计量经济学课件：计量随机解释变量问题

1、第八章第八章 随机解释变量问题随机解释变量问题一、一、随机解释变量问题随机解释变量问题二、实际经济问题中的随机解释变量问题二、实际经济问题中的随机解释变量问题 三、随机解释变量的后果三、随机解释变量的后果四、工具变量法四、工具变量法五、解释变量的内生性检验五、解释变量的内生性检验六、案例六、案例基本假设:解释变量X1,X2,Xk是确定性变量。 如果存在一个或多个随机变量作为解释变量，则称原模型出现随机解释变量问题随机解释变量问题。 假设X2为随机解释变量。对于随机解释变量问题，分三种不同情况： 一、随机解释变量问题一、随机解释变量问题对于模型 ikiki22i 110iXXXY 1. 随机解释

2、变量与随机误差项独立随机解释变量与随机误差项独立(Independence)0)()()()(22, 2ExExEXCov 2. 随机解释变量与随机误差项同期无关随机解释变量与随机误差项同期无关(contemporaneously uncorrelated)，但异期相关。，但异期相关。0)()(2,2iiiixEXCov0)()(2,2siisiixEXCov0s 3. 随机解释变量与随机误差项同期相关随机解释变量与随机误差项同期相关(contemporaneously correlated)。 0)()(2,2iiiixEXCovX为观测值，为观测值，x为其离差为其离差)x(E)(E)(X(

3、EX(E),X(Cov2222如果随机解释变量与随机误如果随机解释变量与随机误差项差项同期无关同期无关，这时随机解，这时随机解释变量被称为是释变量被称为是同期外生同期外生的。的。如果如果既不同期相关，也不异既不同期相关，也不异期相关期相关，则该随机解释变量，则该随机解释变量是是严格外生严格外生的。的。二、实际经济问题中的随机解释变量问题二、实际经济问题中的随机解释变量问题 在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。 但是在单方程计量经济学模型中，凡是外生变量都被认为是确定性的。 于是于是随机解释变量问题随机解释变量问题主要主要表现于：表现于：用滞用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况后被解

4、释变量作为模型的解释变量的情况。 例如：例如： （1 1）耐用品存量调整模型：）耐用品存量调整模型： 耐用品的存量Qt由前一个时期的存量Qt-1和当期收入It共同决定： Qt=0+1It+2Qt-1+t t=1,T这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。 但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关性（ t-1与t不相关），那么随机解释变量Qt-1只与t-1相关，与t不相关，属于上述的第2种情况。独立独立同期无关异期相关同期无关异期相关同期相关同期相关Qt-1=0+1It-1+2Qt-2+t-1 （2）合理预期的消费函数模型）合理预期的消费函数模型 合理预期理论合理预期理论认为消费Ct是由对收入

5、的预期Yte所决定的：tettYC10 预期收入Yte与实际收入Y间存如下关系的假设 ettetYYY1)1 (容易推出：tetttYYC1110)1 (ttttCY)()1 (101101110)1 ()1 (ttttCYCt-1是一随机解释变量，且与 (t-t-1)高度相关（Why?）。属于上述第3种情况。)YY)(1 (YYe1tte1tet独立独立同期无关异期相关同期无关异期相关同期相关同期相关 计量经济学模型一旦出现随机解释变量，且与随机扰动项相关的话，如果仍采用OLS法估计模型参数，不同性质的随机解释变量会产生不同的后果。 下面以一元线性回归模型为例进行说明 三、随机解释变量的后果

6、三、随机解释变量的后果 随机解释变量与随机误差项相关图随机解释变量与随机误差项相关图 （a）正相关 （b）负相关 拟合的样本回归线拟合的样本回归线可能低估截距项，而可能低估截距项，而高估斜率项。高估斜率项。 拟合的样本回归线拟合的样本回归线高估截距项，而低高估截距项，而低估斜率项。估斜率项。 对一元线性回归模型： tttXY10 OLS估计量为2121ttttttxxxyx 1、如果、如果X与与 相互独立，得到的参数估计相互独立，得到的参数估计量是无偏、一致估计量。量是无偏、一致估计量。 随机解释变量X与随机项 的关系不同，参数OLS估计量的统计性质也会不同。 其离差形式为：tt1txy12t

