高等数学的课件

1、2021-10-11高等数学的1高等数学高等数学 第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数2021-10-11高等数学的2第五节 平面及其方程n平面的点法式方程n平面的一般方程n两平面的夹角n例题 平面是最简单平面是最简单的曲面的曲面. . 平面和三平面和三元一次方程一一对元一次方程一一对应。我们主要掌握应。我们主要掌握平面方程的几种表平面方程的几种表达形式，以及平面达形式，以及平面与平面与平面. . 点与平面点与平面之间的位置关系之间的位置关系. .2021-10-11高等数学的3引例)()()()()()(zyxzyx|AM|=|BM|, |AM|=|BM|, 所以所以两

2、边平方并化简得两边平方并化简得2x-6y+2z-7=02x-6y+2z-7=0ABM这个垂直平分面的方程就是这个垂直平分面的方程就是一个平面方程一个平面方程. 设有点A（1，2，3）和B（2，-1，4），求AB的垂直平分面方程.解解 由题意知，由题意知，所求平面是与所求平面是与A A、B B等距等距离的点的几何轨迹，离的点的几何轨迹，设设M M（x,y,zx,y,z）为所求平）为所求平面上面上 的任一点，的任一点，由于由于高等数学的zyOx一.平面的点法式方程nMM00MMn 法线向量法线向量 n n垂直于一平面的非零向量称垂直于一平面的非零向量称作该平面的法线向量，简称作该平面的法线向量，简

3、称法向量，记作法向量，记作n n. .点法式方程的建立点法式方程的建立已知平面上一点已知平面上一点M M0 0及其法及其法向量向量n n ，则可以建立该，则可以建立该平面的方程平面的方程. .根据根据 2021-10-11高等数学的5一.平面的点法式方程 设 M0是平面上一个已知点，M是平面上任意一点， n n 为平面的法向量. 因为向量MM0与法线向量n n垂直，则其数量积为零.即n=A,B,C,z,zy,yxxMM0000于是有于是有：如果已知：)()()(zzCyyBxxAMMn 这就是平面的点法式方程可将这个三元一次方程整理为 Ax+By+Cz+D=0的形式,其中 D=-(Ax0+By

4、0+Cz0)00MMn2021-10-11高等数学的6例1解.012573103平行的平面方程），且与平面，求过点（zyx，法向量为：平面，的法向量为设所求平面00012573nzyxn ），过点（又平面），（，可取，即有已知平面103573/00 nnn045730)1(5)(733zyxzoyx即）（故所求平面方程为2021-10-11高等数学的7例2解.0 , 1, 1,1 , 1 , 2101的平面方程的），且平行向量，求过点（ba.,banbnann，的法向量为设所求平面 0430)1(3)(111zyxzoyx即）（故所求平面方程为.3011112kjikjiban高等数学的二.平

5、面的一般方程n任意平面都可以用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示；任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面。n方程 Ax+By+Cz+D=0 （2）称作平面的一般方程.n其中其中x,y,zx,y,z的系数的系数A,B,CA,B,C就是该平面一个法向量的坐标就是该平面一个法向量的坐标. .n该平面法向量为该平面法向量为 n= n=A,B,C.n= A,B,CzyOx2021-10-11高等数学的9例3 2x-3y+z-6=0-2-10123-2-1012302040-2-10123zyOx3263x+8y+z-18=0可以改写成可以改写成zyx2021-10-11高等数

6、学的10zyOx二.平面的一般方程Ax+By=0,C=0,D=0.zyOxC z+D=0, A =B =0特殊三元一次方程表示图形特点这个平面平行这个平面平行xOy坐标面坐标面 这个平面 经过z轴.2021-10-11高等数学的11二. 平面的一般方程zyOx Ax+Cz+D=0,B=0特殊三元一次方程表示图形特点Ax+By+Cz=0,D=0 xzyO这个平面平行y 轴. 这个平面过原点O. O高等数学的三. 平面的截距式方程n设一平面与x、y、z轴的交点为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)其中a0、b0、c0zyOx1 1c cz zb by ya ax x叫做平面的截距式

7、方程叫做平面的截距式方程a、b、c 叫做平面在x、y、z 轴上的截距截距.PQRabcn则该平面方程为高等数学的四.平面的三点式方程n已知平面上三点：P=(a,b,c),Q =(a1,b1,c1 ),R =(a2,b2,c2), 并设 M=(x,y,z)，ccbbaaccbbaaczbyaxQPRnQPQRnM则平面方程为：高等数学的五.两平面的夹角 n两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角 如下图中的角.n设平面1的法向量为n1=A1,B1,C1n设平面2的法向量为n2=A2,B2,C2n由cos =|cos(n1,n2)|则两平面的夹角可由两个向量夹角公式来确定.12n2n1高等数学的四.两

