中北大学线性代数练习册答案

1、第一节 二阶、三阶行列式1. k 3 且 k 1；2. 3；、1. -2 ； 2. ab(b a) ；3. 13.a2 (a3a6a4a5)4.1 In a lnb二、C C C C二、1.18 ； 2. ；3. 0；4. 01.-25 ； 2.2(xy)(y2 xy)；中北大学线性代数作业（练习册）答案本答案供软件学院南校区和中北大学信息商务学院的同学使用第一章行列式综合练习题一3）(4)四、n 1, X22, X334. abcd adabcd 1 ；第二节n阶行列式的定义及性质5n5. 4x ；6.(K K1) a一、1. -29 , 29 ； 2. 0；3.3m ； 4.k00.四、1

2、 为2,X20 2X0或者y 0二、1.2000 ；2. 4abcdef ；五、1.282.0六、略。3.160 ；4.8；5.63 ；6.120.七、1.1且3；2.3或1O三、a1a|an ( 1)1 nb1b|bn驚一第早矩阵四、1.X13, X2 1 ；第一节矩阵的定义及其运算2.X12, X22, X32 .一、1. -32 ； 2.ABBA ； 3.4982 1五、略4 2二、DCDDC六、0三、1.(1)第四节克拉默法则1 01111一、1.x 3, y 1X1 00，丫240 ；3.1 ；三、A A A A2.x10,X212,X311.1时，方程组有2.(1)1310非零解;

3、2.当1时，方程组有非零f(x)2X12X25X32x-|X22x2X3.2.0103.0 AB0,BA102010A2第二节逆矩阵BBC、1.4, 4, 4, 142.11二、CDDC三、1.(1) A11.(1)逆;1a：2.3.1.4.5.(A)16.第三节a2 不可IllHIHIA5A.1初等变换与初等矩阵(A 2I)A).1. 0001k0101220366100013130023132.91012第五节矩阵的秩1.， ；DADDA三、1.(1)秩为3 ；2.3.1.(2)秩为2 ;(3)秩为(4) Xx 1,且 x2. a2时，秩为2 ;综合练习题二1时，秩为1;2时，秩为2.1.

4、 27 ；2. 33.；3.3.BCCCBBB001三、0 0 1四、1. (A I) 10101 0 03002. R(AB) 2;3.B020.0011 0 0五、A105 10.5 0 1第三章向量第一节 向量的概念及其运算一、(1)15, 10,13 T( 2)0, 0, 0K、TT2, 4,5,1,4 ,4, 1, 6, 1,0三、2, 4,9四、1.122324 ；2. 1 20304 .五、 可以由向量组 1,2, 3线性表示,且 5 111 214 3.第二节线性相关与线性无关一、1.线性无关，两个向量的对应分量不成 比例；2.线性相关，包含零向量的向量组必定线 性相关；2 1

5、13.线性无关，1 110 ；1 124.线性相关，4个3维向量必线性相关.-二二、1. (V) 2. (V)3.(X) 4. (V)5.(V)6.(X)7.(V)28三、1.2.Im1 3.43相5.惟一.四、证明：（略）.五、不定线性相关,11,13, 7例如：24,420, 0但是11 , 22线性无关第三节向量组的秩一、1.相;无2.r.r2 3.二、1.B2.B 3.A.三、1.1,2,3,4的秩为-4；2.a0,且a 1时，1 ,2,3的秩为3；a0 时，1, 2, 3的秩为2；a1时,1,2,3的秩为1 ；四、1.1,2 ,3的秩为2,1 ,2,3 线性相关;2.1,2 ,3的秩

6、为3,1,2,3线性无关；五、1.1,2 ,3本身为其一个;极大线性无关组；2.1,2为1,2,3的一个极大线性无关组,且313 1 2510六、1.k9 ；2.1,2 ,3 为 1,2,3,4的一个极大线性无关组，且4 3 123.七、证明：（略）八、证明：（略）九、证 明：（略）.第四节向量空间一、因为V）满足加法和数乘的封闭性，所以V1是向量空间；因为 V2不满足加法的封闭性，所以V2不是向量空间二、(1,1,1).三、B .111四、1110 ；1022.11114J23,31 .342五、1.7化为单位向量为k1, k2为任意常数第二节齐次线性方程组解的结构一.CCADBDCB.二