7、tt12ttt12ttt11x)(E)x(Ex)x(ExxE)(E如果如果X与与 不相关，则有：不相关，则有：如果如果X与与 相关，则有：相关，则有：如果如果X与与 独立独立，则有：，则有：如果如果X与与 不独立，则有：不独立，则有：0 xn1limP0),X(Covtt或者0 xn1limP0),X(Covtt或者)(E)X(E)X(Etttt)(E)X(E)X(Etttt，但不可逆独立，则与如果0),X(CovX概率极限的运算法则：概率极限的运算法则：)Xlim(PC)CXlim(P )Xlim(P)Xlim(P)XXlim(P2121 )Xlim(P)Xlim(P)XXlim(P2121

8、 )Xlim(PC)Xlim(PC)XCXClim(P22112211 2 2、如果如果X与与 同期不相关，异期相关，得到的同期不相关，异期相关，得到的参数估计量有偏、但却是一致的。参数估计量有偏、但却是一致的。 kt的分母中包含不同期的x；由异期相关性知：kt与 t相关，因此，)()()(1211tttttkExxEE11)(E但取概率极限：1ttt12ttt12ttt11)x(Var/ ),x(Cov)xn1lim(P)xn1lim(PxxlimP)lim(P2121ttttttxxxyx 3 3、如果、如果X与与 同期相关，得到的参数估计量有同期相关，得到的参数估计量有偏、且非一致。偏、

9、且非一致。 注意：注意： 如果模型中带有滞后被解释变量作为解释变量，则当该滞后被解释变量与随机误差项同期相关时，OLS估计量是有偏的、且是非一致的。 即使同期无关，其OLS估计量也是有偏的，因为此时肯定出现异期相关。 2的证明中已得到t1t2t10tYXY 模型中出现随机解释变量且与随机误差项相关时，OLS估计量是有偏的。 如果随机解释变量与随机误差项异期相关，则可以通过增大样本容量的办法来得到一致的估计量； 但如果是同期相关，即使增大样本容量也无济于事。这时，最常用的估计方法是工具变量工具变量（Instrument variables）法法。 四、工具变量法四、工具变量法 1 1、工具变量的

10、选取、工具变量的选取 工具变量工具变量：在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量。 选择为工具变量的变量必须满足以下条件选择为工具变量的变量必须满足以下条件： （1）与所替代的随机解释变量高度相关；）与所替代的随机解释变量高度相关； （2）与随机误差项不相关；）与随机误差项不相关； （3）与模型中其它解释变量不相关，以避）与模型中其它解释变量不相关，以避免出现多重共线性。免出现多重共线性。 2 2、工具变量的应用、工具变量的应用相应的样本矩条件为：相应的样本矩条件为：基本假设中已给出如下两个基本假设中已给出如下两个总体矩条件：总体矩条件：0nX)XY(nXe0

11、n)XY(neii10iiii10iiii10ii10ieXXYii10iii10iX)X(XY)X(Y以一元回归模型为例：以一元回归模型为例：得到关于参数估计量的正规方程组：得到关于参数估计量的正规方程组：0)X(E),X(Cov0)(Eiiiii得到得到OLS估计量（矩估计量）：估计量（矩估计量）：XYxyx102iii1若选若选Z Z为为X X的工具变量的工具变量，则有总体矩条件：则有总体矩条件：0)Z(E),Z(Cov0)(Eiiiii相应的样本矩条件为：相应的样本矩条件为：0nZ)XY(nZe0n)XY(neii10iiii10iiii10iii10iZ)X(ZY)X(Y得到关于参数

12、估计量的正规方程组：得到关于参数估计量的正规方程组：得到工具变量法估计量：得到工具变量法估计量：XYxzyz10iiii1这种求模这种求模型参数估型参数估计量的方计量的方法称为法称为工工具变量法具变量法，相应的估相应的估计量称为计量称为工具变量工具变量法估计量法估计量。 对于矩阵形式矩阵形式： Y=X + 采用工具变量法（假设X2与随机项相关，用工具变量Z替代）得到的正规方程组正规方程组为： 参数估计量为： knkknnXXXZZZXXX212111211111Z其中称为工具变量矩阵工具变量矩阵BXZYZYZ)XZ(B1对于没有选择另外的变量作为工具变量的解释变量，可以认为用自身作为工具变量。

