DSP 第2章 习题课

1、时域离散信号和系统的频域分析第章第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1学习要点学习要点2.2FT和和ZT的逆变换的逆变换2.3分析信号和系统的频率特性分析信号和系统的频率特性2.4例题例题2.5习题课习题课时域离散信号和系统的频域分析第章2.1学习要点学习要点数字信号处理中有三个重要的数学变换工具， 即傅里叶变换（FT）、 Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。 利用它们可以将信号和系统在时域和频域相互转换。 大大方便了对信号和系统的分析和处理。 时域离散信号和系统的频域分析第章2.1.1学习要点学习要点（1） 傅里叶变换的正变换和逆变换定义， 以及存在条件。 （2）傅里叶变换的性质和定

2、理： 傅里叶变换的周期性、 移位与频移性质、 时域卷积定理、 巴塞伐尔定理、 频域卷积定理、 频域微分性质、 实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。 （3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式 。（4）Z变换的正变换和逆变换定义， 以及收敛域与序列特性之间的关系。时域离散信号和系统的频域分析第章（5） Z变换的定理和性质： 移位、 反转、 z域微分、 共轭序列的Z变换、 时域卷积定理、 初值定理、 终值定理、 巴塞伐尔定理。 （6） 系统的传输函数和系统函数的求解。 （7） 用极点分布判断系统的因果性和稳定性。 （8） 零状态响应、 零输入响应和稳态响应的求解。 （9） 用

3、零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。 时域离散信号和系统的频域分析第章2.1.2重要公式重要公式（1）nnnxeXjje )()(jjde )e (21)(nXnx这两式分别是序列的傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。 注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件， 即nnx)(时域离散信号和系统的频域分析第章（2） knxnxkXNnknN e )()(DFS)(102jnkXNkXnxkknN e )(1)(IDFS)(2j这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对， 可用以表现周期序列的频谱特性。时域离散信号和系统的频域分析第章 （3） )2()(2)(FT)e (jkkNkXNnxX该式

4、用以求周期序列的傅里叶变换。 如果周期序列的周期是N， 则其频谱由N条谱线组成， 注意画图时要用带箭头的线段表示。（4） 若y(n)=x(n)*h(n), 则)e ()e ()e (jjjHXY这是时域卷积定理。时域离散信号和系统的频域分析第章（5） 若y(n)=x(n)h(n), 则)e ()e (21)e (jjjXHY这是频域卷积定理或者称复卷积定理。 （6） )()(21)(enxnxnx)()(21)(onxnxnx时域离散信号和系统的频域分析第章式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。 （7） nnznxz

5、X)()(),( d)(21)(1xxcnRRczzzXjnx这两式分别是序列的Z变换的正变换定义和它的逆Z变换定义。 时域离散信号和系统的频域分析第章（8） d)(21)(222jneXnxcnvvvYvXnynxd)1()(21)()(1,min1,maxyxyxRRvRRyxyxRRRR1时域离散信号和系统的频域分析第章前两式均称为巴塞伐尔定理， 第一式是用序列的傅里叶变换表示， 第二式是用序列的Z变换表示。 如果令x(n)=y(n)， 可用第二式推导出第一式。（9） 若x(n)=a|n|, 则)1)(1 (1)(12azazazX1azax(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序

6、列， 一些测试题都是用它演变出来的。 时域离散信号和系统的频域分析第章2.2FT和和ZT的逆变换的逆变换（1） FT的逆变换为 jjde )e (21)(nXnx用留数定理求其逆变换， 或者将z=ej代入X(ej)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取单位圆。 时域离散信号和系统的频域分析第章例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为jje11)e (aX1a求其反变换x(n)。 将z=ej代入X(ej)中， 得到111)(azzX因极点z=a， 取收敛域为|z|a|， 由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。 （2

7、） ZT的逆变换为),( d)(21)(1xxcnRRczzzXjnx时域离散信号和系统的频域分析第章求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。 用围线积分法求逆Z变换有两个关键。 一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系， 可以总结成几句话： 收敛域包含点， 序列是因果序列； 收敛域在某圆以内， 是左序列； 收敛域在某圆以外， 是右序列； 收敛域在整个z面， 是有限长序列； 以上、 、 均未考虑0与两点， 这两点可以结合问题具体考虑。另一个关键是会求极点留数。 时域离散信号和系统的频域分析第章2.3分析信号和系统的频率特性分析信号和系统的频率特性求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换

8、。 但分析频率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5章）等。时域离散信号和系统的频域分析第章根据零、 极点分布可定性画幅频特性。 当频率由0到2变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位

