3_23第二节边缘分布

1、概率统计概率统计下页结束返回一、边缘分布函数的概念一、边缘分布函数的概念二、离散型随机变量的边缘分布列二、离散型随机变量的边缘分布列三、连续型随机变量的边缘分布概率密度三、连续型随机变量的边缘分布概率密度四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性3.2 边边 缘缘 分分 布布下页概率统计概率统计下页结束返回一 、 边缘分布函数的概念)(xXPxFX),(lim),(,)(yxFyFyYXPyYPyFxY设（设（X，Y）的联合分布函数）的联合分布函数F（x, y）则则 X 和和 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数 FX(x) , FY(y) 分别为分别为:,YxXP),(limyxFy),( xF下

2、页概率统计概率统计下页结束返回二、二、 离散型二维随机向量的边缘分布离散型二维随机向量的边缘分布 1 p.1 p.2 p.j PY=yj p1. p2. pi. p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij x1 x2 xi PX=xi y1 y2 yj XY1jjiiipxXPp1ijijjpyYPp (i = 1,2, ) (j =1,2, ) 1111jjpxXPp1222iipyYPp如下页概率统计概率统计下页结束返回二、二、 离散型二维随机向量的边缘分布离散型二维随机向量的边缘分布 设设 (X,Y) 的联合分布列为的联合分布列为 pij = PX=xi ,Y

3、=yj1jjixxpi1ijiyypj1jj iiipxXPp1ij ijjpyYPp(i =1,2, ) (j = 1,2, ) ixxpiyyjjp 则则 (X,Y) 的边缘分布列为的边缘分布列为 FY(y) = F(+ ,y) = FX(x) = F(x,+) = (X,Y) 的边缘分布函数为：的边缘分布函数为：即p1. p2. pi. pi.x1 x2 xi Xp.1 p.2 p.j p.jy1 y2 yj Y下页概率统计概率统计下页结束返回103101106103101103106X345pi. Y的分布列为的分布列为106103101Y012p.j X的分布列为的分布列为10110

4、6101102101103102101 Y X012pi300405p.j1例例1.1.已知随机向量（已知随机向量（X，Y）的分布如下表，求关于）的分布如下表，求关于X 和和Y 的的边缘分布边缘分布。下页概率统计概率统计下页结束返回 三三 、二维连续型随机变量边缘概率密度函数、二维连续型随机变量边缘概率密度函数设（设（X，Y）的联合概率密度）的联合概率密度 f(x,y) xXdudvvufYxXPxXPxF),(,)(dyyxfdvvxfxfX),(),()(由于由于所以所以dyyxfxfX),()(即即zxyoab0 x)(0 xfX的几何意义如右图的几何意义如右图. .其值表示红曲边梯形的

5、面积其值表示红曲边梯形的面积. .下页概率统计概率统计下页结束返回 三三 、二维连续型随机变量边缘概率密度函数、二维连续型随机变量边缘概率密度函数即若（即若（X，Y）的联合概率密度）的联合概率密度 f(x,y)dxyxfyfY),()(则 例例2.2.设（设（X X，Y Y）服从区域）服从区域 D D：抛物线：抛物线y= =x2 2和直线和直线y=x所所围成的区域上的均匀分布，求（围成的区域上的均匀分布，求（X X，Y Y）的联合、边缘概率）的联合、边缘概率密度。密度。dyyxfxfX),()(下页概率统计概率统计下页结束返回解解: 由于由于D的面积为的面积为10261)(dxxx其它, 0)

6、,(, 6),(Dyxyxf 故（故（X，Y）联合概率密度为）联合概率密度为 （X，Y）边缘概率密度：当）边缘概率密度：当0 x1时时)(66),()(22xxXxxdydyyxfxf其它, 010),(6)(2xxxxfXyyYyydxdxyxfyf)(66),()(其它, 010),( 6)(yyyyfY当0y1时即即即即2xy xy yx0下页概率统计概率统计下页结束返回例例3. 3. 已知随机向量（，）的联合密度函数为已知随机向量（，）的联合密度函数为求求 X ,YX ,Y的边缘的边缘概率密度概率密度。解：当x0时, 其它, 00,),(yxxeyxfyxyxXxedyxedyyxfx