13、3 3、工具变量法估计量是一致估计量、工具变量法估计量是一致估计量一元回归 中，工具变量法估计量为：如果工具变量Z选取恰当，即有： iiiiiiiiixzzxzxz111)(两边取概率极限得： iiniinxzPzPP1111limlim)lim(0),cov(1limiiiiZznP0),cov(1limiiiiXZxznP因此： 11)lim(P注意注意1 1：在小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的：在小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的0)()1()1(iiiiiiiizExzEzxzEiiiixzyz111)(E因为： iiixy1的一致估计量是11注意注意2 2：工具变量并没有替代模

14、型中的解释变量，：工具变量并没有替代模型中的解释变量，只是在估计过程中作为只是在估计过程中作为“工具工具”被使用。被使用。上述工具变量法估计过程可等价地分解成下面的两步上述工具变量法估计过程可等价地分解成下面的两步OLS回归：回归： 第一步第一步，用，用OLS法进行法进行X关于工具变量关于工具变量Z的回归：的回归： iiZX10iiXY10 容易验证仍有: iiiixzyz1 因此，工具变量法仍是工具变量法仍是Y Y对对X X的回归，而不是的回归，而不是对对Z Z的回归的回归。i10iZX2iii1xyxiiii1xzyzii10iXYOLS：IV法：法：选择选择Z作为作为X的工具变量的工具变

15、量ii1ixy工具变量法估计过程可工具变量法估计过程可等价等价地分解成地分解成下下面的面的两步两步OLS回归：回归： 第一步第一步，用，用OLS法进行法进行X关于工具变量关于工具变量Z的回归：的回归： 2iii1zxz2i1iizxz 第二步第二步，以第一步得到的，以第一步得到的 为解释变量，进为解释变量，进行如下行如下OLS回归：回归：i1izx i10iZXi10iXYiXiiii2i1ii2i21ii12iii1xzyzzyzzyzx yx 说明说明工具变量工具变量法仍是法仍是Y Y对对X X的的回归，而不是回归，而不是对对Z Z的回归的回归。采用两个阶段的采用两个阶段的OLSOLS来估

16、计模型参数，也被称为来估计模型参数，也被称为两阶段最小二乘法两阶段最小二乘法( (2SLS2SLS) )注意注意3：如果模型中有两个以上的随机解释变量与随如果模型中有两个以上的随机解释变量与随机误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量机误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量。但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使用但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使用的次序不影响估计结果的次序不影响估计结果(Why？)。注意注意4 4：OLSOLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。可以看作工具变量法的一种特殊情况。注意注意5：要找到与随机扰动项不相关而又与随机解要找到与随机扰动项不相关而又与随机解

17、释变量相关的工具变量并不是一件很容易的事释变量相关的工具变量并不是一件很容易的事如果考虑到随机解释变量与随机干扰项相关的主要来源是如果考虑到随机解释变量与随机干扰项相关的主要来源是由于同期测量误差引起的，就可以用滞后一期的随机解释由于同期测量误差引起的，就可以用滞后一期的随机解释变量变量Xt-1作为原解释变量作为原解释变量Xt的工具变量。的工具变量。 ii 33i22i 110iXXXYi 3i 33i22i 110i 3ii2i 33i22i 110i2ii 1i 33i22i 110i 1ii 33i22i 110iX)XXX(XYX)XXX(XYX)XXX(XY)XXX(Y若若X1、X2

18、与与 相关，选择的工具变量分别为：相关，选择的工具变量分别为：Z1和和Z2 i 3i 33i22i 110i 3ii2i 33i22i 110i2ii 1i 33i22i 110i 1ii 33i22i 110iX)XXX(XYZ)XXX(ZYZ)XXX(ZY)XXX(Y工具变量的次序不影响估计结果。工具变量的次序不影响估计结果。OLS法：法：IV法：法：五、解释变量的内生性检验五、解释变量的内生性检验基本假设之一：随机解释变量与随机干扰项至少不存在同期相关性，基本假设之一：随机解释变量与随机干扰项至少不存在同期相关性，即随机解释变量至少是同期外生变量。即随机解释变量至少是同期外生变量。豪斯曼