9、圆的极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。 滤波器是高通还是低通等滤波特性， 也可以通过分析极、 零点分布确定， 不必等画出幅度特性再确定。 一般在最靠近单位圆的极点附近是滤波器的通带； 阻带在最靠近单位圆的零点附近， 如果没有零点， 则离极点最远的地方是阻带。 参见下节例2.4.1。 时域离散信号和系统的频域分析第章2.4例题例题例例2.4.1已知IIR数字滤波器的系统函数试判断滤波器的类型（低通、 高通、 带通、 带阻）。 （某校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题）解解： 将系统函数写成下式:19 . 011)(zzH9 . 09 . 011)(1zzzzH时域离散信号和系

10、统的频域分析第章系统的零点为z=0， 极点为z=0.9， 零点在z平面的原点， 不影响频率特性， 而惟一的极点在实轴的0.9处， 因此滤波器的通带中心在=0处。 这是一个低通滤波器。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解： Xe(ej)=FTxr(n)2cos1 (21e41e4121)(FT)e (2 j2 jrjenxX)e ()e (21)e (jjjeXXX因为X(ej)=02所以X(e-j)=X(ej(2-)=00时域离散信号和系统的频域分析第章当0时， ， 故)e (21)e (jjeXX)2cos1 (21)e (21)e (jjeXX2cos1)e (jX当2时， X(ej)=

11、0， 故 02cos1)e (jX02时域离散信号和系统的频域分析第章因此ReX(ej)=X(ej)ImX(ej)=0例例2.4.3已知02)(nNnnx0nNN+1n2Nn0, 2Nn求x(n)的Z变换。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解： 题中x(n)是一个三角序列， 可以看做两个相同的矩形序列的卷积。 设y(n)=RN(n)*RN(n), 则 0) 1(210)()()(nNnnRnRnyNNn00nN1Nn2N12Nn将y(n)和x(n)进行比较， 得到y(n1)=x(n)。 因此 Y（z）z1=X(z)Y(z)=ZTRN(n)ZTRN(n)时域离散信号和系统的频域分析第章例例2.

12、4.4时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为为常数和babzazzH ,)(1)(时域离散信号和系统的频域分析第章 （1） 要求系统稳定， 确定a和b的取值域。 （2） 要求系统因果稳定， 重复（1）。 解： （1） H(z)的极点为a、 b， 系统稳定的条件是收敛域包含单位圆， 即单位圆上不能有极点。 因此， 只要满足|a|1, |b|1即可使系统稳定， 或者说a和b的取值域为除单位圆以的整个z平面。（2） 系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内， 所以a和b的取值域为0|a|1, 0|b|1时域离散信号和系统的频域分析第章例例2.4.5, f1=10 Hz， f2=25 Hz， 采用

13、理想采样，采样频率Fs=40 Hz对其进行采样得到。 （1） 写出的表达式;（2） 对进行频谱分析， 写出其傅里叶变换表达式， 并画出其幅度谱；（3）如要用理想低通滤波器将cos(2f1t)滤出来， 理想滤波器的截止频率应该取多少？) 2cos() 2cos()(21tftftx)(tx)(tx)(tx解：)( )2cos()2cos()( 21nTtnTfnTftxn时域离散信号和系统的频域分析第章（2） 按照采样定理, 的频谱是x(t)频谱的周期延拓， 延拓周期为Fs=40 Hz，x(t)的频谱为)( tx)2()2()2()2()(2211ffffjX)( )(txFTjX )jj (1

14、nsnXT)22()22( )22()22( 2211nFfnFfnFfnFfTssssn画出幅度谱如图2.4.1所示。时域离散信号和系统的频域分析第章图2.4.1时域离散信号和系统的频域分析第章（3） 观察图2.4.1， 要把cos(2f1t)滤出来， 理想低通滤波器的截止频率fc应选在10 Hz和20 Hz之间，可选fc15 Hz。 如果直接对模拟信号x(t)=cos(2f1t)+cos(2f2t)进行滤波， 模拟理想低通滤波器的截止频率选在10 Hz和25 Hz之间， 可以把10 Hz的信号滤出来， 但采样信号由于把模拟频谱按照采样频率周期性地延拓， 使频谱发生变化，因此对理想低通滤波器

15、的截止频率要求不同。 时域离散信号和系统的频域分析第章例例2.4.6对x(t)=cos(2t)+cos(5t)进行理想采样， 采样间隔T=0.25 s， 得到， 再让通过理想低通滤波器G(j)， G(j)用下式表示:)( tx)( tx404 25. 0)j (G(1) 写出的表达式;(2) 求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。)( tx时域离散信号和系统的频域分析第章)( )5cos() 2cos()( nTtnTnTtxn解解：(1)( )25. 1cos() 5 . 0cos(nTtnnn时域离散信号和系统的频域分析第章（2） 为了求理想低通滤波器的输出， 要分析的频谱。 中的两个余弦

