计算机图形学课件二维图形变换

1、图形变换图形变换图形变换是计算机图形学基础内容之一。内容：几何变换；视图变换；投影变换。作用：把用户坐标系与设备坐标系联系起来；可由简单图形生成复杂图形；可用二维图形表示三维形体；动态显示。图形变换 图形变换的基本原理是： （1）图形的拓扑关系不变； （2）图形的几何关系可以改变。 所谓图形拓扑关系图形拓扑关系不变是指图形的连边规则不变，即原来是相邻的点变换后依然相邻，原来不相交的线变换后依然不相交。 所谓图形的几何关系可以改变是指图形的点与点之间的位置和距离可以改变。例如：AA1BB1CC1D1DAA1BB1CC1DD1图形变换 图形变换：对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。图形变换

2、的两种形式：1.图形不变，坐标系改变；变动后该图形在新的坐标系下具有新的坐标值 。2.图形改变，坐标系不变，变动后的图形在坐标系中的坐标值发生变化。图形变换n大多数几何变换（如平移、旋转和变比）是保持拓扑不变的，不改变图形的连接关系和平行关系n对于线框图形，通常是以点变换为基础，把图形的一系列顶点作几何变换后，连接新的顶点序列即可产生新的变换后的图形。n对于用参数方程描述的图形，可以通过参数方程几何变换，实现对图形的变换（基于效率的考虑）。 变换的数学基础矢量的数乘 矢量的点积n性质zyxkukukuUkzzyyxxvuvuvuVUUVVUVUVU000UUU变换的数学基础矢量的长度 n单位矢

3、量 n矢量的夹角矢量的叉积 222zyxuuuUUUVUVUcoszyxzyxvvvuuukjiVU变换的数学基础n矩阵 阶矩阵n阶方阵零矩阵行向量与列向量单位矩阵矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆 mn矩阵的含义矩阵：由mn个数按一定位置排列的一个 整体，简称mn矩阵。mnmmnnaaaaaaaaa . . . . . . 21222211 1211A=其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素变换的数学基础矩阵运算n加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵A+B = n数乘kA = k*aij|i=1.m, j=1,. n . b . . . . b m2211111

4、2121111mnmnmmmnnbaababaaba变换的数学基础n乘法设A为32矩阵，B为23矩阵 C = A B = C=Cmp = Am n Bnp cij = aik*bkjn单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In 。 Am n = Am n In babab abababababababababa322322221221312321221121321322121211311321121111 k=1,n变换的数学基础n逆矩阵若矩阵A存在AA-1=A-1A=I，则称A-1为A的逆矩阵n矩阵的转置 把矩阵A=(aij)mn

5、的行和列互换而得到的nm矩阵称为A的转置矩阵,记作AT 。 (AT) T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = aAT (AB)T = BT AT 当A为n阶矩阵，且A=AT ，则 A是对称矩阵。变换的数学基础矩阵运算的基本性质n交换律与结合律师 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+Cn数乘的分配律及结合律 a(A+B) = aA+aB; a(A B) = (aA) B=A (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A变换的数学基础n矩阵乘法的结合律及分配律 A(B C) = (A B)C (A+B) C = A C+ B C C (A+

6、B) = C A + C Bn矩阵的乘法不适合交换律变换的数学基础5.2 二维图形几何变换5.2.1 二维图形几何变换的原理 二维图形由点或直线段组成 直线段可由其端点坐标定义 二维图形的几何变换：对点或对直线段端点的变换yxP yxP1.平移变换（平移变换（translation）平行于x轴的方向上的移动量平行于y轴的方向上的移动量 xT yT 5.2.2几种典型的二维图形几何变换xxTyPPyT平移变换yxTyyTxx几何关系（5-7）yxTTyxyx矩阵形式（5-8）平行于x轴的方向上的缩放量平行于y轴的方向上的缩放量2.比例变换（比例变换（scale）xSyS指相对于原点的比例变换 y