19、检验的基本思想是：豪斯曼检验的基本思想是：) 1 (ZXYii 12i10i豪斯曼从计量技术上给出了一个检验随机解释变量是否是同期外生豪斯曼从计量技术上给出了一个检验随机解释变量是否是同期外生变量的方法。变量的方法。如果如果X是内生变量，则需寻找一个外生变量是内生变量，则需寻找一个外生变量Z2作为工具变量并对作为工具变量并对(1)式进行工具变量法估计，将工具变量法的估计结果与对式进行工具变量法估计，将工具变量法的估计结果与对(1)式直接进式直接进行普通最小二乘法的估计结果对比，看差异是否显著。行普通最小二乘法的估计结果对比，看差异是否显著。如果两者有如果两者有显著的差异，则表明显著的差异，则表

20、明X是内生变量是内生变量。由于工具变量法等价于两阶段。由于工具变量法等价于两阶段最小二乘法，因此该检验法可具体如下进行。最小二乘法，因此该检验法可具体如下进行。对对(1)式，明确式，明确Z1是外生变量；怀疑是外生变量；怀疑X是同期内生变量，需检验。是同期内生变量，需检验。HausmanHausman检验检验 如果如果显著为显著为0与与Y同期无关同期无关与与同期无关同期无关 X与与同期无关同期无关X是同期外生变量；是同期外生变量； 如果如果显著不为显著不为0 与与Y同期相关同期相关与与同期相关同期相关X与与同期相关同期相关 X是同期内生变量。是同期内生变量。ii 12i10iZXYii22i 1

21、10iZZXiii 12i10iZXYZ1外生，与外生，与不相关不相关选择选择Z2作为作为X 的工具变量的工具变量同期外生同期外生随机解释变量与随机解释变量与随机误差项不存在同期相关随机误差项不存在同期相关(1)将怀疑是内生变量的将怀疑是内生变量的X关于外生变关于外生变量量Z1 、 Z2作作OLS估计，得到残差项估计，得到残差项 (2)将第一步得到的残差项加入将第一步得到的残差项加入到原模型后，再进行到原模型后，再进行OLS估计估计ii 12i10iZXY中中X的内生性进行检验分两步进行：的内生性进行检验分两步进行：对模型对模型iii(1)(2)判断判断X与与是否是否同期相关，等同期相关，等价

22、于判断价于判断与与是否同期相关。是否同期相关。对对(2)式式OLS等价等价于对下式于对下式OLS：六、案例六、案例中国居民人均消费函数中国居民人均消费函数 例例4.4.1 在例2.5.1的中国居民人均消费函数中国居民人均消费函数的估计中，采用OLS估计了下面的模型：GDPPCONSP10 由于：居民人均消费支出（CONSP）与人均国内生产总值（GDPP）相互影响，因此， 容易判断GDPP与同期相关（往往是正相关），OLS估计量有偏并且是非一致的（低估截距项而高估计斜率项 ）。 (第二版第二版) OLS估计结果： (13.51) (53.47) R2=0.9927 F=2859.23 DW=0.

23、5503 RSS=23240.7 如果用GDPPt-1为工具变量，可得如下工具变量法估计结果： (14.84) (56.04) R2 =0.9937 F=3140.58 DW=0.6691 RSS=18366.5 例例4.4.1 在例3.3.2的中国城镇居民人均消费函数中国城镇居民人均消费函数的估计中，采用OLS估计了下面的模型：(第三版第三版)22110XXYX2:前一年人前一年人均消费支出均消费支出确认确认X2是同期外生变量；是同期外生变量；有理由怀疑有理由怀疑X1与与同期相关，用豪斯曼检验来判定同期相关，用豪斯曼检验来判定X1是否确实是内生变量。是否确实是内生变量。选择前一年城镇居民人均

24、可支配收入选择前一年城镇居民人均可支配收入Z作为作为X1的工具变量。的工具变量。Y:人均消人均消费支出费支出X1:人均可人均可支配收入支配收入(1)作作X1关于关于X2、Z的的OLS得：并记录残差序列得：并记录残差序列Z4605. 1X4709. 074.132X21 (2)将得到的残差项加入到原模型后将得到的残差项加入到原模型后OLS得：得：)35. 8()31. 6()60.10()11. 1 (t191. 1X4026. 0X4502. 070.155Y21t t检验表明：检验表明：前的参数显著前的参数显著不为不为0 0，因此，因此判断判断X X1 1确实是确实是内生变量，内生变量，X