16、信号频谱分别为在0.5和1.25的位置， 并且以2为周期进行周期性延拓， 画出采样信号的频谱示意图如图2.4.2（a）所示， 图2.4.2（b）是理想低通滤波器的幅频特性。 显然， 理想低通滤波器的输出信号有两个， 一个的数字频率为0.5， 另一个的数字频率为0.75， 相应的模拟频率为2和3， 这样理想低通滤波器的输出为y(t)=0.25cos(2t)+cos(3t)( tx)( tx)( tx时域离散信号和系统的频域分析第章图2.4.2时域离散信号和系统的频域分析第章2.5习题与上机题解答习题与上机题解答1 设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里

17、叶变换： (1) x(nn0) (2) x*(n)(3) x(n) (4) x(n)*y(n)(5) x(n)y(n) (6) nx(n)(7) x(2n) (8) x2(n)奇数偶数nnnxnx 0 )2/()(9(9)时域离散信号和系统的频域分析第章解解：（1） nnnnxnnxj00e )()(FT令n=nn0, 即n=n+n0， 则)e (e )()(FTjj)(j000Xenxnnxnnnn（2）)e (e )(e )()(FTjjjXnxnxnxnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章（3） nnnxnxje )()(FT令n=n， 则)e (e )()(FTjjXnxnxnn（4

18、） FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面证明上式成立： mmnymxnynx)()()()(时域离散信号和系统的频域分析第章mnnmnymxnynxje)()()()(FT令k=nm, 则)e ()e (e )(e )(ee)()()()(FTjjjjjjyxmxkykymxnynxmnkkmnkk时域离散信号和系统的频域分析第章（5） nnnnnYnxnynxnynxjjjjede )e (21)( e )()()()(FT)( j)( jd)e ()e (21de )()e (21XYnxYjnnj时域离散信号和系统的频域分析第章或者 )( jjd)e ()e (21)()(

19、FTYXnynx（6） 因为nnnxXjje )()e (对该式两边求导， 得到)(jFTe )(jd)e (dnnxnnxXnnjj时域离散信号和系统的频域分析第章因此d)e (dj)(FTjXnnx（7） nnnxnxje)2()2(FT令n=2n， 则时域离散信号和系统的频域分析第章)(e)e (21)(ee )(21e)() 1()(21e )()2(FT)(21j21j21j21j21j， 2/jXXenxnxnxnxnxnxnnnjnnnnnnnn取偶数时域离散信号和系统的频域分析第章或者)e()e (21)2(FT21j21jXXnx（8） nnnxnxj22e )()(FT利用

20、（5）题结果， 令x(n)=y(n), 则d)e ()e (21)e ()e (21)(FTjjjj2XXXXnx时域离散信号和系统的频域分析第章2 已知 |, 0|, 1)e (00jX求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。 nnnxnsinde21)(0j00时域离散信号和系统的频域分析第章4设其它01 . 01)(nnx时域离散信号和系统的频域分析第章将x(n)以4为周期进行周期延拓， 形成周期序列， 画出x(n)和的波形， 求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。)(nx)(nx)(nx)(kX解： 画出x(n)和的波形如题4解图所示。 )(nx为周期以4) ( e)4cos(2)ee (ee

21、1ee )()(DFS)(4j4j4j4j2j102j42j30kXknxnxkXkkkkknknknn时域离散信号和系统的频域分析第章题4解图时域离散信号和系统的频域分析第章或者 为周期以4)( 41sin21sine )e(ee)ee (ee1e1e)(4141j41j41j21j21j21j2j102jkXkkkXkjkkkkkkkkjnkn时域离散信号和系统的频域分析第章)2( e )4cos()2( )(2)42()(42)(FT)e (4jjkkkkXkkXnxXkkkk时域离散信号和系统的频域分析第章10 若序列h(n)是实因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式： HR(ej)=1

22、+cos求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解解：nnRnhnhHjeejjje )()(FT e21e211cos1)e (时域离散信号和系统的频域分析第章121011 21)(ennnnhnnnnnhnnhnnh其它01101 0)(20)(00)(ee)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH时域离散信号和系统的频域分析第章13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号和时域离散信号x(n)， 试完成下面各题： （1） 写出的傅里叶变换表示式Xa(j)； （2） 写出和x(

23、n)的表达式； （3） 分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解解： )(txa)(txa)(txa)(txatttttxXtttttaade ee de )cos(2de )()j ( jjjj0j00时域离散信号和系统的频域分析第章上式中指数函数的傅里叶变换不存在， 引入奇异函数函数， 它的傅里叶变换可以表示成： )()(2)j ( 00aX（2） )()cos(2)()()(0nnaanTtnTnTttxtxnnTnx- )cos(2)(0ms 5 . 21 rad 2002s00fTf时域离散信号和系统的频域分析第章（3） )()(2 )jj (1)(s00ksksaakk

