材料力学5平面图形的几何性质

1、第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质 a. a.一般图形的静矩和形心一般图形的静矩和形心zcAcyASA yydASA zzdA 对对 z、y 轴的静矩分别可表示为：轴的静矩分别可表示为：（5-1）一、定义一、定义1静矩和形心静矩和形心图图5-1*对形心轴的静矩为零。对形心轴的静矩为零。 00cczySS 静矩量纲为静矩量纲为长度长度3。 平面图形的形心坐标为：平面图形的形心坐标为：zAcyAcSydAyAASzdAzAA （5-2）图图5-1b. .组合图形的静矩和形心组合图形的静矩和形心11nziiiniyiiSA ySA z 如有如有 n 个图形组合在一起，则静矩为：个图形

2、组合在一起，则静矩为： （5-3）形心可表示为：形心可表示为： 1111niizicniiniiyicniiA ySyAAA zSzAA （5-4）式式5-4，式，式5-5中：中：A1、A2An各简单图形的面积各简单图形的面积 1212nnyyyz zz 、各简单图形的形心坐标、各简单图形的形心坐标、各简单图形的形心坐标、各简单图形的形心坐标2惯性矩、极惯性矩、惯性积惯性矩、极惯性矩、惯性积 图图5-2a. .惯性矩惯性矩 图形对图形对z、y轴的惯性矩定义为：轴的惯性矩定义为： 22zAyAIy dAIz dA （5-5）b. .极惯性矩极惯性矩 图形对坐标原点的极惯矩定义为：图形对坐标原点的

3、极惯矩定义为： 2pAIdA 又：又： pzyIII （5-6）（5-7）*圆截面对形心的极惯矩为：圆截面对形心的极惯矩为： 432pId 对形心坐标的惯性矩为：对形心坐标的惯性矩为： 41264zypdIII *空心圆截面对形心的极惯矩为：空心圆截面对形心的极惯矩为： 444413232pDIDd 对形心坐标的惯性矩为：对形心坐标的惯性矩为： 4411264zypDIII C.惯性积惯性积yzAIyzdA 图形对图形对z、y两轴的惯性积定义为：两轴的惯性积定义为：（5-8）y为对称轴为对称轴图图5-3*若平面图形具有一根对称轴，则该图形对于包括此对称若平面图形具有一根对称轴，则该图形对于包括

4、此对称轴在内的一对坐标轴的惯性积恒等于零。即轴在内的一对坐标轴的惯性积恒等于零。即 120yzyzyzIII惯性矩、极惯性矩、惯性积的量纲为惯性矩、极惯性矩、惯性积的量纲为长度长度4二、平行移轴公式二、平行移轴公式 上面计算式是已知对上面计算式是已知对z、y 轴（形轴（形心轴）的惯性矩和惯性积求对心轴）的惯性矩和惯性积求对 z1、y1轴的惯性矩和惯性积。轴的惯性矩和惯性积。 （5-9）111 122zzyyz yzyIIb AIIa AIIabA 图图5-4如如z、y轴过图形的形心。轴过图形的形心。z1平行平行z，y1平行平行y，则有：，则有： 同样也可反求，即同样也可反求，即 111 122

5、zzyyzyz yIIb AIIa AIIabA （5-10）对于组合图形：对于组合图形： 111 121211iiiinzziiinyyiiinz yz yiiiiIIb AIIa AIIa b A 图图5-5（5-11） 2203222303222233243132rzArzcSydAyrydyryrrSryAr 解解 （1）在距）在距 z 轴任意高度轴任意高度 y 处取处取狭长条作为微面积，即狭长条作为微面积，即 222dAry dy例例1 半径为半径为r的半圆：（的半圆：（1）求其对直径）求其对直径z轴的静矩及形心轴的静矩及形心；（2）求对形心轴）求对形心轴zc的惯性矩。的惯性矩。 c

6、y例例1图图（2）圆对）圆对z轴的惯性矩为：轴的惯性矩为： 4264zrI 半圆对半圆对z轴的惯性矩为：轴的惯性矩为： 4421121288zzrIIr 利用平行移轴公式，半圆对形心轴利用平行移轴公式，半圆对形心轴 的惯性矩为：的惯性矩为： cz 22242441418321889zczzcIIb AIyArrrrr 例例1图图例例2试计算图示槽形截面的形心主惯性矩。试计算图示槽形截面的形心主惯性矩。 例例2图图 11110.589.5400 10.52 89.5 1810.522400 10.52 89.5 1826.9niiyicniiA ZSZAAmm 解解（1）形心坐标）形心坐标的计算。的计算。cZZ为对称轴，形心必在为对称轴，形心必在z轴上轴上 例例2图图Z 为对称轴，故为形心主轴，另一条形心主轴必须过形心为对称轴，故为形心主轴，另一条形心主轴必须过形心并与并与 z 轴垂直，即图中轴垂直，即图中 y 轴。轴。 （2）确定形心主轴）确定形心主轴 例例2图图（3）形心主惯矩计算）形心主惯矩计算 3324410.540089.5 18220098