10.7 傅立叶级数

1、返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-121 第七八节第七八节 傅立叶级数傅立叶级数 第十章第十章 一、三角级数与三角函数系的正交性一、三角级数与三角函数系的正交性 二、收敛定理与函数展开成傅立叶级数二、收敛定理与函数展开成傅立叶级数 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 四、周期为四、周期为2 l的周期函数的傅立叶级数的周期函数的傅立叶级数 五、小结与思考练习五、小结与思考练习 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-122 一、三角级数与三角函数系的正交性一、三角级数与三角函数系的正交性 简单的周期运动简单的周期运动 :)sin(tAy (谐波函数谐波函数) (

2、A为为振幅振幅, 复杂的周期运动复杂的周期运动 :)sin( 1 0n n n tnAAy tnAtnA nnnn sincoscossin 令令 , 2 0 0 A a ,sin nnn Aa,cos nnn Abxt 得函数项级数得函数项级数)sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 为为角频率角频率,为为初相初相 ) (谐波迭加谐波迭加) 称上述形式的级数为称上述形式的级数为三角级数三角级数. 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-123 xxnkxnkd)cos()cos( 2 1 ,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx

3、 证证: 1xnxdcos 1xnxdsin0 xnxk coscos )(nk xxnxkdcoscos 0 0dsinsin xxnxk 同理可证同理可证 : ),2, 1(n xnkxnk)(cos)(cos 2 1 上在,正交正交 , ,上的积分等于上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在即其中任意两个不同的函数之积在 0dsincos xxnxk )(nk 定理定理 1 组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-124 上的积分不等于上的积分不等于 0 . , 2d11 x xxn dsin 2 xxn dcos2 ),2,

4、 1(n , 2 2cos1 cos 2 xn xn 2 2cos1 sin 2 xn xn 且有且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-125 二、函数展开成傅立叶级数二、函数展开成傅立叶级数 (Expanding to Fourier series) 定理定理 2 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 且且 )sincos( 2 )( 1 0 nxbnxa a xf nn n 右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分, 则有则有 ), 1,0(dcos)( 1 nxnxx

5、fan ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn 证证: 由定理条件由定理条件, 1 0 dsindcosd 2 )( n nn xxnbxxnax a dxxf 0 a ,对对在在 逐项积分逐项积分, 得得 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-126 xxk a xxkxfdcos 2 dcos)( 0 1n xxnxkandcoscos xxnxkbndsincos xxkakdcos2 k a xxkxfakdcos)( 1 ),2, 1(k ( (利用正交性利用正交性) ) ),2, 1(dsin)( 1 kxxkxfbk xxfad)( 1 0 类似地类似地, 用

6、用 sin k x 乘乘 式两边式两边, 再逐项积分可得再逐项积分可得 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-127 叶系数为系数的三角级数叶系数为系数的三角级数 称为称为 的的傅傅里里叶系数叶系数 ; 1 0 sincos 2 )( n nn xnbxna a xf ), 1,0(dcos)( 1 nxnxxfan 由公式由公式 确定的确定的 nn ba , 以以)(xf )(xf ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn 的傅的傅里里 的的傅傅里里叶级数叶级数 . 称为函数称为函数 )(xf 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-128 设设 f (x) 是周期

7、为是周期为2 的的 周期函数周期函数, 并满足并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点, 则则 f (x) 的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛 , 且有且有 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a , )(xf , 2 )()( xfxf x 为间断点为间断点 其中其中 nn ba ,( 证明略证明略 )为为 f (x) 的傅的傅里里叶系数叶系数 . x 为连续点为连续点 注意注意: 函数展成函数展成 傅傅里里叶

8、级数的条叶级数的条 件比展成幂级数件比展成幂级数 的条件低得多的条件低得多. 定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理) 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-129 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 上的表达式为上的表达式为 ), x x xf 0,1 0,1 )( 解解: 先求傅先求傅里里叶系数叶系数 xnxxfandcos)( 1 0 0 dcos1 1 dcos) 1( 1 xnxxnx ),2,1,0(0n 将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. o y x 1 1 例例1 返回返回上页上页下页下页目录目录 20

9、21-6-1210 xnxxfbndsin)( 1 0 0 dsin1 1 dsin) 1( 1 xnxxnx 0 cos1 n nx 0 cos1 n nx n n cos1 2 n n ) 1(1 2 1 sin ) 1(1 2 )( n n nx n xf x3sin 3 1 xk k ) 12sin( 12 1 ),2,0,(xx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xsin 4 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1211 ),2,0,(xx 7 7sin x 9 9sin x 1) 根据收敛定理可知根据收敛定理可知, 时时, ,级数收敛于级数收敛

