方程 （数项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；字系数人并在解一元二次方程的过程中体会转配方,即方程两边都加上一次项系数的一半化等数学思想的平方； 化原方程为(x+m）2=n 的形式； 如果4经历在具体情境中预计一元二次方程解的过程, n 0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如发展估算意识和能力 果 n 0,则原

3、方程无解二、中考卷研究 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程( 一 ) 中考对知识点的考查：的解的方法它是通过配方推导出来的一元2009、2010 年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:二次方程的求根公式是xb2b2a4ac2(b 4ac 0)。步骤：把方程转化为一般形式； 序号 所考知识点 比率1 一元二次方程的解法 4%确定 a,b,c 的值；求出 b 24ac 的值,当24ac 的值,当2 一元二次方程的应用 47%24ac 0时代入求根公式。b( 二 ) 中考热点：因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方 程的根的方法叫做因式分解法理论根据：若本章多考查一元二次方程的解法及应用,

4、另外ab=0,则a=0 或 b=0。步骤是： 将方程右边化 本章还多考查方程思想和转化思想以及学生收集为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘 和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析问题积；令每个因式等于 0,得到两个一元一次方 和解决问题的能力以及创新实践能力根据已知方 程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原程编写实际问题的应用题也是中考热点一元二次方程的解 三、中考命题趋势及温习对策 因式分解的方法： 提公因式、公式法、十字相本章中方程是刻画现实世界的一个有效的数乘法。 学模型,题型有填空、选择、解答中考对数学思3一元二次方程的 注意事项： 想方法的考查一方程的应用将进一步提高,对方程

5、在一元二次方程的一般形式中要注意,强调 a 的应用将会加大力度,一大批具有较强的时代气 0因当 a=0时,不含有二次项,即不是一 息、格调清新、设计自然,紧密联系日常实际生活的应用题将会不断涌现元二次方程如关于 x 的方程（ m2 4）针对中考命题趋势,在温习时应掌握解方程的x 2+2mx+1=0 中,当 m=2时就是一元一次方2+2mx+1=0 中,当 m=2时就是一元一次方程了 方法,还应在方程的实际应用上多下功夫,加大力 应用求根公式解一元二次方程时应注意：先度,多观察日常生活中的实际问题化方程为一般形式再确定 a,b,c 的值；若 (I) 考点突破 24a0,则方程无解b 利用因式分解

6、法解方程时,方程两边绝不能随 考点 1：一元二次方程的解法便约去含有未知数的代数式 如 2(x4)2= 3（ x用根与系数的关系来解4）中,不能随便约去 x4。 三、针对性训练： ( 分钟) (参考参考答案： ) 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法 （除1、下列方程中,关于 x 的一元二次方程是（ ）特别要求外）但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是：开平方法因式分解法21 1A.3( x 1) 2( x 1) B. 2 02x y公式法2 2 2C.ax bx c 0 D.x 2x x 14一元二次方程解的情况 b 2 4ac 0 方程有两个不相等的实数根；2 4ac 0 方程有两

7、个不相等的实数根；2、若22x 3与2x 4互为相反数,则x的值为( ) b2 4ac=0 方程有两个相等的实数根； b2 4ac 0 方程没有实数根。A12B、2 C、 2 D、12解题小诀窍： 当题目中含有 “两不等实数根”“两3、用配方法解下列方程时,配方有错误的是（ ）相等实数根”“没有实数根”时,往往首先考虑2- 2 x- 99=0 化为(x-1)2=100A.x用 b2 4ac解题。主要用于求方程中未知系数的B.x 2+8 x+9=0 化为(x+4)2=252+8 x+9=0 化为(x+4)2=25值或取值范围。5 根与系数的关系 :韦达定理C.2t2-7t-4=0 化 为(t74