7、x相对于原点原点的比例变换相对于重心重心的比例变换yx重心yxSSyxyx00 矩阵形式（5-10）yxSyySxx几何关系（5-9）比例变换的性质当 时，变换前的图形与变换后的图形相似 当 时，图形将放大 当 时，图形将缩小当 时，图形将发生畸变 10yxSSyxSS 1yxSSyxSS 1yxSSyxSS 3.旋转变换（旋转变换（rotation） 点P绕原点逆时针转角（设逆时针旋转方向为正方向）sincos ryrx（5-11）几何关系PPyx旋转变换cossinsincos)sin(sinsincoscos)cos(rrryrrrx（5-12）cossinsincosyxyyxx将式（

8、5-11）代入式（5-12）得：（5-13）（5-14） cossinsincos yxyx矩阵形式3.旋转变换（旋转变换（rotation）5.2.3 齐次坐标齐次坐标（homogeneous coordinates）技术技术 1.齐次坐标技术的引入齐次坐标技术的引入 平移、比例和旋转等变换的组合变换 处理形式不统一，将很难把它们级联在一起。 2.变换具有统一表示形式的优点变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现 3.齐次坐标技术的基本思想齐次坐标技术的基本思想 把一个n维空间中的几何问题转换到n+1维空间中解决 4.4.齐次坐标表示齐次坐标表示齐次坐标表示不是唯一的),.,(21

9、nxxx)/,.,/,/(21nxxx ),.,(21nxxx有n个分量的向量),.,(21nxxx有n+1个分量的向量1规格化的齐次坐标5.基本几何变换的齐次坐标表示基本几何变换的齐次坐标表示 平移变换 101000111yxTTyxyx 100000011yxSSyxyx比例变换 1000cossin0sincos11yxyx旋转变换：6. 无穷远点或无穷远区域的齐次坐标表示无穷远点或无穷远区域的齐次坐标表示 时，齐次坐标 表示一个n维的无穷远点 0),.,(21nxxx 5.2.3常用的二维几何变换常用的二维几何变换 1.对称变换对称变换（symmetry）（反射变换或镜像变换） （1）

10、相对于y轴对称yyxx关系几何oyx对称变换（1）yxo对称变换（2）（2）相对于x轴对称yyxx关系几何（3）相对于原点对称（即中心对称）（4）相对于直线y=x对称yyxx关系几何关系几何xyyxoxy对称变换（3）xyoy=x对称变换（4）（5）相对于直线y=-x对称xyyx几何关系xyoy=-x对称变换（5）错切变换错切变换（shear）错切变换是将坐标点沿x和y轴发生不等量的变换，得到点的过程 。错切变换错切变换（1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切 将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成角的 倾斜线，而保持y坐标不变。x 错切变换（1）yxayyctgx 有ctga 令yyayxx yy

11、xxx 几何关系 11000100111yayxayxyx矩阵形式（d d）沿）沿+y+y方向错切方向错切（e e）沿）沿-y-y方向错切方向错切（f f）沿）沿+x+x和和+y+y方向错切方向错切（2）沿 y 轴方向关于 x 轴错切 将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成角的倾斜线，而保持x坐标不变。 x 错切变换（2）yy 11000100111ybxxbyxyx矩阵形式几何关系yyyxx bxxctgyctgb 令bxyyxx 沿沿x x，y y方向的错切变换的坐标表示为：方向的错切变换的坐标表示为： ybxycyxx相应的齐次坐标矩阵表示为：相应的齐次坐标矩阵表示为：? ?1000101

12、cbT其中其中c c、b b为错切参数。为错切参数。 的非对角线元素大多为零，如果c和b不为零，则意味着对图形进行错切变换。 令b0可以得到沿x方向的错切变换，c0是沿x正向的错切变换，c0是沿y正向的错切变换，b0是沿y负向的错切变换.在前面的变换中，子矩阵dcbaT1上面讨论的五种变换给出的都是点变换的公式，对于线框模型，图形的变换实际上都可以通过点变换来完成。例如直线段的变换可以通过对两个顶点坐标进行变换，连接新顶点得到变换后的新直线；多边形的变换可以通过对每个顶点进行变换，连接新顶点得到变换后的新多边形来实现。曲线的变换可通过变换控制多边形的控制点并重新画线来完成。 符合下面形式的坐标