10、于 0 2 11 2) 傅氏级数的部分和逼近傅氏级数的部分和逼近 3 3sin sin 4 )( x xxf 5 5sin x o y x 1 1 ), 2, 1, 0(kkx当 f (x) 的情况见右图的情况见右图. 说明说明: 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1212 x o y上的表达式为上的表达式为 ), x xx xf 0,0 0, )( 将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 解解: : xxfad)( 1 0 0 dcos 1 xxnx xnxxfandcos)( 1 0 d 1 xx 0 2 2 1x 2 0 2 cossin1 n nx n nxx

11、22 ) 1(1cos1 nn n n 2332 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 例例2 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1213 xnxxfbndsin)( 1 n n 1 ) 1( 0 dsin 1 xnxx 1 1 2 sin ) 1( cos ) 1(1 4 )( n nn nx n nx n xf 4 cos x 2 xsinx2sin 2 1 3sin 3cos xx 2 3 2 3 1 x4sin 4 1 5sin 5cos xx 2 5 2 5 1 ),2,1,0,) 12(,(kkxx 说明说明: 当当) 12(kx

12、时时, 级数收敛于级数收敛于 22 )(0 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1214 , )(xxf 周期延拓周期延拓 )(xF 傅傅里里叶展开叶展开 ,)(在xf上的傅上的傅里里叶级数叶级数 ), , )(xxf , )2(kxf其它其它 定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1215 xx xx xf 0, 0, )( 级数级数 . o y x 则则 xxFad)( 1 0 xxfd)( 1 0 d 2 xx 0 2 2 2 x xnxxFandcos)( 1 xnxxfdcos)(

13、1 0 dcos 2 xnxx 0 2 cossin2 n nx n nxx 解解: 将将 f (x)延拓成以延拓成以 展成傅展成傅里里叶叶 2 为为周期周期的函数的函数 F(x) , 例例3 将函数将函数 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1216 x3cos 3 1 2 n a 22 1) 1(2 )1cos( 2 n n n n xnxxFbndsin)( 1 xnxxfdsin)( 1 0 1 2 cos 1) 1(2 2 )( n n nx n xf 2 4 xcos x5cos 5 1 2 )(x 利用此展式可求出几个特殊的级数的和利用此展式可求出几个特殊的级数的和.

14、 当当 x = 0 时时, f (0) = 0 , 得得 222 2 ) 12( 1 5 1 3 1 1 8n 说明说明: 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1217 4 2 , 4 21 3 1 2 24 2 设设, 4 1 3 1 2 1 1 222 222 1 7 1 5 1 3 1 1 , 6 1 4 1 2 1 222 2 已知已知 8 2 1 222 3 4 1 3 1 2 1 1 又又 21 213 6248 222 12248 222 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1218 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 1. 正弦级数和余弦级数的

15、概念正弦级数和余弦级数的概念 定理定理4 对周期为对周期为 2 的的奇奇函数函数 f (x) , 其傅里叶其傅里叶级数为级数为 周期为周期为2 的的偶偶函数函数 f (x) , 其傅里叶级数为其傅里叶级数为余弦级数余弦级数 , ),2,1,0( dcos)( 2 0 nxnxxfan ),3,2,1( 0nbn ),2,1,0( 0nan 0 ),3,2,1(dsin)( 2 nxnxxfbn 它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为 正弦级数正弦级数,它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为 (Sine series and cosine series) 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-12

16、19 的的表达式为表达式为 f (x)x ,将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 是是周期为周期为2 的周期函数的周期函数,它在它在上),)(xf 解解: 若不计若不计),2, 1,0() 12(kkx 是则)(xf 周期为周期为 2 的奇函数的奇函数, y xo 0 dsin)( 2 xnxxfbn ),2,1,0(0nan ),3,2,1(n 0 dsin 2 xnxx 因此因此 0 2 sincos2 n nx n nxx n n cos 2 1 ) 1( 2 n n 例例4 设设 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1220 n1 根据收敛定理可得根据收敛定理可

17、得 f (x) 的正弦级数的正弦级数: )(xf ,(x )3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2xxx 1 2 n nx n n sin ) 1( 1 ),1,0,) 12(kkx y x o 级数的部分和级数的部分和 n2n3n4 上在), 逼近逼近 f (x) 的情况见右图的情况见右图. n5 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1221 ,0),(xxf )(xF 周期延拓周期延拓 F (x) )(xF f (x) 在在 0 , 上展成上展成 周期延拓周期延拓 F (x) 余弦级数余弦级数 奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓 xo y 正弦级数正弦级数 f (x) 在在 0