8、)281162 bx+c=0(a0）来说, x对于方程 ax 1 +x2 =1 +x2 =b c ,x1 x2=。利用韦达定理可以求一些代a aD.3y2-4y-2=0 化为( y4、关于 x 的一元二次方程231092)2 2(m 1)x x m 2m数式的值,如2 2 2x1 x (x x ) 2x x2 1 2 1 23 0 的一个根为x=0,则m 的值为（ ）1 1x1x2。A m=3 或 m=1 B m=3 或 m= 1x1x2x x1 2Cm=1 D m=3解题小诀窍： 当一元二次方程的题目中给出一2 5x+6=0 的两5、(2009济南 )若 x1 ,x2 是方程 x个根让你求另

9、外一个根或未知系数时,可以用 个根,则x1 +x2的值是（ ）韦达定理。A .1 B.5 C. 5 D.6二、经典考题分析 ：2 3x1=0 的6、(2009 眉山 ) 若 x1 , x2 是方程 x【考题1 1】下列方程是关于 x 的一元二次方程的1两个根,则1的值为（ ）是（ ）x1x22 bx+c=0 B. k 2 x5k+6=0A ax2 2x+C.3x1 x=0 D.( k23) x2 2x+1=01 1A.3 B. 3 C. D3 32 6x+k1=07、(2009潍坊 ) 若 x1 , x2 是方程 x参考参考答案： D。【考题1 2】解方程： x22 x3=0的两个根,且 2

10、242x1 x ,则k 的值为（）2解： x22x3=0,（ x1） (x+ 3)=0,即 x l=0A.8 B. 7 C.6 D.5或 x+3=0所以 x1=1, x2 =32 2x 1=0 有8、(2009 成都 ) 若关于 x 的方程 kx【考题1 3】（2009、青岛,6 分）已知方程 5x2+kx两个不相等的实数根,则k 的取值范围是（） 10=0 一个根是 5,求它的另一个根及 k 的值 A. k 1 B. k 1 且 k05x解：设方程的另一根是 x,那么, 1105C. k 1 D. k 1 且 k 09、已知一元二次方程 x 2 +2x8=0 的一根是 2,则2 +2x8=0

11、 的一根是 2,则2 2 k 22 ,所以 x = 又,因为+ ( - 5 ) 所以, 515 5 5 5另一个根是 _.2 +（ 2k+1）x+210、(2009 泰安 ) 若关于 x 的方程 xk+( 5)=53 5,所以 k=23.2 k=0 有实数根,则k 的取值范围是 _11、解方程：答：方程的另一根是25,k 的值是 23点拨：利(1) 2(2x 3) 32;(2)3 y( y 1) 2( y 1) ;22 9) (2x 3)=0;(4) x2 6x+8=0(3) 3(4x12、(2009 鄂州) 关于 x 的方程 kx2 +(k+2)x+k4有两个不相等的实数根,=013当x 3

12、3 2x 20 15 时,22 13x 不合题意,舍去 x 102 答：花圃的长为 13 米,宽为 10 米(1)求 k 的取值范围； 【考题 2】（2009、襄樊）为了改善居民住房条件,(2)是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在求出 k 的值；不存在说明理由。我市计划用未来两年的时间,将城镇居民的住房考点 2：一元二次方程的应用面积由现在的人均约为 10 平方米提高到 12.1 平一、考点讲解： 方米,若每年的增长率相同,则年增长率为（）1构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下： A. 9 B.10 C. 11 D.12 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、解

13、：设年增长率为 x,根据题意得 10(1+x） 2=12.1,2=12.1,勾股定理等； 解得 x1=0.1,x2 = 2.1因为增长率不为负,所 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的 以 x=0.1 。故选 D。基础上连续增长（降低）两次得到新数据,常 【考题 3】（2009、海口）某水果批发商场经销一种2见的等量关系是 a(1 x）=b,其中 a 表示增长高档水果 如果每千克盈利 10元,每天可售出 500（降低）前的数据, x 表示增长率（降低率） ,b千克,经市场调查发现, 在进货价不变的情况下,表示后来的数据。 注意： 所得解中,增长率不 若每千克涨价 1 元,日销售量将减少 2

