2021年人教版高中数学选择性必修第一册课时学案第2章《2.2.2 直线的两点式方程》(含解析)

1、22.2直线的两点式方程学习目标1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求线段的中点坐标知识点直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2，y1y2)在x，y轴上的截距分别为a，b( a0，b0)示意图方程1适用范围斜率存在且不为0斜率存在且不为0，不过原点思考1过点(x0，y0)且斜率为0的直线有两点式方程吗？答案没有其方程为yy0.思考2方程1是直线的截距式方程吗？答案不是截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“”号连接，二是等号右边为1.1不经过原点的直线都可

2、以用方程1表示()2能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示()3直线yx在x轴和y轴上的截距均为0.()4经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()一、直线的两点式方程例1已知A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC中，(1)求BC边所在的直线方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程解(1)BC边过两点B(5，4)，C(0，2)，由两点式，得，即2x5y100，故BC边所在的直线方程为2x5y100.(2)设BC的中点为M(a，b)，则a，b3，所以M，又BC边的中线过点A(3,2)，所以，即1

3、0x11y80，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x11y80.延伸探究若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程解kBC，则BC边的垂直平分线的斜率为，又BC的中点坐标为，由点斜式方程可得y3，即10x4y370.反思感悟利用两点式求直线的方程(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式(2) 若满足即可考虑用两点式求方程在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程跟踪训练1(1)过点A(2,1)，B(3，3)的直线方程为_答案4x5y30解析因为直线过点(2,1)和(3，3)，所以，所以，化简得4x5y30.(2)已知直线经过点A(1,0

4、)，B(m，1)，求这条直线的方程解由直线经过点A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在(1)当直线斜率不存在，即m1时，直线方程为x1；(2)当直线斜率存在，即m1时，利用两点式，可得直线方程为，即x(m1)y10.综上可得，当m1时，直线方程为x1；当m1时，直线方程为x(m1)y10.二、直线的截距式方程例2求过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程解(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为yx，即2x5y0.(2)当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为1，即xya，又l过点A(5,2)，52a，解得a3，l的方程为xy3

5、0.综上所述，直线l的方程是2x5y0或xy30.延伸探究(变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？解(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为yx，即2x5y0，符合题意(2)当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为1，又l过点(5,2)，1，解得a.l的方程为x2y90.综上所述，直线l的方程是2x5y0或x2y90.反思感悟截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点

6、以及能否与两坐标轴垂直(3)要注意截距式直线方程的逆向应用跟踪训练2(多选)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为()Ayx Bxy5Cyx Dxy50答案AB解析设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b.当ab0时，直线方程为1，1，a5，xy5，当ab0时，k，yx，综上所述，yx和xy5.直线方程的灵活应用典例已知ABC的一个顶点是A(3，1)，ABC，ACB的平分线方程分别为x0，yx.(1)求直线BC的方程；(2)求直线AB的方程解如图(1)因为ABC，ACB的平分线方程分别是x0，yx，所以AB与BC关于x0对称，AC与BC关于yx对称A(3，1)关于x0的对称点A(3

7、，1)在直线BC上，A关于yx的对称点A(1,3)也在直线BC上由两点式求得直线BC的方程为y2x5.(2)因为直线AB与直线BC关于x0对称，所以直线AB与BC的斜率互为相反数，由(1)知直线BC的斜率为2，所以直线AB的斜率为2，又因为点A的坐标为(3，1)，所以直线AB的方程为y(1)2(x3)，即2xy50.素养提升(1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称(2)画出图形，借助图形分析A关于直线x0的对称点A在BC上，A关于yx的对称点A也在BC上，体现了直观想象的数学核心素养(3)分别求出A，A两点的坐标，再根据两点式求出BC边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养1在x轴

8、，y轴上的截距分别是3,4的直线方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案A2经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为()Ax2 By2 Cx3 Dx6答案B解析由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y2，故选B.3过坐标平面内两点P1(2,0)，P2(0,3)的直线方程是()A.1 B.0C.1 D.1答案C4过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_答案2xy0或xy10解析当直线过原点时，得直线方程为2xy0；当在坐标轴上的截距不为零时，可设直线方程为1，将x1，y2代入方程可得a1，得直线方程为xy10.直线方程为2xy0或xy10.5已知点A(

9、3,2)，B(1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为_答案2xy10解析AB的中点坐标为(1,3)，由直线的两点式方程可得，即2xy10.1知识清单：(1)直线的两点式方程(2)直线的截距式方程2方法归纳：分类讨论法、数形结合法3常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解1(多选)下列说法中不正确的是()A经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)来表示B经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb来表示C不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式D不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式答案ABC2过点A(3,2)

10、，B(4,3)的直线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案D解析由直线的两点式方程，得，化简得xy10.3直线1在y轴上的截距是()A|b| Bb2Cb2 Db答案B解析令x0，得yb2.4过两点(1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为()A B C. D2答案A解析由两点式，得y2x3，令y0，得x，即为在x轴上的截距5若直线l过点(1，1)和(2,5)，且点(1 010，b)在直线l上，则b的值为()A2 021 B2 020C2 019 D2 018答案A解析由直线的两点式方程得直线l的方程为，即y2x1，令x1 010，则有b21 0101，即b2 021.6过

11、点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是_答案3xy60解析由题意知直线过点(2,0)，又直线过点(1,3)，由两点式可得，整理得3xy60.7过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是_答案1解析设A(m，0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m2，n6，即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)，则l的截距式方程是1.8若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3,4)的直线上，则m_.答案2解析由直线方程的两点式，得，即.直线AB的方程为y1x2，点P(3，m)在直线AB上，m132，得m2.9求过点P(6，2)，且在x轴

12、上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程解设直线方程的截距式为1.则1，解得a2或a1，则直线方程是1或1，即2x3y60或x2y20.10在ABC中，已知A(5，2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的截距式方程解(1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为M，BC边的中点为N，因为M在y轴上，所以0，解得x05.又因为N在x轴上，所以0，解得y03.即C(5，3)(2)由(1)可得M，N(1,0)，所以直线MN的截距式方程为1.11直线1过第一、三、四象限，则()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0，b0)，显然直

13、线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.13两条直线l1：1和l2：1在同一直角坐标系中的图象可以是()答案A解析两条直线化为截距式分别为1，1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A符合14在y轴上的截距是3，且经过A(2，1)，B(6,1)中点的直线方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析A(2，1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，即可设直线的截距式方程为1，将点(4,0)代入方程得a4，则该直线的方程为1.15已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_答案3解析直线AB的方程为1，设P(x，y)，则x3y，xy3yy2(y24y)(y2)243.即当P点坐标为时，xy取得最大值3.16若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程解直线l与两坐标