【数学】1.3 空间几何体的表面积与体积课件(人教版A必修2)2

1、 上面提到的物体的几何结构特征大致有以上面提到的物体的几何结构特征大致有以下几类：下几类：问题:1.长方体的展开图与其表面积有何关系？水立方的长，宽，高分别为177m 177m30m试求它的表面积(1)矩形面积公式：矩形面积公式： _。(2)三角形面积公式：三角形面积公式：_。 正三角形面积公式：正三角形面积公式：_。(3)圆面积面积公式：圆面积面积公式：_。(4)圆周长公式：圆周长公式： _。(5)扇形面积公式：扇形面积公式： _。(6)梯形面积公式：梯形面积公式： _。(7)扇环面积公式：扇环面积公式： _。Sab12Sah234Sa2Sr2Cr12Srl1()2Sab h1()()2Sl

2、lrr如何用展开图来计算棱柱棱锥棱台的表面积？如何用展开图来计算棱柱棱锥棱台的表面积？侧面侧面展开图的构成展开图的构成几何体的展开图几何体的展开图表面积表面积=侧面积侧面积+底面积底面积一组平行四边形一组平行四边形一组梯形一组梯形一组三角形一组三角形例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面，各面均为等边三角形的四面体体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 D分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。成。因为因为SB=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面体因此，四面体S-A

3、BC 的表面积的表面积 交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作SBCBCSD BCASa23a例例2.下图是一个几何体的三视图下图是一个几何体的三视图(单位单位:cm)想想象对应的几何体象对应的几何体，并求出它的表面积，并求出它的表面积66101081012解：直观图是四棱台,侧面是四个全等的梯形,上下底面为不同的正方形4SS侧梯形SSS侧表底2566610102392()cm2(6 10) 84256()2cm 如何根据圆柱、圆锥、的几何结构特征求它们的表面积.表面积侧侧面积 侧面展开图22Sr lrl侧122Sr lrl侧2()Sr rl()Sr rl1(2 2

4、)2( )Srr lrrl侧22( )Srrr l rl圆台呢？圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别和矩形、三角形、梯形的面积有什么相似的地方？梯梯形形三三角角形形矩矩形形平面图形面积空间体的侧空间体的侧面积空间体侧面展开图22Sr lrl侧122Sr lrl侧1(2 2)2( )Srr lrrl侧1()2Sa bhSab12Sah圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式有什么联系？ 侧面积侧面展开图2Srl侧Srl侧( )Srrl侧_SS 圆圆柱柱侧侧圆圆柱柱表表_SS 圆圆锥锥侧侧圆圆锥锥表表1.看图回答问题看图回答问题_SS圆圆台台侧侧圆圆台台表表2463116 做一做做一做 3.以直角边长为以直角边长为1

5、的等腰直角的等腰直角三角形的一直角边为轴旋转，三角形的一直角边为轴旋转，所得旋转体的表面积为所得旋转体的表面积为_._ .1m224 2.一个圆柱形锅炉的底面半径为一个圆柱形锅炉的底面半径为 ,侧面展侧面展开图为正方形，则它的表面积开图为正方形，则它的表面积为为212m21 4.已知圆锥的表面积为已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开，且它的侧面展开图是一个半圆，这个圆锥的底面直径图是一个半圆，这个圆锥的底面直径_.2 a m23 3am分析分析 (1)(1)花盆外壁的面积花盆外壁的面积= =花盆的侧花盆的侧 面积面积+ +底面积底面积- -底面圆孔面积底面圆孔面积2322221515201.5

6、()1515()22221000()0.1()Scmm(2)涂100个需漆: y=0.1100100=1000(毫升) 答答:每个涂漆面积0.1 , 100个需涂漆1000毫升.2m24解解:(1)蜜蜂爬行的最短路线问题蜜蜂爬行的最短路线问题.易拉罐的易拉罐的底面直径底面直径为为8cm,高高25cm.分析分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开,将问题转化为平面几何的问题将问题转化为平面几何的问题. AB)(2lrrS柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么