25、X1 1与与是同期相是同期相关，关，且是且是正相正相关。关。 例例4.4.1 在例3.3.2的中国城镇居民人均消费函数中国城镇居民人均消费函数的估计中，采用OLS估计了下面的模型：(第三版第三版)22110XXYX2:前一年人前一年人均消费支出均消费支出选择前一年城镇居民人均可支配收入选择前一年城镇居民人均可支配收入Z作为作为X1的工具变量。的工具变量。Y:人均消人均消费支出费支出X1:人均可人均可支配收入支配收入工具变量工具变量(IV)法估计结果如下：法估计结果如下：OLS估计结果是：估计结果是：)20. 2()37. 7()55. 0(tX2501. 0X5556. 033.143Y21)

26、28. 3()52. 5()58. 0(tX4026. 0X4502. 070.155Y21OLS估计量是有偏非一致，估计量是有偏非一致，并且在随机解释变量与随并且在随机解释变量与随机干扰项正相关时，低估机干扰项正相关时，低估截距项，高估斜率项。截距项，高估斜率项。IV法估计量是有偏一致，法估计量是有偏一致，并且对并且对OLS的低估截距项的低估截距项高估斜率项作出了修正。高估斜率项作出了修正。IVIV估计演示估计演示IVIV估计结果估计结果习题习题5、对模型、对模型Yt = 0 + 1Xt1 + 2Xt2 + 3 Yt-1 + t 假设假设 Yt-1 与与 t 相关。为了消除该相关性，采用工具

27、变相关。为了消除该相关性，采用工具变量法：先求量法：先求Yt关于关于Xt1与与Xt2回归，得到回归，得到 ，再作如下，再作如下回归：回归：试问：这一方法能否消除原模型中试问：这一方法能否消除原模型中Yt-1与与 t 的相关性？的相关性？为什么？为什么？tYt1t32t21 t10tYXXY解：解：能消除。能消除。在基本假设下，在基本假设下， Xt1、Xt2与与t是不相关的，由此知，是不相关的，由此知，由由Xt1与与Xt2估计出的估计出的 应与应与t不相关的。不相关的。tY习题习题6、对于一元模型、对于一元模型t*t10tXY(2)进一步假设进一步假设t与与et 之间，以及它们与之间，以及它们与

28、X*t之间无异期之间无异期相关，那么相关，那么E(Xt-1 t )=0成立吗？成立吗？Xt与与Xt-1相关吗？相关吗？(3)由由(2)的结论，你能寻找什么样的工具变量对变换后的结论，你能寻找什么样的工具变量对变换后的模型进行估计？的模型进行估计？假设假设 解释变量解释变量X*t的实测值的实测值Xt与之有偏误：与之有偏误：Xt = X*t +et ，其中其中et 是具有零均值，不序列相关，且与是具有零均值，不序列相关，且与X*t及及t不相关不相关的随机变量。试问：的随机变量。试问：(1)能否将能否将X*t = Xt- et 代入原模型，使之变成代入原模型，使之变成Yt = 0 + 1Xt + t

29、 后进行估计？其中，后进行估计？其中，t为变换后模型的随机干扰。为变换后模型的随机干扰。习题习题6、对于一元模型、对于一元模型假设假设 解释变量解释变量X*t的实测值的实测值Xt与之有偏误：与之有偏误：Xt = X*t +et ，其中其中et 是具有零均值，不序列相关，且与是具有零均值，不序列相关，且与X*t及及t不相关不相关的随机变量。试问：的随机变量。试问：(1)能否将能否将X*t = Xt- et 代入原模型，使之变成代入原模型，使之变成Yt = 0 + 1Xt + t 后进行估计？其中，后进行估计？其中，t为变换后模型的随机干扰。为变换后模型的随机干扰。t*t10tXY解解(1) ：变换后的模型为：变换后的模型为：Yt = 0 + 1 (Xt et )+ t = 0 + 1Xt + (t - 1et ) = 0 + 1Xt + t由于由于et与与Xt同期相关，所以同期相关，所以t与与Xt也同期相关，也同期相关，故故不能不能对变换后的模型进行估计。对变换后的模型进行估计。习题习题6、对于一元模型、对于一元模型假设假设 解释变量解释变量X*t的实测值的实测值Xt与之有偏误：与之有偏误：Xt = X*t +et ，其