幂级数收敛域和函数

1、2021/6/161第三节第三节 幂幂 级级 数数2021/6/162第三节第三节 幂级数幂级数一一. 函数项级数函数项级数1.定义 )()()(21xuxuxun1)(nnxu函数项级数)(xun是定义在区间 I 上的函数列在 I 中任取一点 ,就得到一个数项级数0 x10)(nnxu )()()(00201xuxuxun收敛, 收敛点0 x0 x发散, 发散点 函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域2.收敛域2021/6/1633.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，因此其和是x的函数，称为和函数1)()(nnxuxS4.余项:)()()(xSxSxrnn前n项的部分和在收敛域

2、内才有意义,且 0)(limxrnn二二. 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性幂级数各项都是幂函数的函数项级数一般形式:2021/6/164 nnxxaxxaxxaa)()()(0202010 nnxaxaxaa2210特例系数(1)(2)主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)1.幂级数的收敛域x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.例 nnnxxxx2111由等比级数的性质, 时收敛, 时发散1|x1|x则收敛域(1,1)内xxxxn 11122021/6/165定理1 (阿贝尔定理) 如果 ：0nnnxa1.在点 收敛,)0(0 xx则当 时，它绝对收敛|0 x

3、x 2.在点 发散,)0(0 xx则当 时，它发散.|0 xx 推论 设 存在非零的收敛点,又存在发散点,则0nnnxa存在R0,使得当 |x|R 时它发散注:三种收敛情形:(1) 仅在 x = 0 处收敛;(2) 在 内处处收敛;),(3) 在(R,R )内收敛,端点另外讨论收敛区间R收敛半径收敛半径R= 0R= + 2021/6/1662.收敛半径的求法定理21limnnnaaR(证明略)例 求收敛半径和收敛域11) 1().1 (nnnnx1limnnnaaR1111limnnnx =1 时111) 1(nnn收敛； x =1时)1(1nn收敛域是(1，1发散2021/6/1671lim

4、nnnaaR1limnnnaaR1!).3(nnxn0!).2(nnnx0)!1(!limnnn)!1(1!1limnnn 收敛域是(，）仅在 x =0 点收敛2021/6/16811)2() 1().4(nnnnx设 x2 t ,由(1)知11) 1(nnnnt收敛域是(1,3收敛域是(1,1023).5(nnnx令2xt 00233nnnnnntx1limnnnaa33131lim1nnnt =3 时t =3时11n发散1) 1(nn发散收敛域是(3,3)收敛域是)3,3(2021/6/1690123).6(nnnx缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求Rnnnuu1lim212132|3

5、133limxxxnnnnn1时,收敛.1时,发散.则收敛区间为3x时,发散.)3,3(注:缺少奇次项,也可以用此方法.2021/6/16101)2(31).7(nnnnnx31) 1(3213321lim) 1()2(3)2(3lim111nnnnnnnnnnnn.31211)2(3331处发散所以原级数在点发散，且时，因为当xnnnxnnnn.31)2(32) 1(,1)2(321) 1(1)2(3)3(311处收敛点都收敛，所以原级数在与且时，由于当xnnnnnxnnnnnnnnnnnnn)3 , 3(, 3收敛区间为所以收敛半径为2021/6/1611三三.幂级数的运算性质幂级数的运算

6、性质1.四则运算性质0)(nnnxgxb)(0 xfxannn设收敛半径分别为 和 ,记1R2R,min21RRR 则对于任意的 , 有),(RRx)()()().1 (000 xgxfxbaxbxannnnnnnnnn)()()()().(2(0011000 xgxfxbababaxbxannnnnnnnnnn 2021/6/1612利用乘法可以定义除法000)()(nnnnnnnnnxcxbxa000nnnnnnnnnxcxbxa则注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多2. 分析运算性质)(0 xSxannn设收敛半径为R, 则(1) S(x) 在收敛域内连续;(2) S(x) 在(-R

7、,R)内可导,且0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS2021/6/1613即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数收敛半径不变.可推广到任意阶导数(3) S(x)在(-R,R)内可积,且 01000001)(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxS即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数收敛半径不变.注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.2021/6/1614例 求和函数1).1 (nnnx设和函数为S(x)11)(nnnxxxS1)(nnxx)(1nnxx2)1 ()1(xxxxx( |x| 1 )2021/6/161501).2(nnnx设和函数为S(x)则011)(nnnxxxS)(00 nxndxx xnndxx00)()1ln(110 xdxxx0, 11|0),1ln(1)(xxxxxS2021/6/1616练习.2121)() 1()(!1!1)(),(!2222223221221220112xxxxnnnnxnnexexexdxdxSexxnxxndxxSxSxnn则记求收敛域及和函数112!22. 1nnxnn2021/6/1617. 2ln)21