2.2.2 等差数列的性质及应用

1、课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动2.2.2 等差数列的性质及其应用等差数列的性质及其应用课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动等差数列的项与序号的关系等差数列的项与序号的关系1(nm)daman课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动 ：在等差数列：在等差数列an中，如果中，如果mn2w(m，n，wN)，那么那么aman2aw是否成立？反过来呢？是否成立？反过来呢？提示提示：若：若mn2w(m，n，wN)，则，则amana1(m1)da1(n1)d2a1(w1)d2aw，显然成立；，显然成立；在等差数列在等差数列an中，若中，若aman2aw，不一定有不一定有

2、mn2w，如常数列，如常数列课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动等差数列的性质等差数列的性质(1)等差数列的项的等差数列的项的对称对称性性在有穷等差数列中，与首末两项在有穷等差数列中，与首末两项“等距离等距离”的两项之和等于的两项之和等于首项与末项的和即首项与末项的和即a1ana2an1a3an2(2)若若an、bn分别是公差为分别是公差为d，d的等差数列，则有的等差数列，则有(3)an的公差为的公差为d，则，则d0an为递增数列；为递增数列；d0）， a1a32a2， a1a2a3153a2， a25， 又又a1a2a380， a1a3(5d)(5d)16d3或或d3(舍去舍去)

3、， a12a210d35， a11a12a133a12105. 课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动 (1)三个数成等差数列，和为三个数成等差数列，和为6，积为，积为24，求这三个数；，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项，首末两项的积为的积为8，求这四个数，求这四个数【例例2】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动解解(1)法一法一 设首项为设首项为a，公差为，公差为d， 这三个数分别为这三个数分别为a，ad，a2d， 依题意，依题意，3a3d6且且a(ad)(a2d)24， a2d，代入，代入a(ad)

4、(a2d)24， 得得2(2d)(2d)24,4d212， 即即d216，于是，于是d4， 三个数为三个数为2,2,6或或6,2，2. 法二法二 设等差数列的等差中项为设等差数列的等差中项为a，公差为，公差为d， 则这三个数分别为则这三个数分别为ad，a，ad. 依题意，依题意，3a6且且a(ad)(ad)24， a2，代入，代入a(ad)(ad)24， 化简得化简得d216，于是，于是d4， 故三个数为故三个数为2,2,6或或6,2，2.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动(2) 法一法一 若设这四个数为若设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为公差为d)， 依题意，依题意，

5、2a3d2，且，且a(a3d)8， 化简得化简得d24，所以，所以d2或或2. 又四个数成递增等差数列，所以又四个数成递增等差数列，所以d0，所以，所以d2， 故所求的四个数为故所求的四个数为2,0,2,4.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动法二法二 设这四个数为设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为公差为2d)， 依题意，依题意，2a2，且，且(a3d)(a3d)8， 即即a1，a29d28， d21，d1或或d1. 又四个数成递增等差数列，所以又四个数成递增等差数列，所以d0， d1， 故所求的四个数为故所求的四个数为2,0,2,4.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互

6、动课堂讲练互动 利用等差数列的定义巧设未知量可以简化利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算一般地有如下规律：当等差数列计算一般地有如下规律：当等差数列an的项数的项数n为奇数时，可设中间一项为为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为，再以公差为d向两边向两边分别设项：分别设项：a2d，ad，a，ad，a2d，；当项数为偶数项时，可设中间两项为当项数为偶数项时，可设中间两项为ad，ad，再以公差为再以公差为2d向两边分别设项：向两边分别设项：a3d，ad，ad，a3d，这样可减少计算量，这样可减少计算量课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动(1)求证：数列求证：数列bn为等差数列为等差

7、数列(2)试问试问a1a2是否是数列是否是数列an中的项？如果是，是第几项；中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由如果不是，请说明理由课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动(1)证明当 n1，nN*时，an1an2an1112an12anan2an11an11an221an11an1an14bnbn14，且 b11a15.bn是等差数列，且公差为 4，首项为 5.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动(2)解由(1)知 bnb1(n1)d54(n1)4n1.an1bn14n1，nN*.a115，a219，a1a2145.令 an14n1145，n11.即即a1a2a

8、11，a1a2是数列是数列an中的项，是第中的项，是第11项项课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动 在等差数列在等差数列an中：中：(1)若若a35，则，则a12a4_；(2)若若a158，a6020，则，则a75_.解析解析(1)a12a4a1(a3a5)(a1a5)a32a3a33a315.(2)法一法一设首项为设首项为a1，公差为，公差为d.a158，a6020，【变式变式1】 课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动法三法三an为等差数列，为等差数列，a15，a30，a45，a60，a75成等差数列，设公差为成等差数列，设公差为d，则则a15为首项，为首项，a60为

