知识讲解_复数

1、。高考总复习：复数【考纲要求】1. 理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2. 了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。3. 会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义.【知识网络】【考点梳理】考点一、复数的有关概念1. 虚数单位 i :（1）它的平方等于1，即 i 21 ；（2） i 与 1 的关系 :i 就是 1 的一个平方根，即方程x21 的一个根，方程x21的另一个根是i ；（ 3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；（4） i 的周期性：

2、i 4 n1 ， i 4n 1i ， i 4 n 21， i 4n 3i （ nN * ） .2. 概念。1。形如 abi （ a,bR ）的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。说明：这里 a, bR 容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。3. 复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 C 表示；复数集与其它数集之间的关系：NZQRC4. 复数与实数、虚数、纯虚、0 的关系：对于复数 zabi （ a, bR ），当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当b 0 时，复数 z a bi a 是实数；b0时，复数z abi叫做虚数；a0且 b 0时，复数zabibi 叫做纯虚数；ab0 时，复

3、数 zabi0就是实数 0.所以复数的分类如下:（R实数 (b0)；）z a b ia,b虚数(b0)当a且时为纯虚数0 b05. 复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果 a, b, c, dR ，那么 abic di a c且 b d .特别地 : a bi0 ab0 .应当理解 :（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才

4、能比较大小。6. 共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：复数 zabi 和 zabiabi （ a,bR ）互为共轭复数。考点二：复数的代数表示法及其四则运算1. 复数的代数形式 :复数通常用字母z 表示，即 abi （ a, bR ），把复数表示成abi 的形式，叫做复数的代数形式。2. 四则运算。2。( a bi ) (c di ) ( a c) (b d )i ；( a bi )(c di ) ( ac bd ) (bc ad )i ；复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：abi(a bi )(c di )acbdbcad i 。c di(c di )

5、(c di )c2d 2c2d 2考点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是 b ，复数 zabi （ a,b R ）可用点 Z (a,b) 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0) ，它所确定的复数是z 00i0 表示是实数。 故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 z a bi一一对应复平面内的点Z( a,b)这是因为， 每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；

6、反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。2. 复数的几何表示（ 1）坐标表示 : 在复平面内以点Z( a,b) 表示复数 za bi （ a, b R ）；（ 2）向量表示 : 以原点 O 为起点，点 Z (a,b) 为终点的向量 OZ 表示复数 zabi .向量 OZ 的长度叫做复数 za bi 的模，记作 | abi | . 即 | z | |OZ |a2b20 .要点诠释 :（1）向量 OZ 与点 Z (a, b) 以及复数 z a bi 有一一对应；（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以

7、比较大小。3. 复数加法的几何意义：如果复数 z 、 z 分别对应于向量OP 、 OP ，那么以 OP 、 OP 为两边作平行四边形OPSP ，对角线12121212OS 表示的向量 OS 就是 z1z2 的和所对应的向量。4. 复数减法的几何意义：两个复数的差z1z2 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。3。要点诠释 :1. 复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；2. 求解计算时，要充分利用 i 的性质计算问题 ；3. 在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；4. 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条

8、件。【典型例题】类型一：复数的有关概念【例 1】设复数zlg( m22m2)(m23m2)i ，试求实数 m 取何值时，复数z 分别满足：(1) z 是纯虚数； (2) z 对应的点位于复平面的第二象限。【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。【答案】(1)lg( m22m2)03时，复数 z 是纯虚数；当3m 20即 mm2(2)lg( m22m2)0m 1 3 或 1 3 m3时，复数 z 对应的点位于复平面的第二当即 1m23m 20象限 . 【总结升华】复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟

9、知。比如：zabi Rb 0z zz20 ( a, bR ) ； z abi 是纯虚数a0且b 0zz0 （ z0 ）z20 ；举一反三：【变式 1】复数 1ai 为纯虚数，则实数a 为 () 2 iA2 B 2 C 1D.122【答案】 A【解析】 1ai(1ai )(2i)2a 2a1i ，2i(2i )(2i )55由纯虚数的概念知：2a 0， a 2.5【变式 2】求当实数 m 取何值时，复数z(m2m2)( m23m2)i 分别是：。4。（1）实数；（ 2）虚数；（ 3）纯虚数。【解析】（1）当 m23m20 即 m1或 m2 时，复数 z 为实数；（2）当m23m20即m1m2时，

10、复数 z 为虚数；且（3）当m 2m20即m时，复数z为纯虚数 .m 23m201【变式2】已知复数 z 满足 | z |1 且 z21, 则复数z（）z21A. 必为纯虚数B.是虚数但不一定是纯虚数C. 必为实数D. 可能是实数也可能是虚数【答案】法 1设 za bi （ a, bR ），有 a2b21, a0 .则zabia bi1R ，故应选 C。z2 1a22abib212a22abi2a 法 2 z z | z |2 1, zzz1R .z2 1 z2z z z( z z)z z 法 3 z z| z |2 1，z1z z1zR .z2( z21) zz类型二：复数相等【例 2】已知

11、集合M=（a+3） +（ b2-1 ） i, 8 , 集合 N= 3，（ a2-1 ） +(b+2) 同时满足M NM， M N，求整数a,b【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。【解答】依题意得 (a3)(b21)i3i 或 8( a21)(b2)i 或 a3(b21)ia21(b2) i 由得 a=-3,b= 2, 经检验， a=-3,b=-2不合题意，舍去。a=-3 ， b=2由得 a= 3, b=-2.又 a=-3,b =-2 不合题意， a=3,b=-2;。5。a3a21a2a40由得即b2, 此方程组无整数解。b21b2b30综合得