24、TkXTjX式中rad/s 8002ssf)2()2(2e ee e )cos(2e )cos(2e )()e (00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章式中0=0T=0.5 rad上式推导过程中， 指数序列的傅里叶变换仍然不存在， 只有引入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。 时域离散信号和系统的频域分析第章18 已知2112523)(zzzzX分别求： （1） 收敛域0.5|z|2对应的原序列x(n)。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解：cnzzzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zz

25、zzzzzzzXzFnnn（1） 收敛域0.5|z|2:n0时，c内有极点0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0时， c内有极点0.5、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n时域离散信号和系统的频域分析第章最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0时， c内有极点0.5、 2，nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 . 02),(sRe5 . 0),( sRe)( 2时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c内有极点0.5、 2、 0， 但极

26、点0是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， 可是c外没有极点， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)时域离散信号和系统的频域分析第章(2)21|,41121)(21zzzzX解解： (1)21z 411311)(21zzzX 4131)(22zzzzX时域离散信号和系统的频域分析第章21652161 )21)(21(31 4131)(2zzzzzzzzzX)(2165)21(61)(2116521161)(11nunxzzzXnn时域离散信号和系统的频域分析第章(2)21z 41121)(21zzzX 21252123 2121z2z 412)(2zzzzzzzX112

27、112521123)(zzzX时域离散信号和系统的频域分析第章) 1()21(25)21(23)(nunxnn20 设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示： nxxmnxnxmr)()()(试用x(n)的Z变换X(z)和x(n)的傅里叶变换X(ej)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ej)。时域离散信号和系统的频域分析第章解： 解法一nxxmnxnxmr)()()(mnmmnmxxzmnxnxzmnxnxzR )()()()()(令m=n+m, 则)()( )()()()()(1zXzXzmxznxzmxnxzRnmmnnmnmxx时域离散信号和系统的频域分析第章解

28、法二)()()()()()()()(1zXzXzRmxmxmnxnxmrxxnxx)e ()e ()()e (jjejjXXzRRzxxxx因为x(n)是实序列， X(ej)=X*(ej)， 因此2jj)e ()e (XRxx时域离散信号和系统的频域分析第章22 设线性时不变系统的系统函数H(z)为为实数aazzazH 11)(111（1） 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络， 即|H(ej)|=常数；（2） 参数 a 如何取值， 才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。 解解： 11)(1111azazazzazH(1)时域离散信号和系统的频域分析第章极点为a, 零点为a1。 设a

29、=0.6， 极零点分布图如题22解图(a)所示。 我们知道|H(ej)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度， 按照题22解图(a)， 得到ACABaaazazHzj1je1jee)e (j因为角公用， aOAOBOCOA1，且AOBAOC， 故aACAB1，即时域离散信号和系统的频域分析第章aACABH1)e (j故H(z)是一个全通网络。 或者按照余弦定理证明:1cos22aaAC1cos212aaABaaaaaaACABH1cos21cos21)(e221j时域离散信号和系统的频域分析第章题22解图时域离散信号和系统的频域分析第章（2） 只有选择|a|1才能使系统因果稳定。 设a=0.6

30、， 极零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示。 时域离散信号和系统的频域分析第章因此2111)(zzzzH11)(2211zzzzzzzH零点为z=0。 令z2z1=0， 求出极点： 2511z2512z极零点分布图如题23解图所示。 时域离散信号和系统的频域分析第章题23解图时域离散信号和系统的频域分析第章(2) 由于限定系统是因果的， 收敛域需选包含点在内的收敛域， 即。 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法， 一种是令输入等于单位脉冲序列， 通过解差分方程， 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应； 另一种方法是求H(z)的逆Z变换。 我们采用第二种方法。 2/ )51 ( zzzzHzH

31、TZnhcnd)(j21)()(11式中时域离散信号和系统的频域分析第章 1)(212zzzzzzzzzH2511z2512z，令211)()(zzzzzzzHzFnn时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2nnnnzznzznzzzzzzzzzzzzzzzzzz25125151zz12221122112121因为h(n)是因果序列, n0时， h(n)=0， 故)(25125151)( nunhnn时域离散信号和系统的频域分析第章(3) 由于限定系统是稳定的， 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域， 即|z2|z|z1|, 211)()(

32、zzzzzzzHzFnnn0时， c内只有极点z2， 只需求z2点的留数， nzzFnh)251(51),( sRe)(2时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c内只有两个极点： z2和z=0， 因为z=0是一个n阶极点， 改成求圆外极点留数， 圆外极点只有一个， 即z1, 那么nzzFnh25151),( sRe)(1最后得到) 1(25151)(25151)(nununynn时域离散信号和系统的频域分析第章24 已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1） 求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)； （2） 写出网络频率响应函数H(ej)的表达式， 并定性画出其幅频特性曲线； （3） 设输入x(n)=ej0n， 求输出y