大学高等数学最新课件

1、高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系第三节第三节 函数的极限函数的极限一、定义一、定义 在自变量的变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:的过程表示x0 x0 x0 x-dx0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 函数在的过程中, 对应函数值无限趋近于确定值 A .0 xx y = f(x) f(x)( )( )

2、;f xAf xA 表示任意小高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数, 使得对于适合的一切x对应的函数值( )f x都满足不等式( )f xA,那么常数A就叫函数)(xf当 x时的极限, 记作)()()(lim xAxfAxfx当当或或定义1 如果存在常数A，不等式 00 xx 1 1、定义、定义高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 定义.)(-Axf恒有,00-xx时使当Axfxx )(lim0, 0, 0注：01( );f xx。函数极限与 在点是否有定义无关2.。与任意给

3、定的正数 有关高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系3。几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo0 xx当 在 去心邻域内,. 显然 找到一个 后越小越好2.宽为的带形区域内,yA线为中心线图形完全落在以直高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例20lim, ().xxCCC证明为常数证Axf )(CC ,成立成立 , 0 任给任给0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00时时当当 xx例3.lim00 xxxx 证证明明证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成

4、立 .lim00 xxxx 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例4证明：这里，函数在点 x = 1是没有定义的，但函数当x1时的极限存在与否跟它并无关系。事实上，对于任意给定的正数，不等式约去非零因子 x-1后，就化为|x-1| ,因此，只要取 = ， 那么，当时，就有211lim21xxx证： 2112xx 2112xx 1x高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系注：在用函数极限的定义证明时，必须找出与之间的联系，以便对于任给的，总能找到对应的，对于满足 0|x-x0|的一切x，使不等式|f(x)-A|0需满足因此，如取那么

5、当x适合不等式即0000,limxxxxx当时证：00000)(xxxxxxxxxAxf 000 xxxx且且 ( ),f xA要使000 xxxx而保证了00min,xx00,xx 时就满足不等式对应的函数值x 0 xx00limxxxx 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系3 3、单侧极限、单侧极限例如,00 xx分和两种情况分别讨论0,xx从左侧无限趋近 ; 00 xx记作记作0,xx从右侧无限趋近 ; 00 xx记记作作yox1xy 112 xy21,0( )1,0 x xf xx x设 0lim( )xf x考虑( )?(0)f xx即高等数学电子教

6、案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系左极限000,0,xxx 使当时右极限000,0,xxx使0-00-0()lim( )(-0).xxxxf xAf xA或0000()lim( )(0).xxxxf xAf xA记作或0: 0 xxx注意( ).f xA恒有记作( ).f xA恒有00 00 xxxxxx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系极限: 左极限和右极限极限Axf )0(0或记作0(0)f xA或记作 左极限右极限三者关系且0lim( )xxf x0lim( )xxf x0lim( )xxf x0lim( )xxf x0lim(

7、)xxf x0lim( )xxf x高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系yx11 o左右极限存在但不相等,0lim( ).xf x不存在例6证00limlimxxxxxx0lim11x0limxxx验证不存在00()limlim1xxxxxx 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系sin.xxx观察函数当时的变化趋势三、自变量趋向无穷大时函数的极限三、自变量趋向无穷大时函数的极限高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系问题:( )( );f xAf xA表示任意小.xXx表示 的过程sin,( )0

8、.xxf xx当无限增大时无限接近于通过上图可知:问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.函数值函数在的过程中, 对应f(x)无限确定值A.x 趋近于y = f(x)高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系X定义,0,0X.)( Xx时使当lim( )xf xA1、定义对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在着正数X, 使得对于适合xX的一切x对应的函数值( )f x满足不等式( )f xA,那么常数A就叫函数( )f x当x 时的极限, 记作lim( )( )()xf xAf xAx 或当定义2 如果存在常数A，不等式都任意存在高等数学电子教案高等数学电

9、子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系01 .:x 情形0,0,( ).XxXf xA 使当时 恒有02 .:x 情形lim( )xf xA0,0,( ).XxXf xA 使当时 恒有lim( )xf xA2 2、另两种情形、另两种情形lim( )xf xAlim( )lim( ).xxf xAf xA且用函数极限的定义容易证明如下定理：定理：高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系xxysin 3 3、几何解释、几何解释 X X,( )xXxXyf x 当或时 函数图形完全落在以A,2.yA直线为中心线 宽为的带形区域内高等数学电子教案高等数学电子教案 武

10、汉科技学院数理系武汉科技学院数理系xxysin 例1sinlim0.xxx证明证证sinsin0 xxxx1x1X, 0, 1,X取xX则当时恒有sin0,xxsinlim0.xxx故:lim( ),xf xcyc定义 如果则直线( ).yf x是函数的图形的水平渐近线高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系1 1、有界性定理、有界性定理 如果函数 f(x) 当xx0时的极限存在, 则函数 f(x)在x0的某个去心邻域内有界。思考：比较两者的不同之处！注：数列与此相关的定理是收敛数列必有界。证明 四、函数极限的性质四、函数极限的性质高等数学电子教案高等数学电子教案

11、 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系证：不妨设极限值为A. 由极限的定义可知，任取 0, 总存在 0，对于满足不等式0 x-x0 的一切x,都有 f (x)-A ，即 A - f (x) A +,取 M = max A - , A + ,那么，对于满足不等式0 x-x0 的一切x, 都有 f (x) d=AA0U 0(x,d)x Af(x)x0 x或则或时当且若推论注：“f(x) 0(或 f(x) 0(A 0,有x 0,有|x|M.其特征是:M 0,有xM2。 x+,表示x保持正值无限增大3。x-,表示x保持负值,但绝对值无限增大高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系xy1sin 例：01limsin.xx证明不存在证 1,nxn取lim0,nnx0;nx 且 1,412nxn 取lim0,nnx 0;nx 且1limsinlimsinnnnnx而1,141limsinlimsin2nnnnx而lim1n二者不相等,01limsin.xx故不存在, 0 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系（2）自变量趋向某个定数 x0 1。xx0 ,表