14、0 千克,为负,降低率不超过 1。 现该商场要保证每天盈利 6000 元,同时又要使 经济利润问题：总利润 =（单件销售额单件成顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？本）3销售数量；或者,总利润 =总销售额总 解：设每千克水果应涨价 x 元,依题意,得 (500成本。2 0 x) （10+x）=6000整理,得 x215x 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸,2=10要使顾客得到50=0解这个方程, x1=5,x根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化 实惠,应取 x=5 答：每千克应涨价 5 元的线段用未知数表示出来,再根据题目中的等 点拨：此类经济问题在设未知数时,一般设涨量关系列出方

15、程。 价或降价为未知数；应根据“要使顾客得到实2注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意惠”来取舍根的情况恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅, 【考题 4】如图,在 ABC中,B=90 , AB=5,特别要对方程的解注意检验,根据实际做出正 BC=7,点 P 从 A 点开始沿 AB边向点 B 点以 1cm/s确取舍,以保证结论的准确性 的速度移动,点 Q从 B 点开始沿 BC边向点 C以二、经典考题分析 ： 2cm/s 的速度移动 .C【考题 1】（2009、深圳南山区）课外植物小组准备（1）如果点 P、Q分别从 A、B两点同时出发,利用学校仓库旁的一块空地,开辟一个面积为 经过几秒钟,

16、PBQ的面积等于 4？ （2）如果点 P、Q分别从 A、B 两点同时出发,130 平方米的花圃（如图 121）,打算一面利用长为 15 米的仓库墙面,三面利用长为 33 米的 经过几秒钟, PQ的长度等于 5？旧围栏,求花圃的长和宽解：设与墙相接的两边 x长都为 米,则另一边长C为 33 2x 米,Q依题意得 x 33 2x 130 , B P A1322x 33x 130 0 x1 10x22解： （1）设经过 x 秒钟, PBQ的面积等于 4,又 当x1 10时, 33 2x 13则由题意得 AP=x,BP=5x,BQ=2x,由12B P2 BQ=4,得12（5x）2 2x=4,12.6

17、cm2。解得, x1=1, x2=4当 x=4时,BQ=2x=87=BC,不符合题意。 故 x=12（ 2）由 BP2+BQ=522得（ 5x）2+（ 2x）=52,解得 x1=0（不合题意）, x2=2所以 2 秒后, PQ的长度等于 5。三、针对性训练： ( 分钟) (参考参考答案： )1小明的妈妈上周三在自选商场花 10 元钱买了几瓶酸奶,周六再去买时,正好遇上商场搞酬宾活动,同样的酸奶,每瓶比周三便宜 0 5 元,解：依题意,得：12（6-x ）2 2x=8结果小明的妈妈只比上次多花了 2 元钱,却比 解这个方程得： x1=2,x2=4上次多买了 2 瓶酸奶,问她上周三买了几瓶？ 即经

18、过2s,点 P 到距离 B 点 4cm处,点 Q到距离 B 点 4cm处；经过4s,点 P 到距离 B 点 2cm处,2合肥百货大搂服装柜在销售中发现： “宝乐”牌童装平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元。 点 Q到距离 B 点 8cm处。故本小题有两解。为了迎接“十 2一”国庆节,商场决定采取适 （2）设经过x 秒,点 P移动到 BC上,且有 CP=当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快 （14-x ）cm,点 Q移动到 CA上,且命名 CQ（= 2x-8 ）减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降 cm,过Q作 QDCB于 D。价 4 元,那么平均每天就可多售出 8 件。要想 C

