菱形的性质与判定典型例题

1、?菱形的性质与判定?典型例题如图，在菱形ABCDK E是AB的中点，且DE AB, AB a，求:(1)：如图，在菱形 ABCD中, CEAB 于 E,CFAD 于 F.ABC的度数；2对角线AC的长；3菱形ABCD勺面积.求证：AE AF.例3：如图，菱形ABCD中，E，F分别是 BC, CD上的一点,EAF 60，BAE18，求 CEF的度数.例4 如图，四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且AD DF .求证：GH垂直平分CF .E例5如图，二 ABCD中，AD 2AB , E、F在直线CD上，且DE CD CF .求证：BE AF .如图，在Rt ABC中，ACB 90 , E为

2、AB的中点，四边形BCDE是平行四边形.求证：AC与DE互相垂直平分参考答案例1分析 (1)由E为AB的中点，DE AB，可知DE是AB的垂直平分线， 从而AD DB，且AD AB，那么 ABD是等边三角形，从而菱形中各角都可以 求出.(2)而AC BD, AO OC ,利用勾股定理可以求出 AC (3)由菱形的对1角线互相垂直，可知S AC BD.2解 (1)连结BD 四边形ABCD1菱形， AD AB.E是AB的中点，且DE AB，二AD DB. ABD是等边三角形，二 DBC也是等边三角形. ABC 602 120 .(2) v四边形ABCD1菱形，二AC与BD互相垂直平分，111-OB

3、 BD AB a.222 OA , AB2 OB2212:3a ( a)a，. AC 2AO 一 3a.2 2I-(3) 菱形 ABCD勺面积 S IaC BD 丄.3a a a2.2 2 2说明：此题中的菱形有一个内角是 60的特殊的菱形，这个菱形有许多特点， 通过解题应该逐步认识这些特点.例2 分析 要证明AE AF ,可以先证明BE DF ,而根据菱形的有关性质 不难证明 BCE DCF，从而可以证得此题的结论.证明 四边形ABCD是菱形，二BC CD, B D，且BEC DFC 90，二 BCE DCF，二 BE DF，AB AD， AB BE AD DF， AE AF.例3解答：连结

4、AC四边形ABC助菱形， B D 60 , AB BC CD AD. ABC与CDA为等边三角形. AB AC, B ACD BAC 60 EAF 60 , BAE CAF ABE ACF AE AF EAF 60 , EAF为等边三角形. AEF 60 AEC B BAE AEF CEF , 601860 CEF CEF 18说明此题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC,证ABE ACF例4 分析 由条件可证明四边形BGDH是菱形，再根据菱形的对角线平 分对角以及等腰三角形的“三线合一可证明 GH垂直平分CF .证明：四边形ABCD、BEDF都是长方形 DE/ BF , AB/C

5、D , DFHBCD90 , AD BC四边形BGDH是平行四边形 AD DF，二 DF BC在厶DFH和厶BCH中DFH BCHDHF BHCDF BC DFH BCH二 DH BH , HF HC四边形BGDH是平行四边形四边形BGDH是菱形 GH 平分 BHD 二 GH 平分 FHC v HF HC GH垂直平分FC .例5 分析 要证BE AF，关键是要证明四边形 ABHG是菱形，然后利用菱 形的性质证明结论.证明 v四边形ABCD是平行四边形 AB/CD , AB CD , AG/BH，二 1 Ev CD ED，二 AB ED1 E在厶ABG和厶EDG中 23AB ED ABGDEG 二 AG GDv AD 2AB 二 AG AB同理：AB BH 二 AG BHv AG/BH四边形ABHG是平行四边形v AB BH 二四边形ABHG是菱形 AF BE .例6分析 要证明AC与DE互相垂直平分，只要证明四边形ADCE是菱形所 以要连结AD证明 v在Rt ABC中，E为AB的