13、变换称为二维仿射变换（Affine Transformation）。 232221131211ayaxayayaxax变换后的坐标x和y都是变换前的坐标x和y的线性函数。参数aij是由变换类型确定的常数。 仿射变换具有平行线变换成平行线，有限点映射到有限点的一般特性。平移、比例、旋转、反射和错切五种变换都是二维仿射变换的特例，任何一组二维仿射变换总可表示为这五种变换的组合。因此，平移、比例、旋转、反射的仿射变换保持变换前后两直线间的角度、平行关系和长度之比不改变。复合变换（组合变换）复合变换（组合变换） n复合变换又称级联变换，指对图形做一次以上的几何变换。n注意：任何一个线性变换都可以分解为

14、上述几类变换。 复合变换是指图形做了一次以上的基本几何变换，是基本几何变换的组合形式，复合变换矩阵是基本几何变换矩阵的组合。nTTTPTPP21nTTT21,其中，T为复合变换矩阵，为单次基本几何变换矩阵。合变换中矩阵相乘的顺序不可交换。通常先计算出1221TTTTnTTTT21TPP值得注意是：进行复合变换时，需要注意矩阵相乘的顺序。由于矩阵乘法不满足交换律，因此通常再计算例例1：复合平移：复合平移n求点求点P P( (x x, ,y y) )经第一次平移变换（经第一次平移变换（TxTx1,1,TyTy1 1），），第二次平移变换（第二次平移变换（TxTx2,2,TyTy2 2）后的坐标）后

15、的坐标P P* *（x x* *, , y y* *）例例1：复合平移：复合平移n解：设点P(x,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P(x y 1)，则n经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)n变换矩阵为Tt=Tt1Tt21111101000111tyxTyxTTyxyxP 212211221101000110100011101000111*ttyxyxyxTTyxTTTTyxTTyxyxP例例2：多种复合组合：多种复合组合n例例: :对一线段先放大对一线段先放大2 2倍倍( (即即S Sx x=S=Sy y=2)=2)，再平移，再平移T Tx x=10,T=10,Ty y=0=0。

16、yx(x,y)yx(x ,y )yx(x,y)Tx1.相对于任意点（相对于任意点（x0 , y0）的比例变换）的比例变换 对任意点比例变换的步骤： （1）平移变换 （2）相对于原点的比例变换 （3）平移变换 当（x0 , y0）为图形重心的坐标时，这种变换实现的是相对于重心的比例变换。 5.3.3 二维组合变换二维组合变换令1010001001yxT1000000yxSSS1010001002yxT 1000000 112233yxSSyxyx 1010001 11001122yxyxyx 1010001 11003344yxyxyx任意点比例变换示意图平移 111yx平移比例 21STTT

17、则有 TyxSTTyxyxyx 1 111112111442.绕任意点（绕任意点（x0 , y0）的旋转变换）的旋转变换 绕任意点旋转变换的步骤： （1）平移变换 （2）对图形绕原点进行旋转变换 （3）平移变换 (x2,y2)(x3,y3)(x0,y0)Oxy(x1,y1)(x4,y4)相对于任意点(x0,y0)的旋转变换 1000cossin0sincos 112233yxyx 1010001 11001122yxyxyx 1010001 11003344yxyxyx任意点旋转变换示意图平移 100yx平移旋转1010001001yxT1000cossin0sincos R101000100

18、2yxT 21RTTT TyxRTTyxyxyx 1 11111211144令则有 前面已经定义，二维基本几何变换都是相对前面已经定义，二维基本几何变换都是相对于坐标原点进行的平移、比例、旋转、反射和于坐标原点进行的平移、比例、旋转、反射和错切五种变换，但在实际应用中常会遇到参考错切五种变换，但在实际应用中常会遇到参考点不在坐标原点的情况。相对于任一参考点的点不在坐标原点的情况。相对于任一参考点的变换方法为首先将参考点平移到坐标原点，对变换方法为首先将参考点平移到坐标原点，对坐标原点进行二维基本几何变换，然后再将参坐标原点进行二维基本几何变换，然后再将参考点平移回原位置。考点平移回原位置。 例