7、f),()(当x 0时,00),()(dydyyxfxfX其它,00,)(xxexfxX即y=xo下页概率统计概率统计下页结束返回例例3. 3. 已知随机向量（，）的联合已知随机向量（，）的联合密度密度函数为函数为求求 X ,YX ,Y的边缘的边缘概率密度概率密度。解：解：当当y0时时, 其它, 00,),(yxxeyxfy当当y 0时时,即即2),()(20yyyYeydxxedxyxfyf00),()(dxdxyxfyfY其它, 00,2)(2yeyyfyYy=xo下页概率统计概率统计下页结束返回例例4. 4. 已知随机向量（，）的联合分布函数为已知随机向量（，）的联合分布函数为求（）常数

8、求（）常数a，b b，c；（）联合密度函数；（）联合密度函数 f(x,y)(x,y)； （）（）X ,YX ,Y的边缘分布函数；（的边缘分布函数；（4 4）PX2PX2。解：解：(1)由由F(-,0)=0, F(0,-)=0 F(+, +)=1 得：得：0)2)(2(0)2(0)2(cbacabcba解得解得2,2,12cba)arctan2)(arctan2(1),(2yxyxF(2) f(x,y)yxyxF),(2)1)(1 (1222yx)arctan)(arctan(),(ycxbayxF下页概率统计概率统计下页结束返回解得解得2,2,12cba)arctan2)(arctan2(1)

9、,(2yxyxF(2) f(x,y)yxyxF),(2)1)(1 (1222yx(3) )(xXPxFX),(limyxFy)arctan2(1x),(lim)(yxFyYPyFxY)arctan2(1y例例4. 4. 已知随机向量（，）的联合分布函数为已知随机向量（，）的联合分布函数为求（）常数求（）常数a，b b，c；（）联合密度函数；（）联合密度函数f(x,y)(x,y)； （）（）X X ，Y Y的边缘分布函数；（的边缘分布函数；（4 4）PX2PX2。)arctan)(arctan(),(ycxbayxF(4) PX2=1-FX(2)2arctan2(11xarctan121yarc

10、tan1212arctan121下页概率统计概率统计下页结束返回解： 令则有,2211yvxudvvuudyyxfxfX)2()1 ( 21exp121),()(22212dvuveu)1 (2)(exp121212222122121222)(1221212121)(xtuXedteexf22222)(221)(yYeyf,12puvt令类似地有可见可见 X N（1，12 ) ,Y N（2，22 )例例5. 设（设（X，Y）服从）服从N（1， 12； 2，22； ），），求边缘密度。求边缘密度。下页概率统计概率统计下页结束返回)sinsin1 (21),(222yxeyxfyx例例6. 设（设

11、（X，Y）概率密度为下列表达式，求其边缘密度。）概率密度为下列表达式，求其边缘密度。-x +, -y +解：dyyxfxfX),()(dyyxeyx)sinsin1 (21222ydyxedyeyxyxsinsin2121222222dyeeyx22222121)(2122xex同理，同理，)(21)(22yeyfyY即即X N（0，1 ) , Y N（0，1 ) 但（但（X,Y)不服从二维正态分布。不服从二维正态分布。下页概率统计概率统计下页结束返回(X,Y)联合分布联合分布（X，Y）边缘分布）边缘分布一般一般F(x,y)= PX x,YyFX(x) = PX x,Y F Y(y) = PX

12、 ,Y y离散型离散型 F(x ,y) =yyjixxjipPX=xi ,Y=y j= pi jpi .=PX= xi= 1jijp1iijpp.j=PY= yj=连续型连续型xydudvvufyxF),(),(dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(下页概率统计概率统计下页结束返回四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性 1. . 定义定义 设设 （X，Y），），F（x，y），），FX（x），），FY（y）若若 对所有的对所有的 x，y 有有则称随机变量则称随机变量X与与Y是相互独立的。是相互独立的。2. 2. 离散型随机向量离散型随机向量若（若（X，Y）的所有可能取值为（）的所

13、有可能取值为（xi，yj）,（i，j=1，2，）则则 X 与与 Y 相互独立的充分必要条件是对一切相互独立的充分必要条件是对一切 i，j = 1,2,即即有有下页)()(),(yFxFyxFYX,yYPxXPyYxXP,jijiyYPxXPyYxXP.jiijppp即即概率统计概率统计下页结束返回 例例1已知（已知（X，Y）的边缘分布律，且）的边缘分布律，且X与与Y 相互独立，相互独立，求（求（X，Y）的联合分布律。）的联合分布律。X 1 2pi 1/3 2/3 Y 1 2 3. p j 1/2 1/3 1/6解：解：由独立性由独立性 p11= p1 p1 = 1/6 ， p23= p2 p3