9、第为第4项项a60a153d，即，即2083d，d4.从而从而a75a60d20424.答案答案(1)15(2)24课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动 已知构成等差数列的四个数之和为已知构成等差数列的四个数之和为26， 第二个数与第三个数之积为第二个数与第三个数之积为40， 求这个等差数列求这个等差数列解解设此四数依次为设此四数依次为a3d，ad，ad，a3d.【变式变式2】 课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动(1)求证：数列求证：数列an2n为等差数列；为等差数列；(2)设数列设数列bn满足满足bn2log2(an1n)，求，求bn的通项公的通项公式式解解(1)(

10、an12n1)(an2n)an1an2n1(与与n无无关关)，故数列故数列an2n为等差数列，且公差为等差数列，且公差d1.(2)由由(1)可知，可知，an2n(a12)(n1)dn1，故故an2nn1，所以，所以bn2log2(an1n)2n.【变式变式3】 在数列在数列an中，中，a12，an1an2n1.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动【例例4】 甲、乙两人连续甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表明：从第明：从第1年每个养鸡场出产年每个养鸡场出产1万只鸡上升

11、到第万只鸡上升到第6年平均年平均每个鸡场出产每个鸡场出产2万只鸡乙调查表明：由第万只鸡乙调查表明：由第1年养鸡场年养鸡场个数个数30个减少到第个减少到第6年年10个个题型四等差数列的实际应用题型四等差数列的实际应用课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动请您根据提供的信息说明，求请您根据提供的信息说明，求(1)第第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第到第6年这个县的养鸡业比第年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？年是扩大了还是缩小了？请说明理由请说明理由(3)哪一年的规模最大？请说明理由哪一年的规模最大？请说明理由审题指导审题指导

12、本题为图表信息题，综合考查了等差数列的知本题为图表信息题，综合考查了等差数列的知识和等差数列的函数特征识和等差数列的函数特征规范解答规范解答 由题干图可知，从第由题干图可知，从第1年到第年到第6年平均每个鸡场年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为出产的鸡数成等差数列，记为an，公差为，公差为d1，且，且a11，a62；从第；从第1年到第年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记年的养鸡场个数也成等差数列，记为为bn，公差为，公差为d2，且，且b130，b610；从第从第1年到第年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列年全县出产鸡的总只数记为数列cn，则则cnanbn. (2分分)课前探究学习课前探究

13、学习课堂讲练互动课堂讲练互动所以所以c2a2b21.22631.2. (6分分)(2)c6a6b621020c1a1b130，所以到第，所以到第6年这个年这个县的养鸡业比第县的养鸡业比第1年缩小了年缩小了 (8分分)课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动(3)an1(n1)0.20.2n0.8，bn30(n1)(4)4n34(1n6)，cnanbn(0.2n0.8)(4n34)0.8n23.6n27.2(1n6) (10分分)所以所以(1)第第2年养鸡场的个数为年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；万只；(2)到第到第6年这个县的养鸡业比第

14、年这个县的养鸡业比第1年缩小了；年缩小了；(3)第第2年的规模最大年的规模最大(12分分)课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动【题后反思题后反思】 本题可以按照解析几何中的直线问题求本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，让人回味无决，更能体现出等差数列这一函数特征，让人回味无穷题型设计的开放和解答的开放是时代的要求这种解穷题型设计的开放和解答的开放是时代的要求这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中

15、升华课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动 某公司经销一种数码产品，第某公司经销一种数码产品，第1年获利年获利200万元，从第万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解解由题意可知，设第由题意可知，设第1年获利为年获利为a1，第，第n年获利为年获利为an，则，则anan120，(n2，nN*)，每年获利构成等差数列，每年

16、获利构成等差数列an，且首项，且首项a1200，公差，公差d20，所以所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若若an0，则该公司经销这一产品将亏损，则该公司经销这一产品将亏损，由由an20n22011，即从第即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损年起，该公司经销这一产品将亏损【变式变式4】 课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动 数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决问题，运用方程的思想解等差数列是常见题思想来解决问题，运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量型，解决此类问题需要抓

17、住基本量a1，an，n，d，掌握好，掌握好设未知数、列方程、解方程三个环节，常通过设未知数、列方程、解方程三个环节，常通过“设而不设而不求，整体代入求，整体代入”来简化运算来简化运算 已知等差数列已知等差数列an的公差是正数，并且的公差是正数，并且a3a712，a4a64，求数列，求数列an的通项公式的通项公式思路分析思路分析 其实这样的题目我们已有解决它的办法，但如其实这样的题目我们已有解决它的办法，但如果细心观察，我们发现得到果细心观察，我们发现得到a3，a7的和与积，于是联想到的和与积，于是联想到一元二次方程及根与系数的关系一元二次方程及根与系数的关系方法技巧函数与方程思想在等差数列中的应用方法技巧函数与方程思想在等差数列中的应用【示示例例】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动解解由等差数列由等差数列an的性质知：的性质知：a3a7a4a6，从而，从而a3a712，a3a74，故，故a3，a7是方程是方程x24x120的