19、例1 1 一个由顶点一个由顶点P1P1（1010，1010），），P2P2（3030，1010）和）和P3P3（2020，2525）所定义的三角形，如图）所定义的三角形，如图5-65-6所示，相对于点所示，相对于点Q Q（1010，2525）逆时针旋转）逆时针旋转30o30o，求变换后的三角形顶点坐标。，求变换后的三角形顶点坐标。P1P2P3Q 图图 5-6 5-6 示例图示例图第一步第一步 Q Q点平移至坐标原点，如图点平移至坐标原点，如图5-75-7所所示。示。QP3P1P2图图5-7 5-7 平移平移 变换矩阵为：变换矩阵为：125100100011T。第二步第二步 三角形相对于坐标原点

20、逆时针旋转三角形相对于坐标原点逆时针旋转3030，如图，如图5-85-8所示。所示。P1P2P3Q 图图 5-8 5-8 旋转旋转 变换矩阵为：变换矩阵为：125100100011T。P1P2P3Q第三步第三步 参考点参考点Q Q平移回原位置，如图平移回原位置，如图5-95-9所示。所示。125100100013T变换矩阵为：变换矩阵为：图图 5-9 5-9 反平移反平移 图形变换后的顶点的规范化齐次坐标矩阵等于图形变换后的顶点的规范化齐次坐标矩阵等于变换前的规范化齐次坐标矩阵乘以变换矩阵。变换前的规范化齐次坐标矩阵乘以变换矩阵。Tyxyxyxyxyxyx111111332211332211而

21、而321TTTT所以所以 12510010001100023210212312510010001125201103011010111332211yxyxyx13066.18101.2282.34101.125 .17这样图形变换后的顶点坐标为这样图形变换后的顶点坐标为P1P1（17.517.5，12.0112.01），），P2P2（34.8234.82，22.0122.01）和）和P3P3（18.6618.66，3030）。）。5.3.3 5.3.3 相对于任意方向的二维几相对于任意方向的二维几何变换何变换 二维基本几何变换是相对于坐标轴进二维基本几何变换是相对于坐标轴进行的平移、比例、旋转、

22、反射和错切五行的平移、比例、旋转、反射和错切五种变换，但在实际应用中常会遇到变换种变换，但在实际应用中常会遇到变换方向不与坐标轴重合的情况。相对于任方向不与坐标轴重合的情况。相对于任意方向的变换方法为首先对任意方向做意方向的变换方法为首先对任意方向做旋转变换，使变换方向与坐标轴重合，旋转变换，使变换方向与坐标轴重合，然后对坐标轴进行二维基本几何变换，然后对坐标轴进行二维基本几何变换，最后做反向旋转变换，将任意方向还原最后做反向旋转变换，将任意方向还原回原来的位置。回原来的位置。例例2 2 图图5-115-11所示三角形相对于轴线所示三角形相对于轴线y=kx+by=kx+b作反作反射变换，求每一

23、步相应的变换矩阵。射变换，求每一步相应的变换矩阵。y=kx+b（0，b） 图图5-115-11原始图形原始图形 第一步第一步 将点（将点（0 0，b b）平移至坐标原点，如）平移至坐标原点，如图图5-125-12所示。所示。100100011bT 图图5-125-12平移平移 变换矩阵为变换矩阵为：第二步第二步 将轴线将轴线y=kxy=kx绕坐标原点顺时针旋转绕坐标原点顺时针旋转角角(=arctank)(=arctank)，落于，落于x x轴上，如图轴上，如图5-135-13所所示。示。1000cossin0sincos2T。变换矩阵为：变换矩阵为：图图5-135-13旋转旋转 第三步第三步 三角形相对三角形相对x x轴作反射变换，如图轴作反射变换，如图5-145-14所示。所示。100