14、= 2/18 1 2 31 1/6 1/9 1/182 2/6 2/9 2/18XY依次类推可得依次类推可得下页概率统计概率统计下页结束返回例例2 2设随机变量设随机变量X X与与Y Y相互独立，下表列出了二维随机变量相互独立，下表列出了二维随机变量（X X，Y Y）的联合分布及关于）的联合分布及关于X X和和Y Y的边缘分布中的部分数据，的边缘分布中的部分数据，请补充下表：请补充下表： Y X y1 y2 y3 PX=xI=pi x1 1/8 x2 1/8 PY=yI 1/6 1 1/241/43/41/121/31/23/81/4下页概率统计概率统计下页结束返回例例3 3设随机变量（设随机

15、变量（X,Y)在矩形区域在矩形区域G=(x,y) | 0 x2, 0y2Y= 0PU=1, V =0=PXY,X2Y= PY2Y= 0PU=1, V =0=PXY,X2Y= PYX2Y=1/4PU=1, V =1=1-1/4-1/4=1/2(U,V)的联合分布与边缘分布为的联合分布与边缘分布为 0 1 pi .0 1/4 0 1/41 1/4 1/2 3/4UVp.j 1/2 1/2PU=0, V =1 PU=0PV=1,U和和V不独立。不独立。例例3 3设随机变量（设随机变量（X,Y)在矩形区域在矩形区域G=(x,y) | 0 x2, 0y1，上服，上服求求 随机变量随机变量U和和V的联合分

16、布的联合分布,并判断并判断U和和V是否独立。是否独立。YXYXU,0,1YXYXV2,02,1从均匀分布，定义随机变量从均匀分布，定义随机变量下页概率统计概率统计下页结束返回若（若（X，Y）的联合密度函数）的联合密度函数 f(x,y)处处连续，则处处连续，则X和和Y相互独相互独立的充分必要条件是立的充分必要条件是 f (x,y) = fX(x) fY (y) xyxyYXdudvvfufdudyvufyxF)()(),(),(xyYXYXyFxFdvvfduuf)()()()( xydudvvuf),( xyxyYXYXdudvvfufdvvfduuf)()()()(3. 连续型随机向量证明：

17、 充分性 若 f (x,y) = fX(x) fY (y)则必要性必要性 若若X、Y互相独立，则有互相独立，则有F（x,y）= FX(x) FY(y)，故故 f (x,y) = fX(x) fY (y)即即下页概率统计概率统计下页结束返回例例4已知（已知（X，Y）的联合概率密度，试判断）的联合概率密度，试判断X，Y是否独立。是否独立。其他,010,10,4),(yxxyyxf其他,010,24),()(10 xxxydydyyxfxfX其他,010,24),()(10yyxydxdxyxfyfY解：解：因为因为由由fX(x) fY(y) = f(x,y) 知知 X 与与 Y 相互独相互独立立

18、可见：可见： 联合分布联合分布 边缘分布。边缘分布。独立独立下页概率统计概率统计下页结束返回 例例5一电子产品由两个部件构成，以一电子产品由两个部件构成，以X和和Y分别表示两个部件的寿分别表示两个部件的寿 命（单位：小时），已知命（单位：小时），已知X和和Y的联合分布函数的联合分布函数其他, 0, 0, 0,1),()(5 . 05 . 05 . 0yxeeeyxFyxyx(1)问问X和和Y是否相互独立？是否相互独立？(2)求两部件寿命都超过求两部件寿命都超过0.1小时的概率。小时的概率。解: (1) 由于 因此， ),()(),(yFxFyxFyx故故X和和Y相互独立。相互独立。1 . 0, 1 . 0)2(YXP1 . 0 ,1 . 0YXP1 . 0 ,FF1 . 0 , 1 . 0, 1 . 0FF1 . 0 e下页其它, 00,1),()(5 . 0 xexFxFxX其它, 00,1),()(5 . 0yeyFyFyY概率统计概率统计下页结束返回例例6 6设随机变量和相互独立且均在，上均匀分布