19、QD CAB,平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元,那么QD AB6(2x 8) 。,即 QD=每件童装应降价多少？ 2x 8 AC 103在宽为20 米、长为32 米的矩形地面上,修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下部分作为依题意,得：12（14-x ）26(2 x 8) =12.6 ,10耕地, 要使耕地面积为540 米 2,道路的宽应为解这个方程得： x1=7,x2=11多少？经过7s,点 P 在 BC距离 C 点 7cm处,点 Q在 CA2 上距离 C 点 6cm处,使 S PCQ=12.6cm经过11s,点 P 在 BC距离 C点 3cm处,点 Q在 20mCA上距离 C 点

20、14cm处, 140, 点 Q已超出CA范围,此解不存在。故本题只有一解。 (II)2010 年新课标中考题一网打尽 32m 【回顾1】（ 2010、绍兴, 4 分）钟老师出示了小黑4小红的妈妈前年存了 5000 元一年期的定期储蓄,到期后自动转存 .今年到期扣除利息税（利息税 板上的题目 (如图1 22）后,小敏回答： “方为利息的 20%）,共取得 5145 元 .求这种储蓄的 程有一根为1”,小聪回答：“方程有一根为2”则年利率 .（精确到 0.1%）你认为（ ）5如图12-3 , ABC中, B=90,点 P 从 A 点 A只有小敏回答正确 B只有小聪回答正确开始沿 AB向点 B 以

21、1cm/s 的速度移动,点 Q从 C两人回答都正确 D两人回答都不正确B 点开始沿 BC边向 C点以 2cm/s 的速度移动。（1）如果 P、 Q分别从 A、B 同时出发,经几秒钟,使 ABQ的面积等于 8cm2?(2) 如果 P、Q分别从 A、B 同时出发,并且 P 到B 后又继续在 BC边上前进, Q以 C 后又继续在AC边上前进,经几秒钟,使 PCQ的面积等于【回顾2】（2010、河北, 2 分）解一元二次方程 x2x 12=0,结果正确的是（ ）2=3 Bx1=4,x2= 3A x1=4, xA -3 B 3 C2 23 D32=3 D x1=4, x2=3Cx1=4, x【回顾14】

22、（ 2010、衢州） 方程 x3-x=0 的解是 （ ）【回顾3】（2010、安徽, 4 分）方程 A 0,1 B 1,-1x( x 3 ) (x 3解)是（ ）C0,-1 D0, 1, 12= 3A x1=1 B x1=0, x【回顾15】（ 2010、嘉峪关）用换元法解方程2 =3 D x1=1 , x2=3C x1=1, x【回顾4】（ 2010、杭州, 3 分）若 t 是一元二次方x 2 5x x时,若设则原方程 _( ) 4 0 =y,x 1 x 1 x+1程 ax 2 bx+c=0(a 0）的根,则判别式 =b24ac2 bx+c=0(a 0）的根,则判别式 =b24ac【回顾16

23、】（ 2010、杭州, 4 分）两个数的和为6,和完全平方式 M=(2a+b) 2 的关系是（ ）差（注意不是积）为8,以这两个数为根的一元二次方程是 _ A =M B MC M D大小关系不能确定x x 的2 ( 1) 0【回顾5】（ 2010、湖州,3 分）方程【回顾17】（ 2010、江西）方程 x 2 x=0 的解是2 x=0 的解是_根是（ ） 【回顾18】（ 2010、,内江） 等腰 ABC 中,BC=8,A 0 B1 C0, 1 D0,1210x+m= 0 的两AB、BC 的长是关于 x 的方程 x【回顾6】（2010、湖州, 3 分）已知一元二次方程 根,则m 的值是 _.x

24、2 2x 7=0 的两个根为x1, x2,则x1 + x12 的2 2x 7=0 的两个根为x1, x2,则x1 + x12 的【回顾19】（2010、南充）关于 x 的一元二次方程值为（）2 +2 x+1=0 的两个根同号,则a 的取值范围是axA 2 B 2 C 7 D7 _.【回顾7】（2010、温州）已知 x1、x2 是方程 x21 13x1 0 的两个实数根,则x2 的值是 ( )x11A、 3 B、 3 C、 D、13【回顾8】（2010、温州）用换元法解方程 (x2x)2【回顾20】（ 2010、衢州）解方程 2x2 -9x+5=x-3【回顾21】（ 2010、金华）解方程： x