7、关系？柱体、锥体、台体的表面柱体、锥体、台体的表面积积各面面积之和各面面积之和rr0 r展开图展开图)(22rllrrrS 圆台圆台圆柱圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥圆锥一、基本知识二、思想方法由特殊到一般由特殊到一般类比、归纳、猜想类比、归纳、猜想转化的思想转化的思想直棱柱直棱柱 ：侧棱和底面垂直的棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱chS直棱柱侧1332214侧面展开斜高斜高h21chS正棱锥侧正棱锥正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心，则称这样的棱锥为的正投影是底面的中心，则称这样的棱锥为正棱锥。正棱锥。侧面展开)

8、(21hccS正棱台侧cc正棱台正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做面之间的部分叫做正棱台正棱台练习v5. 已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。它的展开图的形状为_。该图形的弧长为_cm，半径为_cm，所以圆锥的侧面积为_cm2。扇形634扇形面积公式rlS21 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起

9、来，把一个圆近似的看成是边长分别是拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是.的的矩矩形形和和RR .2R 于于那那么么圆圆的的面面积积就就近近似似等等当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式份数无穷大时，就得到了圆的面积公式法法导导出出球球的的体体积积公公式式下下面面我我们们就就运运用用上上述述方方即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变变为无穷大的情形，由

10、半球的近似体积推出准确体积为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和,21RRr ,)(222nRRr 问题问题: :已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积. .,)2(223nRRr AOB2C2AOOR)1( inR半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOAnininRnRrVii,2,1,)1(1232 niinRRri,2,1,)1(22 nVVVV 21半半球球)1(2122223nnnnR 6) 12() 1(123 nnnnnnR 6)12)(1

11、(1123 nnnR 6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn时时当当.343233RVRV 从从而而半半球球334RVR 的的球球的的体体积积为为：定定理理：半半径径是是2)2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面, ,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面, ,球心作为球心作为顶点便得到顶点便得到n n个棱锥个棱锥, ,这些棱锥体积之和近似为球的体积这些棱锥体积之和近似为球的体积. .当当n n越大越大, ,越接近于球的体积越接近于球的体积, ,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. .1) 1)球的表面是曲面球的表面是

12、曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个小块个小块, ,每小块表面可近似看作一个平面每小块表面可近似看作一个平面, ,这这n n小块平面面积之和可近似小块平面面积之和可近似看作球的表面积看作球的表面积. .当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时, ,这这n n小块平面面积之和接小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积近于甚至等于球的表面积. . 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢求出，如何求球的表面积公式呢? ?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式

13、的推导方法, ,是否也可借助于这种是否也可借助于这种极限极限思想方法来推导球的表面积公式呢思想方法来推导球的表面积公式呢? ? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式oiS o第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积为：则球的体积为：iV 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为iVnVVVVV 321iSO OO O第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhS

14、hShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O第第三三步：步：化化为为准准确确和和RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小小锥体锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的体体积积为为：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 从从而而Rhi的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径径 例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积. .3336125)25(3434cmRV (变式变式1 1

15、)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由计算器算得

16、由计算器算得:24. 2 x5 . 42 x( (变式变式2) 2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, ,至少要用多少纸至少要用多少纸? ?用料最省时用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ?球内切于正方体球内切于正方体2215056cmS 侧侧侧棱长为侧棱长为5cm例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各它的各个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B

17、 B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OOABCO 例已知过球面上三点例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积，表面积体积，表面积解：如图

18、，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 .34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ;81256)34(343433 RV例例.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,这个球的体积为这个球的体积为cm3. 8 3323.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于一球切于正方体的各侧棱正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这求这三个球的体积之比三个球的体积之比_.1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习一练习一33:22:14.4.若两球体积之比