8、平面的夹角其中平面1的法向量为n1=A1,B1,C1平面2的法向量为n2=A2,B2,C212n2n1CBACBACCBBAA|cos高等数学的两个结论：n结论一 平面1与平面2互相垂直相当于：CCBBAA12n2n1因为两个法向量相互垂直因为两个法向量相互垂直所以其数量积为零所以其数量积为零高等数学的两个结论：n结论二 平面1与平面2互相平行或重合相当于:12n2n1CCBBAA这时两个平面的法向量这时两个平面的法向量相互平行相互平行高等数学的六.点到平面的距离已知:平面1的法向量为n1=A,B,C平面1外一点P0=x0,y0,z0证明： P0到平面1的距离为1P0n1CBADCzByAxd

9、|P1N证明思路：:平面1上取点P1=x1,y1,z1则所求距离等于向量 在法向量上n1的投影.即PP,z-z ,y-y,x-x| |Pr|22222222201010100100101CBACCBABCBAAnPPnPPPPjdn其中：-DCzByAx,111且.|nPP|d,001即可推出结果代入学生自己推导CBADCzByAxd|高等数学的例4解解将三点坐标分别代入平面将三点坐标分别代入平面一般方程一般方程Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0, ,得得zyOxCABA+B-C+D=0 (1) -2A-2B+2C+D=0 (2)A-B+2C+D=0 (3)解此联立方程组，得解此

10、联立方程组，得 A=1,B=-3,C=-2, D=0.x-3y-2z=0 x-3y-2z=0 为所求平面方程.方法一方法一求过三点求过三点A A（1 1，1 1，-1-1）, ,B B（-2-2，-2-2，2 2），），C C（1 1，-1-1，2 2）的平面方程）的平面方程. .高等数学的例4解解 作向量并求其向量积作向量并求其向量积, ,得得zyOxCAB因为该向量垂直平面因为该向量垂直平面可取可取 n=-3,9,6=-3,9,6不妨取点不妨取点A(1,1,-1),(1,1,-1),可得点法式可得点法式方程方程：x-3y-2z=0 为所求平面方程.方法二方法二kjikjiACABACAB6

11、93320333,3 , 2, 0,3 , 3, 3求过三点求过三点A A（1 1，1 1，-1-1）, ,B B（-2-2，-2-2，2 2），），C C（1 1，-1-1，2 2）的平面方程）的平面方程. .高等数学的例5指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：（1）.x=0， y=0, z=0.zyOx即坐标面即坐标面yOz,zOx,xOy面面.高等数学的例5zyOx 该平面平行于坐标面xOz也即垂直于y轴（2）指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： x=-1, z=2, 3y-1=0z=2y=1/3x=-1高等数学的例52x-3y-6=0可以改写为：xzOy y=-2 x=3指出平面

12、2x-3y-6=0的位置，并画出平面：(3) 2x-3y-6=0 x123yx该平面平行于z轴.z高等数学的(4). x-y=0例5xzOy1(5).y+z=0 xzOy2021-10-11高等数学的25例6解.322:02:13:321zyxzyxzyx 知求三个平面的交点，已.311.3113220213）为所求交点，点（解方程组zyxzyxzyxzyx2021-10-11高等数学的26思考.练习.讨论1.1.求平面方程关键是什么？求平面方程关键是什么？平行三个坐标面的方程是平行三个坐标面的方程是什么？什么？寻找法向量寻找法向量n与平面上与平面上一点一点M0.x=k, y=k, z=kk为

13、任意实数为任意实数2.2.求过点（求过点（1 1，0 0，-1-1）且）且与平面与平面x-5y+3z-2=0 x-5y+3z-2=0平行的平行的平面平面. .x-5y+3z+2=02021-10-11高等数学的27思考思考.练习练习.讨论讨论3.3.依条件求平面方程：依条件求平面方程：(1)(1)平行于平行于xOzxOz面且经过点（面且经过点（2 2，-5-5，3 3）；）；(2)(2)通过通过z z轴和点轴和点(-3,1,-2)(-3,1,-2)；(3)(3)平行于平行于x x轴且经过两点轴且经过两点(4,0,-2)(4,0,-2)和和 （5,1,7) .5,1,7) .(1).y+ 5=0

14、;(2).x+ 3y=0;(3).9y- z- 2=0.2021-10-11高等数学的28小结空间平面方程：（用三元一次方程表示）向量式向量式一般式一般式点法式点法式截距式截距式三点式三点式)(rrn,CBAnDCzByAx,)()()(CBAnzzCyyBxxA.,为截距cbaczbyax),(,iiiizyxMzzyyxxzzyyxxzzyyxx2021-10-11高等数学的29 附录（知识扩充）n平面束方程)(DzCyBxADzCyBxA这里为任意实数2021-10-11高等数学的30C平面作为特殊柱面可以看作母线L沿着准线C平动而成. 附录（知识扩充）xzyOL2021-10-11高等数学的31平面作为曲面在坐标面上的投影投影平面投影平面附录附录 知识扩充知识扩充2021-10-11高等数学的321.求通过点M（3，1，-1）和N（4，-1，0）且垂直于xoy坐标面的平面方程.2.求通过点M（7，2，-3）和N（5，6，-4