7、（ 1）(2,1,1)T；（2）1 ( 1,1,0,0)T，2 ( 1,0, 3,1)T.111112一 100三 xk1k2k3023010001其中k1, k2, k3为任意常数.第三节非齐次线性方程组解的结构AA-（1, 1,1, 1）T，（1,2,2,1）T ；2 .102., 正交六、1, 2, 3正交化为：11, 0, 1,1 ，2 ,2 12 , hj：3 3 313 3 43 ,5 5 5 5第四章线性方程组第一节 利用矩阵的初等变换解线性方程组一（ 1） 2 ；（ 2）1. 二.（1）C ；（ 2）A .三. （1）（0,1,0）T；（ 2）无解；一.CDB.75332421

8、二（ 1）xk1k233001100其中k1, k2为任意常数.（2）1611523226x0k11k20k30苴00100001(3) X18,x2 3 k,X362k, X4 k，其中k为任意常数.四（ 1）2 ；（ 2）1且-2 ；(3）=1,(X1,X2,X3)t (1 k1 k2,k1,k2)T，其中三当k 1时，方程组无解；当k 1且k 4时，方程组有惟一 解；当k 4时，方程组有无穷多组解，其通03解为x 4 c 1 ，其中c为任意常数01第五章 矩阵的特征值与矩阵的对角化第一节 矩阵的特征值与特征向量1 1一、1.3 ;2.-1,丄,-;24-k,永,來;3,6,11 ； 8,

9、 - 4 , -2 3.0或 1 ; 4.2, 3 ; 5. 6; 6.3 ;7. 0 ; 8.2,1,1二、CCBD三、1.特征值：，0, 2 2, 3 3对应的全部特征向量：1 1 1k11 , k2 1 , k3 12 0 12.特征值：1 2, 21， 3 11121k11 , k21 ,k301112四、特征值：|A|（三重）；任何三维非零对应的全部特征向量：三、1.不可对角化；1112. P=(!,2,3)=1010122P 1 AP=23.不可对角化4四、题目有问题，P不可逆，待查.1 11五、（1）a 5, b 6 ; （2） C 1020 13六、x 0, y 2 *七、提示

10、：k 1，不可对角化第三节实对称矩阵的对角化214353一 5122P -353一 525303,54P 1AP55、0, 2, 2四、A1 线性相关，正交；2. 3列向量都是B的特征向量.五、a 1 六、提示：两边同取行列式五、（1 ）0, 0 ; ( 2 )七、提示:用反证法八、（1）2 !2 23 ；22n13n(2) An22n 23n122 n 33n 21c 12 0 2P 0101c 12 0 2六、提示:1=4, 231 , A可对角化，设相似变换矩阵为P ,则第二节相似矩阵与矩阵的对角化、1.24 ;2. 13. 6、BBA4kAk P 1 P 11*七、提示：（1）特征多项

11、式相同有相同的特征值1，2,川，n A，B都与 diag（ 1, 2,川，n）相似（再利用相似的传递 性）2.f (X1,X2) (X1,X2)22x121X2,23.222Xf(X,y,z) (x, y,z) 260y , 3204z（2） 般矩阵不具有此结论,如A1 11 0I10两者特征0 1 ,0 1多项式均为(1)2 ,但两者不相似第八早二次型第二节化二次型为标准形、 1f2y1y； 2y|；X1y1 y2y3X2y22y3 ； 2.fy： y2 9y3 ；X3y3第一节二次型及其矩阵一、V x x- =X1血X3y21 - 21.11 0110X1 1 0 , f(x，%,%) (x，%，%) 110%000000X33.y3f = yi 2 y2 +5y 32.Xi = yi 2y22 yaX2y2 yaX3ya3.8X%2x222X2X33%2f(X1,X2,X3)2X4x1x20124.103 ,3;5.2231三、1.1 20音f(X1,X2,Xs)(X1,X2, X3)2 40X2,20 01Xf(X1,X2)1(X1,X2)11 X11X2X1116Z1X2114Z2X3001Z31001.X10