12、a=-3 ， b=2 或 a=3,b=-2 。【总结升华】ac, , ,)(d1、 a+bi=c+dida b cR.b2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。注：对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,bR)。举一反三：【变式】已知复数z1 满足 (z 1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位 ) ，复数 z2 的虚部为2，且 z1 z2 是实数，求z2 .【 解 析 】 设 z2=a+2i(a R) ， 由 已 知 复 数 z1满 足 (z 1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i ， 又 已 知z1 z2=(2-i)

13、(a+2i)=(2a+2 )+(4-a)i是实数，则虚部 4-a=0 ，即 a=4，则复数 z2=4+2i.类型三：复数的代数形式的四则运算【例 3】计算： (12i ) (34i)【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。【解析】 (12i )(3 4i)12i(12i )(34i)3 86i 4i510i12 i34i(34i )(34i)32422555【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用i 21进行运算。举一反三：【变式 1】( 22i)813i【答案】：原式= (1i) 81 3 i2 2。6。(1i ) 2 4( 2i ) 4( 13 i

14、)3 2 ( 13 i ) 213 i22222216(13 i )883i22(13 i)(13 i 【变式2】复数5i)1(2i. 2i B.1 2iC.2iD.12i【解析】选 C解法一：5i5i(12i )105i2 i .12i(12i )(1+2i)5解法二：验证法验证每个选项与1-2i 的积，正好等于5i的便是答案 .【例 4】已知 z1， z2 为复数， (3 i)z1 为实数， z22z1i, 且|z 2| 52 求 z2.【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.z1 z2(2 i)， (3 i)z 1 z2(2 i)(3i) z2(5 5

15、i) R， |z 2| 5 2 |z 2(5 5i)| 50， z2(5 5i) 50，z250 10 5 5i .55i1 i【总结升华】 1、 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式 .(2) 记住以下结论，可提高运算速度： (1 i) 2= 2i ； 1i; 1i; a bi;1i1ibaiiii i 4n=1， i 4n+1=i ，i4n+2=-1 ， i 4n+3=-i(n N).2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但

16、要注意把i 的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i 的特点及熟练应用运算技巧。举一反三：。7。abi117i1】设 a, b12i（ i 为虚数单位），则 ab 的值为【变式R ，abi117i(117i )(12i )3i12i55【解析】因为，所以 a5,b3ab8【答案】 8【变式2】设 i 为虚数单位，则复数34iiA.4 3iB.43iC.43iD.43i【解析】选 D.34i(34i)i43i .ii 2类型三：复数的几何意义【例 5】已知复数 z(3m25m2) (m1)i ( mR ) ，若 z 所对应的点在第四象限，求 m 的取值范围 .【思路点拨】在复平面内以点Z (

17、a,b) 表示复数 zabi （ a, bR ）， z 所对应的点在第四象限等价于 z 的实部大于零而虚部小于零。【解析】z(3m25m2)(m1)i3m25m20 ，解得.(m1)0m 1 m 的取值范围为 m(1,) .【总结升华】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。举一反三：【变式 1】若 zm2 (1i)m(4i)6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（）A.0, 3B.,2C.2, 0D.3, 4【答案】： z ( m24m)(m2m 6)i 所对应的点在第二象限 m24m 0 且 m2m 6 0 ，0 m 4

18、且 m 3或m 2 m 3,4 ，故选 D【变式 2】在复平面内，复数6 5i ， 2 3i 对应的点分别为A， B，若 C为线段 AB的中点，则点C对应。8。的复数是 ()A 4 8i B 8 2i C 2 4i D 4 i【答案】 C【解析】复数6 5i 对应的点为 A(6,5)，复数 2 3i对应的点为( 2,3) 利用中点坐标公式得线段的中点(2,4)，故点CBABC对应的复数为2 4i.类型四：化复数问题为实数问题【例 6】已知 x, y 互为共轭复数，且( xy) 23xyi 46i, 求 x, y .【思路点拨】设za bi （ a,bR ）代入条件，把复数问题转化为实数问题，易

19、得a 、 b 的两个方程。【解析】设 xabi （ a, bR ），则 yabi ,代入原等式得： (2 a)23(a2b2 )i 4 6i4a 24b 2 )，解得：a 1或 a1或 a1 或 a1 ，3( a26b 1b1b1b1x 1 i 或 x1 i 或 x1 i 或 x1 i 。y 1 iy 1 iy1 iy1 i【总结升华】复数定义：“形如 zabi （ a,bR ）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法 。举一反三：【变式 1】已知复数z1i ，求实数 a, b 使 az2bz(a2z)2【答案】：z1i , az2bz( a 2b)(a2b)i(a 2z)2(a2) 244(a2)i ( a24a)4(a2)i a,bR , a2ba24a ，解得a2或a4a2b4(a2)b1b2【变式 2】令 zC , 求使方程 | z | 2z 3 6i 成立的复数 z .【答案】：令 zxyi (x, yR ) ，则原方程化为 :x2y 22( x yi) 3 6i即 ( x2y 22 x) 2 yi 3 6i ，。9。x 2y22x 3 ，解之