D18连续性间断点66248PPT学习教案

1、会计学1D18连续性间断点连续性间断点662482.连续的定义定义 1 设函数在内有定义, 如果当自变量的增量趋向于零时,对应的函数的增量也趋向于零,即或那末就称函数在点连续,称为的连续点. )(xf)(0 xUx y 0lim0 yx , 0)()(lim000 xfxxfx )(xf0 x0 x)(xf,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx就是就是 ).()(00 xfxfy就是就是 第1页/共22页可见 , 函数)(xf在点0 x定义2:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x

2、即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;第2页/共22页例1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证xxx1sinlim0)0(f又又由定义2知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx , 0 , 0 第3页/共22页3.单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数

3、是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 第4页/共22页例2.0, 0, 2, 0, 2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf第5页/共22页4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上

4、连续在闭区间在闭区间则称函数则称函数处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,.),(内是连续的内是连续的有理函数在区间有理函数在区间第6页/共22页xysin在),(内连续 .证: ),( xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy 122xx0 x即0lim0yx这说明xysin在),(内连续 .同样可证: 函数xycos在),(内连续 .0第7页/共22页在在(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0

5、 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一, 函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点 . 在无定义 ;第8页/共22页第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡,称0 x若其中有一个为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点 .为

6、振荡间断点 .第9页/共22页xytan) 1 (2x为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点 .xy1sin)2(1x为可去间断点 .11)3(2xxyxytan2xyOxyxy1sinOxy1O第10页/共22页1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xOy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .第11页/共22页 , 0, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. ,)(是无理数时是无

7、理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在x=0处连续,其余各点处处间断.注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.第12页/共22页o1x2x3xyx xfy 判断下列间断点类型:跳跃间断点无穷间断点可去间断点第13页/共22页)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式第14页/共22页可去型第一类间断点跳跃型oyx0 xoyx0 x第15

8、页/共22页oyx无穷型振荡型第二类间断点oyx0 x第16页/共22页1. 讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.2. 设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf为连续函数.答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,第17页/共22页一、一、 填空题：填空题：1 1、 指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_类间类间断点；在断点；在2 x是第是第_类间断点类间断点 . .2 2、 指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_类间类间断点；在断点；在1 x是第是第_类间断点；在类间断点

9、；在1 x是第是第_类间断点类间断点 . .二、二、 研究函数研究函数 1, 11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的连续性，并画出函数 的图形的图形 . .练 习 题12112第18页/共22页三、三、 指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型， 如果是可去间断点， 则补充或改变函间断点的类型， 如果是可去间断点， 则补充或改变函数的定义使它连续数的定义使它连续 . . 1 1、 1,31, 1)(xxxxxf在在Rx 上上 . . 2 2、 xxxftan)( , ,在在Rx 上上 . . 四、四、 讨论函数讨论函数 xxxxf

10、nnn2211lim)( 的连续性，若有的连续性，若有间断点，判断其类型间断点，判断其类型 . . 五、试确定五、试确定ba,的值的值, ,使使)1)()( xaxbexfx， （1 1）有无穷间断点）有无穷间断点0 x； （； （2 2）有可去间断点）有可去间断点1 x . . 第19页/共22页一、一、1 1、一类、一类, ,二类；二类； 2 2、一类、一类, ,一类一类, ,二类二类. .二、二、,), 1()1,()(内连续内连续与与在在 xf1 x为跳跃间为跳跃间 断点断点. .三、三、1 1、1 x为第一类间断点；为第一类间断点； 2 2、,2为可去间断点为可去间断点 kx )0( kkx为第二类间断点为第二类间断点. . 0, 12,tan)(1xkkxxxxf