25、3 2x23x0. (x2 x)6时,如果设x2 xy,那么原方程【回顾22】（ 2010、湖州）解方程组：y=x+1x +y =52 2可变形为（ ）【回顾23】（ 2010、自贡）解方程： 2（ x1） 22 y 60 B、y2 y 60A、 y+5（ x l）+2=02y6 0 D、y2 y 60C、 y【回顾24】（ 2010、重庆）解方程： x2 2x2=0【回顾9】（ 2010、嘉峪关, 3 分）方程 x 25x=025x=0【回顾25】（ 2010、武汉）解方程： x2 +5 x+3=0【回顾26】（2010、丽水）已知关于 x 的一元二次 的根是（）A 0 B 0, 5 C 5

26、, 5 D5方程2 ( 1) 6 0x k x 的一个根是 2,求方程【回顾10】（ 2010、嘉峪关, 3 分）若关于 x 的方程 x2 2x k=0 有实数根,则（ ）的另一根和 k 的值 【回顾27】（2010、嘉峪关, 7 分）已知关于 x 的A k1, Bk 1 Ck 1 D k 1【回顾11】（ 2010、金华）如果一元二次方程 x2一元 二次方程 (k 4) x2 3x k2 3k 4 04 x2 0的两个根是 x1,x2,那么 x1 x2 等于（ ）的一个根为0,求 k 的值A. 4 B. 4 C. 2 D. 2【回顾12】（2010、金华）用换元法解方程 (x2 x)【回顾2

27、8】（ 2010、河南）要到玻璃店配一块面积 x2x 6时,设x2 xy,那么原方程可为1 . 21m2 的正方形玻璃,那么该玻璃边长为_ 化为（ ）2y6 0 B. y2 y6 0A. y【回顾29】（2010、南昌, 3 分）如图12 3 为2 y 60 D. y2 y6 0C. y长方形时钟钟面示意图,时钟的中心在长方形对2【回顾13】（2010、衢州）设x1,x2 是方程 2x+3x-2=0角线的交点上,长方形的宽为 20 厘米,钟面数的两个根,则x1+x2 的值是 ( )字 2 在长方 形 的顶点处,则长方 形 的长为_厘米 AEBC于 E,AE=EB=EC=,a 且 a 是一元二次

28、方程x2+2x3=0 的根,则 ABCD 的周长是 _A DB C(III)2011 年中考题预测 E （80 分 60 分钟） (257）一、基础经典题 ( 44 分)( 一) 选择题 ( 每题 4 分,共 28 分 )【备考 11】关于 x 的方程2(k 1)x 3(k 2) x【备考 1】如果在 1 是方程 x2+mx1=0的一个根,2 42 0k 的一次项系数是 3,则 k=_那么 m 的值为（ ）A 2 B3 C1 D2【备考 12】关于 x 的方程a a 2 2 12 2 1(a 1)x x 5 0【备考 2】方程 2x( x 3) 5( x 3) 的解是（ ） 是一元二次方程,则

29、 a=_.三、实际应用题（ 9 分） 5 5A x 3 B.x C.x1 3, x2 D.x 3 2 2【备考 13】2003 年 2 月 27 日广州日报报道：2002 年底广州自然保护区覆盖率 (即自然保护区【备考 3】若 n 是方程 x2 mx n 0 的根,n0,面积占全市面积的百分比）为 465,尚未达则 m+n 等于（ ） 到国家 A 级标准, 因此, 市政府决定加快绿化建 设,力争到 2009 年底自然保护区覆盖率达到 8A 7 B6 C1 D1【备考 4】关于 x 的方程2 0x mx n 的两根中以上,若要达到最低目标 8,则广州市自然保只有一个等于 0,则下列条件中正确的是（ ）护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留A m0,n0 Bm0,n