18、, 上展成上展成 x o y , 0(),(xxf 0, 0 x )0,(),(xxf ,0(),(xxf )0,(),(xxf 2. 函数展开为正弦级数或余弦级数函数展开为正弦级数或余弦级数 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1222 1 x y o )0(1)(xxxf分别展成正弦级分别展成正弦级 数与余弦级数数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数先求正弦级数. 去掉端点去掉端点, 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, 0 dsin)(xnxxf 2 n b 0 dsin) 1( 2 xnxx 0 2 cossincos2 n nx n nx n nxx nn n c

19、oscos1 2 n nn ) 1() 1(1 2 例例5 将函数将函数 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1223 2 xsin)2(x2sin 2 x3sin 3 2 x4sin 4 )0( x 注意注意: 在端点在端点 x = 0, , 级数的和为级数的和为0 , 与给定函数与给定函数 1 x y o 因此得因此得 f (x) = x + 1 的值不同的值不同 . 1 sin ) 1() 1(1 2 1 n nn nx n x 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1224 x 1 y 将将)(xf则有则有 o 0 a 0 d) 1( 2 xx n a 0 dco

20、s) 1( 2 xnxx 0 2 2 2 x x 2 0 2 sincossin2 n nx n nx n nxx 1cos 2 2 n n 2 1) 1(2 n n 作偶周期延拓作偶周期延拓 ,再求余弦级数再求余弦级数. 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1225 1 2 cos 1) 1(2 1 2 1 n n nx n x xcos x3cos 3 1 2 )0( x x5cos 5 1 2 4 1 2 1 y o x 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1226 四、周期为四、周期为2l的周期函数的傅立叶级数的周期函数的傅立叶级数 周期为周期为 2l 函数函数

21、 f (x) 周期为周期为 2 函数函数 F(z) 变量代换变量代换 l x z 将将F(z) 作傅氏展开作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式的傅氏展开式 lz x lz f 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1227 设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f (x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为 1 0 sincos 2 )( n nn l xn b l xn a a xf (在在 f (x) 的连续点处的连续点处) n a x l xn xf l b l l n dsin)( 1 其中其中 l 1 x l xn xf l l

22、 dcos)( ),2, 1,0(n ),2, 1(n 定理定理5 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1228 1 )( n n bxf ),2, 1(dsin)( nx l xn xfbn 其中其中 (在在 f (x) 的连续点处的连续点处) l xn sin l 2 0 l 如果如果 f (x) 为为偶函数偶函数, 则有则有 (在在 f (x) 的连续点处的连续点处) 2 )( 0 a xf ),2, 1,0(dcos)( nx l xn xfan 其中其中 1n n a l xn cos 注注: 无论哪种情况无论哪种情况 , ).()( 2 1 xfxf 在在 f (x)

23、的间断点的间断点 x 处处, 傅里叶级数傅里叶级数 收敛于收敛于 l 2 0 l 如果如果 f (x) 为为奇函数奇函数, 则有则有 说明说明: 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1229 展开成展开成)20()(xxxf (1) 正弦级数正弦级数; (2) 余弦级数余弦级数. 解解: (1) 将将 f (x) 作作奇奇周期延拓周期延拓, 则有则有 2 o y x ),2, 1,0(0nan 2 0 2 2 xbnx xn d 2 sin 0 2 2 2 sin 2 2 cos 2xn n xn x n n n cos 4 ),2, 1() 1( 4 1 n n n 1 4 )(

24、 n xf 2 sin ) 1( 1 xn n n )20( x 在在 x = 2 k 处级数处级数 收敛于何值收敛于何值? 例例6 把把 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1230 2 o y x 作作偶偶周期延拓周期延拓,)(xf ),2, 1(0nbn 2 0 2 2 xanx xn d 2 cos 0 2 2 2 cos 2 2 sin 2xn n xn x n 1) 1( 4 22 n n xxf)( 2 0 0 d 2 2 xxa2 则有则有 1 22 2 cos 1) 1(4 1 n n xn n )20( x (2) 将将 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1231 内容小结内容小结 1. 周期为周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理的函数的傅里叶级数及收敛定理 )sincos( 2 )( 1 0 xnbxna a xf nn n )(间断点x 其中其中 xxnxfandcos)( 1 xxnxfbndsin)( 1 ),2, 1 ,0(n ),2, 1(n 注意注意: 若若 0 x为间断点为间断点,则级数收敛于则级数收敛于 2 )()( 00 xfxf 2. 周期为周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数奇函数正弦级数正弦级数 偶函数偶函数余弦级数余弦级数 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-